Calculus MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Calculus - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধরি,

অংশ দ্বারা সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করে, আমরা পাই

যেখানে C হল ধ্রুবক

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x)

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x)

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।

ধারণা:

দুটি ভেক্টর A̅ এবং B̅-এর ডট গুনফলকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

A̅⋅B̅ = |A|⋅|B|⋅cos θ

যখন এই ভেক্টরগুলি একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তখন তাদের ডট গুনফল শূন্য হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

(A̅ + B̅) এবং (A̅ - B̅) দুটি ভেক্টর এবং |A| ≠ 0, |B| ≠ 0।

যদি দুটি ভেক্টর একে অপরের সাথে লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুনফল শূন্যের সমান হয়।

(A̅ + B̅)·(A̅ - B̅) = 0

⇒ (A̅·A̅) - (A̅·B̅) + (B̅·A̅) - (B̅·B̅) = 0

যেহেতু A̅·B̅ = B̅·A̅

⇒ |A̅|² - |B̅|² = 0

∴ |A̅| = |B̅|
∴ A̅ এবং B̅-এর মান সমান।

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x)

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

যদি f(x) প্রকৃত মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ হয় যেমন-

• f(x) বদ্ধ ব্যবধান [a,b] তে অবিচ্ছিন্নভাবে থাকে
• (f(x) মুক্ত ব্যবধান (a,b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়
• f(a) ≠ f(b)

তাহলে অন্তত একটি মান x, c (a, b) আছে যেমন -

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

• f(x) এর লেখচিত্রের দুটি বিন্দু a এবং b, f(a) ≠ f(b) এর মধ্যে একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শকটি জ্যা  এর সমান্তরাল হয়।

ব্যাখ্যা:

(a) জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সঠিক।

(b) হবে বেঠিক, যদি f(x) x এর প্রতিটি মানের জন্য একই মান থাকে, তাহলে এটি f(a) ≠ f(b) লঙ্ঘন করবে।

ধারণা:

x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x) বিবেচনা করুন।

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ মানের জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি এমন কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মান রয়েছে।

মিনিমার জন্য:

• স্থানীয় মিনিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে ন্যূনতম মান স্থানীয় মিনিমার থেকে কম হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় মিনিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল মিনিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল মিনিমা থেকে কম মান রয়েছে।

স্থির বিন্দু : বিন্দু যেখানে ফাংশনের অন্তরক সহগ শূন্য অর্থাৎ f'(x) = 0। বিন্দুগুলি হতে পারে:

• আনতি বিন্দু
• স্থানীয় ম্যাক্সিমা
• স্থানীয় মিনিমা

দ্বিতীয় অন্তরক সহগ পরীক্ষা: ধরুন ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু x = a আছে

• যদি তাহলে x = a, ম্যাক্সিমা একটি বিন্দু.
• যদি 0\) তাহলে x = a, minima একটি বিন্দু.

ব্য়বহার:

দেওয়া f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত ফাংশন যেমন f'(x 0 ) = 0 কিছু x 0 ∈ (0, 1) এর জন্য

এছাড়াও সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 দেওয়া হয়েছে

সুতরাং, f(x) এর ঠিক একটি স্থানীয় ন্যূনতম (0, 1) আছে, যাকে বিন্দুর মিনিমা বলা হয়।

ln f = x lny

⇒

⇒

⇒

ধারণা:

ধরি, x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x)

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মূল্য রয়েছে।

শর্ত:

f^"(x)

f"(x) > 0 ⇒ মিনিমা

f"(x) = 0 ⇒ আনতি বিন্দু

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4 

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3 

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2 

যেহেতু, x = 0 এ, f(x) এর স্থানীয় ম্যাক্সিমা আছে

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

এখানে, উপরের রাশিটিকে 0-এর কম রাখতে হবে, k-এর মান অবশ্যই -2 থেকে 2-এর মধ্যে থাকতে হবে।

⇒ -2

Mistake Points

যেহেতু ম্যাক্সিমার শর্তটি অসমতা, তাই এটিকে সমীকরণ হিসাবে ব্যবহার করবেন না, যেমন k2 - 4 = 0, এটি k = ± 2 দেবে এবং K 2 এর উত্তর পরিবর্তন করবে।

