Limit and Continuity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया फलन  है। 

कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।

f(x) का अवकलज है:

जब 0 )\), 0 )\) है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।

जब (x

(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x

कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है। 

चूँकि फलन ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x² का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

निष्कर्ष:

- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x

- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन  और .है,

हमें यह ज्ञात करना है:

अंश और हर दोनों को उनके संगत संयुग्मों से गुणा करने पर:

अंश को सरल करने पर:

हर को सरल करने पर:

अब, व्यंजक बन जाता है:

सरल करने पर और सीमा का मूल्यांकन करने पर:

 यह बन जाता है:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार परिभाषित है:

हमें यह ज्ञात करना है:

x = -1 पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा की जाँच करें:

x = -1 पर सांतत्य के लिए दाएँ पक्ष की सीमा की जाँच करें:

चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा (L.H.S) और दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.S) बराबर नहीं हैं, इसलिए फलन x = -1 पर असांतत्य है।

x = 1 पर अवकलनीयता की जाँच करें:

x = 1 पर बाएँ-पक्ष के अवकलज है और x = 1 पर दाएँ-पक्ष के अवकलज है, जिसका अर्थ है कि फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

∴ फलन x = -1 पर न तो सांतत्य है और न ही x = 1 पर अवकलनीय है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार परिभाषित है:

हमें यह ज्ञात करना है:

|x| 3 है, इसलिए अवकलज है:

अब, x के 0 तक पहुँचने पर अवकलज की सीमा की गणना करें:

∴  का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (c) है

गणना:

⇒ f(π/2) = μ

संतत फलन के लिए ⇒ e^2/3 = e^λ = μ

अब, 6λ + 6log_eμ + μ⁶ - e^6λ = 10

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

गणना:

= 

= 

माना कि  है। 

यदि x → ∞ है, तो t → 0 है। 

= 

= 8 × 1 

= 8 

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ

गणना:

=           (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= 

= 

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि  और  

इसलिए,  और 

अतः 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

गणना:

हमें  का मान ज्ञात करना है। 

       [रूप ]

यह सीमा  रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

= 

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= 

= 

संकल्पना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

गणना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

|x| के दो मूल्य हो सकते हैं

|x | = - x जब x है ऋणात्मक हो

|x| = x जब x धनात्मक हो।

=

=

यहाँ,

इसलिए, मौजूद नहीं है ।

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि  मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

सूत्र:

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए,   है।

साथ ही,  है, क्योंकि f(x), x > 0 और x

.

संकल्पना:

• माना कि f(x), x = c पर संतत है यदि 

बायां पक्ष = दायां पक्ष = f(c) का मान 

अर्थात्, 

गणना:

            (a ϵ वास्तविक संख्याएँ)

∴ f(x) = f(a), इसलिए सभी स्थान पर संतत है

महत्वपूर्ण सुझाव:

द्विघात और बहुपद फलन उनके डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर संतत है। 

संकल्पना:

• .
• .
• .
• .

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान , , 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), के बराबर है। 

गणना:

 एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

.

हम जानते हैं कि  है, लेकिन  फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

.

∴ .

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ .

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

चूँकि फलन का समीकरण x 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

⇒ K =