Evaluation of Limits MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of Limits - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया फलन  है। 

कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।

f(x) का अवकलज है:

जब 0 )\), 0 )\) है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।

जब (x

(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x

कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है। 

चूँकि फलन ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x² का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

निष्कर्ष:

- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x

- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन  और .है,

हमें यह ज्ञात करना है:

अंश और हर दोनों को उनके संगत संयुग्मों से गुणा करने पर:

अंश को सरल करने पर:

हर को सरल करने पर:

अब, व्यंजक बन जाता है:

सरल करने पर और सीमा का मूल्यांकन करने पर:

 यह बन जाता है:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

⇒ f(π/2) = μ

संतत फलन के लिए ⇒ e^2/3 = e^λ = μ

अब, 6λ + 6log_eμ + μ⁶ - e^6λ = 10

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

⇒

=

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

सीमा और श्रृंखला विस्तार:

• इस समस्या में एक सीमा का मूल्यांकन करना शामिल है जो x से 0 तक अनिश्चित रूप लेती है। हमें त्रिकोणमितीय फलनों और समाकलन पद को उनके संबंधित श्रृंखला विस्तारों का उपयोग करके विस्तारित करके इसे हल करना होगा।
• और का x = 0 के आसपास विस्तार, पदों को सही ढंग से हल करने की कुंजी है।

गणना:

हमें दिया गया है:

इंटीग्रल और त्रिकोणमितीय पदों का विस्तार करके शुरू करें।

चरण 1: इंटीग्रल का मूल्यांकन

सबसे पहले, हम इंटीग्रल का मूल्यांकन करते हैं , जो एक मानक इंटीग्रल है।

अब प्रतिस्थापित करें इसे सीमा समीकरण में बदलें:

चरण 2: त्रिकोणमितीय पदों का विस्तार करना

x = 0 के आस-पास उनके श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके cos(x) और sin(x) का विस्तार करें:

इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

अब, व्यंजक को सरल करें:

x³  से जुड़े पदों को समूहीकृत करने पर, हमें यह मिलता है:

सीमा को x से 0 तक परिमित करने के लिए, इसमें शामिल पद x² और x³ को रद्द करना होगा।

इस प्रकार, हमें चाहिए:

चरण 3: α  के लिए हल करना

अब, β को प्रतिस्थापित करें = 0 को समीकरण में जोड़ने पर:

यह सरल हो जाता है:

सीमा के अस्तित्व में रहने के लिए, x³ से जुड़े पदों को रद्द करना होगा।

इसलिए, हमारे पास है:

चरण 4: निष्कर्ष

अंत में, हमारे पास है:

∴ का मान 2.4 है।

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ

गणना:

=           (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= 

= 

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि  और  

इसलिए,  और 

अतः 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

संकल्पना:

• .
• .
• .
• .

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान , , 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), के बराबर है। 

गणना:

 एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

.

हम जानते हैं कि  है, लेकिन  फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

.

∴ .

अवधारणा:

log mⁿ = n log m

गणना:

प्रयुक्त सूत्र:

गणना:

चूँकि, 1 - cos 2θ = sin²θ

⇒ 

⇒ 

∴   = √2

संकल्पना:

गणना:

= 

= 

माना कि 

यदि x → ∞ तो t → 0

= 

= 1 × π 

= π 

संकल्पना:

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं,

= 1 ×

=

= 

= -1 × 1

= -1

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3ⁿ आम लेते हुए, हम लिख सकते हैं:

यहाँ

इसलिए,