ধরুন

প্রদত্ত,

∴ C যেকোনো মান হতে পারে

সুতরাং, c এর উপর কোন শর্ত নেই

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

যদি f(x) প্রকৃত মূল্যবান ক্রিয়াকলাপ হয় যেমন-

• f(x) বদ্ধ ব্যবধান [a,b] তে অবিচ্ছিন্নভাবে থাকে
• (f(x) মুক্ত ব্যবধান (a,b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়
• f(a) ≠ f(b)

তাহলে অন্তত একটি মান x, c (a, b) আছে যেমন -

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা:

• f(x) এর লেখচিত্রের দুটি বিন্দু a এবং b, f(a) ≠ f(b) এর মধ্যে একটি বিন্দু আছে যেখানে স্পর্শকটি জ্যা  এর সমান্তরাল হয়।

ব্যাখ্যা:

(a) জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে সঠিক।

(b) হবে বেঠিক, যদি f(x) x এর প্রতিটি মানের জন্য একই মান থাকে, তাহলে এটি f(a) ≠ f(b) লঙ্ঘন করবে।

ধারণা:

রোলের উপপাদ্য:

f(x) কে [a, b] তে সংজ্ঞায়িত করা যাক, যাতে

(i) [a, b] তে f(x) অবিচ্ছিন্ন

(ii) (a, b) তে f(x) পার্থক্যমূলক

(iii) f(a) = f(b)

তাহলে সেখানে অন্তত একটি বিন্দু c ∈ (a, b) থাকে যেটা f'(c) = 0

Additional Information

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:

f(x) কে একটি ফাংশন [a, b]-এ সংজ্ঞায়িত করা যাক,

1. [a, b] তে f(x) অবিচ্ছিন্ন
2. [a, b] তে f(x) পার্থক্যমূলক

তারপরে, একটি বাস্তব সংখ্যা C ∈ (a , b) বিদ্যমান যা ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য অনুসারে,

f'(c) =

ধরি,

অংশ দ্বারা সমাকলনের মাধ্যমে সমাধান করে, আমরা পাই

যেখানে C হল ধ্রুবক

ধারণা:

x এর একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একটি ফাংশন y = f(x) বিবেচনা করুন।

ফাংশন চরম মান অর্জন করে (মান সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বা উভয় হতে পারে)।

সর্বোচ্চ মানের জন্য:

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় ম্যাক্সিমা যদি এমন কোনো বিন্দু থাকে যেখানে সর্বোচ্চ মান স্থানীয় ম্যাক্সিমা থেকে বেশি হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় ম্যাক্সিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল ম্যাক্সিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল ম্যাক্সিমা থেকে বেশি মান রয়েছে।

মিনিমার জন্য:

• স্থানীয় মিনিমা: একটি বিন্দু হল একটি ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা যদি অন্য কোনো বিন্দু থাকে যেখানে ন্যূনতম মান স্থানীয় মিনিমার থেকে কম হয় কিন্তু সেই বিন্দুটি স্থানীয় মিনিমার কাছাকাছি নেই।
• গ্লোবাল মিনিমা: এটি এমন একটি পয়েন্ট যেখানে ডোমেনে অন্য কোন বিন্দু নেই যার জন্য ফাংশনের গ্লোবাল মিনিমা থেকে কম মান রয়েছে।

স্থির বিন্দু : বিন্দু যেখানে ফাংশনের অন্তরক সহগ শূন্য অর্থাৎ f'(x) = 0। বিন্দুগুলি হতে পারে:

• আনতি বিন্দু
• স্থানীয় ম্যাক্সিমা
• স্থানীয় মিনিমা

দ্বিতীয় অন্তরক সহগ পরীক্ষা: ধরুন ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু x = a আছে

• যদি তাহলে x = a, ম্যাক্সিমা একটি বিন্দু.
• যদি 0\) তাহলে x = a, minima একটি বিন্দু.

ব্য়বহার:

দেওয়া f(x) একটি বাস্তব-মানযুক্ত ফাংশন যেমন f'(x 0 ) = 0 কিছু x 0 ∈ (0, 1) এর জন্য

এছাড়াও সমস্ত x ∈ (0, 1) এর জন্য f"(x) > 0 দেওয়া হয়েছে

সুতরাং, f(x) এর ঠিক একটি স্থানীয় ন্যূনতম (0, 1) আছে, যাকে বিন্দুর মিনিমা বলা হয়।