Special Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• समस्या योग-अंतर त्रिकोणमितीय पहचान लागू करती है।
• यह पहचान का उपयोग करता है: sin(A) - sin(B) = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2).
• योग टेलीस्कोपिंग कोटैंजेंट पदों में सरलीकृत होता है, जहाँ आसन्न पद रद्द हो जाते हैं।
• अंत में, cot(60°) और sin(60°) का प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आवश्यक अभिव्यक्ति की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

गणना:

दिया गया है,

α = 1/(sin 60° sin 61°) + 1/(sin 62° sin 63°) + … + 1/(sin 118° sin 119°)

पहचान लागू करें:

⇒ sin^-1 A − पाप^-1 बी = पाप((बी &माइनस; ए)) / (पाप ए पाप बी)

⇒ पाप^-1 α = [sin(61° − 60°)] / [sin 60° पाप 61°] + [sin(63° − 62°)] / [sin 62° पाप 63°] + ... + [sin(119° − 118°)] / [sin 118° पाप 119°]

तो, शर्तें बन जाती हैं:

⇒ खाट 60° &शून्य; खाट 61° + cot 62° − cot 63° + … + cot 118° − cot 119°

टेलीस्कोप शब्द:

⇒ cot 60° − cot 119°

तो, α = cot 60°

cot 60° = 1/√3

तो, α = 1/√3

अब, csc^-1 (1/α) = csc^-1(√3)

तो, (csc^-1)² / α = (√3)² / (1/√3)

⇒ 3 ÷ (1/√3)

∴ आवश्यक मान 3 है.

संकल्पना:

यदि a1, a2, a3,..गुणोत्तर श्रेणी में सार्व अनुपात r के साथ हैं,

यदि a प्रथम पद हो, r किसी गुणोत्तर श्रेणी का उभयनिष्ठ अनुपात हो तो,

गणना:

गणना:

माना अभीष्ट योग S है।

⇒ S =

⇒ S =

⇒ S = 

⇒ S = 

इस प्रकार, a = 1/2 और r = 1/2

हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेणी (r वें पद का योग निम्न है

⇒ S =          (∵ 1/an = a-n)

⇒ S = n - 1 + 2-n

∴ S = n + 2-n -1

संकल्पना:

1. समांतर श्रेणी के nवें पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

an = a + (n – 1) d

2. पहला पद a और सार्व अंतर d वाले एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

     ----(1)

या

जहां,

an = nवां पद और l = अंतिम पद

गणना:

दिया गया है:

d = 3/2

n = 25

a = 3

समीकरण (1) से;

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग: ।

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

.

गणना:

⇒  

⇒   

⇒   

⇒  =  

⇒ α = 1011

संकल्पना:

ex का विस्तार:

गणना:

x = -1 रखने पर,

गणना:

गणना:

दिया हुआ: Let S = 

अब हम S को फिर से लिख सकते हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

उपरोक्त समीकरण को और सरल बनाने पर हम प्राप्त करते हैं,

⇒ S = 1/6 × [1/4 - 1/34] = 5/136

संकल्पना:

ex का विस्तार:

गणना:

x = 1 रखने पर,

अवधारणा:

समान्तर-ज्यामितीय श्रेणी (AGP):

• एक समान्तर-ज्यामितीय श्रेणी के पहले कुछ पद पहले पद a और सार्व अंतर d के साथ समान्तर श्रेणी से और पहले पद b और सार्व अनुपात r के साथ एक ज्यामितीय श्रेणी से बने हैं जिसे इसके द्वारा दिया जाता है:

  ab, (a + d)br, (a + 2d)br2, ... [a + (n - 1)d]brn - 1, ...

• एक AGP के अनंत का योग, जिसका |r| ≤ 1, निम्न द्वारा दिया गया है:

  S∞ =

गणना:

दी गई श्रृंखला एक AGP है जिसमें

a = 1, d = 2 और b = , r = ।

S∞ =

⇒ S∞  = 1 + 

⇒ S∞  = 1 + 2

⇒ S∞  = 3.

अवधारणा:

यदि a₁, a₂, …., a_n,  AP में है तो-  

जहाँ a प्रथम पद एवं d सार्व अंतर है।

यदि a₁, a₂, …, a_n , AP में है तब व्यापक पद होगा: a_n = a + (n - 1) × d

जहाँ a प्रथम पद एवं d सार्व अंतर है।

गणना:

यहाँ हमे 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 का मान ज्ञात करना है।

⇒ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 = (1 + 3 + …… + 101) - (2 + 4 + ….. + 100)

जैसा कि हम देख सकते है (1, 3, ……, 101), AP में है जिसमे a = 1 और d = 2.

⇒ a_n = 101 = 1 + (n - 1) × 2

⇒ n = 51

इसी प्रकार, (2, 4, …, 100) , AP में है जिसमे  a = 2 और d = 2

⇒ a_n = 100 = 2 + (n - 1) × 2

⇒ n = 50

⇒ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 = (1 + 3 + …… + 101) - (2 + 4 + ….. + 100) = 2601 - 2550 = 51.

संकल्पना:

1 से n तक के क्रमागत संख्याओं का योग:

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 20 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

प्रयुक्त सूत्र:

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ....... × 3 × 2 × 1

गणना:

an = n (n)!

an = (n + 1 - n)n!

an = (n + 1)n! - n!

an = (n + 1)! - n!

Hence

a1 = 2! - 1! 

a2 = 3! - 2! 

----------------

a10 = 11! - 10!

अब,

 a1 + a2 + a3 +...+ a10 

2! - 1! + 3! - 2! + ......11! - 10! 

= 11! - 1

∴ a 1 + a 2 + a 3 +...+ a 10 का मान 11! - 1 है।

संकल्पना:​

• 12 + 22 + 32 + ..... + n2 = 

गणना:

यहाँ हमें श्रृंखला 2 + 8 + 18 + 32 + 50 +......+ 200 का योग ज्ञात करना है। 

दी गयी श्रृंखला को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है:  2(12 + 22 + 32 + ..... + 102)

चूँकि हम जानते हैं कि, 12 + 22 + 32 + ..... + n2 = 

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है। 

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग: ।

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

.