Mathematics MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Mathematics - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

ആശയം:

ഗുണോത്തര ശ്രേണി  (GP): ഓരോ പദവും മുൻ പദത്തെ പൊതു അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണി.

GP യുടെ n പദങ്ങളുടെ (S _n ) ആകെത്തുക നൽകുന്നത്:

• a: GP യുടെ ആദ്യപദം 
• r: GP യുടെ പൊതു അനുപാതം
• n: ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

നൽകിയിരിക്കുന്നു, f(1) = 3

സവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച്:

⇒ f(2) = f(1 + 1) = f(1) × f(1) = 3 × 3 = 9

⇒ f(3) = f(1 + 2) = f(1) × f(2) = 3 × 9 = 27

⇒ f(4) = f(1 + 3) = f(1) × f(3) = 3 × 27 = 81

അപ്പോൾ, ​​= 3, 9, 27, 81, … a = 3 ഉം r = 3 ഉം ഉള്ള ഒരു GP രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്,

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

∴ n ന്റെ മൂല്യം 4 ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

സംഖ്യ = y എന്ന് കരുതുക

ATQ,

⇒ y + 8 = 2y

⇒ y = 8

∴ ശരിയായ ഉത്തരം 8 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

(72n - 1)

n = എണ്ണൽ സംഖ്യ

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(a2 - b2) = (a - b)(a + b)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

⇒ (72n - 1 )

n ന്റെ മൂല്യം = 1 എന്ന് കരുതുക.

⇒ (72 × 1 - 12 × 1)

⇒ (72 - 12)

⇒ (7 - 1) × (7 + 1)

⇒ 6 × 8

⇒ 48

⇒ 12 എന്നത് 48 ന്റെ ഘടകമാണ്.

∴ ഉത്തരം 12 ആണ്.

വിശദീകരണം:

•  ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിന്നോ ബഹുഭുജത്തിൽ നിന്നോ ചുരുളഴിയുന്ന ഒരു ഇഴയുടെ സ്വതന്ത്ര അറ്റത്ത് കണ്ടെത്തുന്ന ഒരു വക്രമാണ് ഇൻവോല്യൂട്ട് (​അകത്തേക്ക് ചുരുണ്ട). ഇഴ  എപ്പോഴും ഇറുകിയതും വൃത്തത്തിലേക്കോ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളിലേക്കോ സ്പർശിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ളതുമാണ്.
• ഇൻവോല്യൂട്ട് ഒരു വൃത്തത്തിലോ ബഹുഭുജത്തിലോ കണ്ടെത്തുന്നുണ്ടോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, ഇൻവോല്യൂട്ടിനെ വൃത്തത്തിന്റെ ഇൻവോല്യൂട്ട്  അല്ലെങ്കിൽ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഇൻവോല്യൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

Additional Information

• ലോഗരിതമിക വക്രം എന്നത് ലോഗരിതമിക ധർമ്മത്തിന്റെ ഇതിവൃത്തം ആണ്.

• ഒരു സിനുസോയ്ഡൽ ധർമ്മം (സിനുസോയ്ഡൽ ദോലനം  അല്ലെങ്കിൽ സിനുസോയ്ഡൽ സിഗ്നൽ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു) ഒരു സാമാന്യവൽക്കരിച്ച സൈൻ ധർമ്മമാണ്.
• സൈൻ ഗ്രാഫ് അല്ലെങ്കിൽ സിനുസോയ്ഡൽ ഗ്രാഫ് ഒരു അപ്-ഡൗൺ ഗ്രാഫ് ആണ്, ഓരോ 360 ഡിഗ്രിയിലും അതായത് 2π-ൽ ആവർത്തിക്കുന്നു.

• ​കൃത്യങ്കപരമായ ഗ്രാഫ് എന്നത് ഒരു ​കൃത്യങ്കപരമായ ധർമ്മത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു വക്രമാണ്.
• f(x) = 2^x എന്നതിനായുള്ള ഒരു ​കൃത്യങ്കപരമായ ഗ്രാഫ്

നൽകിയത്:

6x² + x - 15 = 0

സിദ്ധാന്തം:

ax² + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലങ്ങള്‍ α, β ആണെങ്കില്‍

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

6x² + x - 15 = 0

⇒ 6x² + 10x - 9x - 15 = 0

⇒ 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = 0

⇒ (2x - 3)(3x + 5) = 0

⇒ x = 3/2, -5/3

ഇപ്പോള്‍ (α - β) ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം

⇒ 3/2 - (-5/3)

⇒ 3/2 + 5/3

⇒ (9 + 10)/6

⇒ 19/6
അതിനാല്‍ ഓപ്ഷന്‍ 2 ശരിയായ ഉത്തരമാണ്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

വർഗ്ഗീകരിച്ച വിവരശേഖരത്തിന്റെ മാധ്യം നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

ഇവിടെ, 

Xi =  ith ക്ലാസ്സിന്റെ മാധ്യം 

fi = ith ക്ലാസ്സിന്റെ ആവൃത്തി 

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

കണക്കുകൂട്ടൽ:

വിവരശേഖരത്തിന്റെ മാധ്യം കണക്കാക്കാൻ, ∑fiXi ഉം ∑fi ഉം താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

അപ്പോൾ,

വർഗ്ഗീകരിച്ച വിവരശേഖരത്തിന്റെ മാധ്യം നൽകിയിരിക്കുന്നത് നമുക്കറിയാം,

= 

= 35.7

അതിനാൽ, വർഗ്ഗീകരിച്ച വിവരശേഖരത്തിന്റെ മാധ്യം 35.7 ആണ്.

ആശയം:

• സംഖ്യകളുടെ അനുപാതം കാണിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ കാണിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ.
• അഭിന്നക സംഖ്യകൾ a/b എന്ന ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ b പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.
• നമ്മൾ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ആകെത്തുക എല്ലായിപ്പോഴും ഭിന്നകമായി നിലനിൽക്കും.
• എന്നാൽ നമ്മൾ ഒരു അഭിന്നക സംഖ്യയുമായി ഒരു ഭിന്നക  സംഖ്യ ചേർത്താൽ, ആകെത്തുക എല്ലായിപ്പോഴും ഒരു അഭിന്നക സംഖ്യയായിരിക്കും.

വിശദീകരണം:

കേസ്:1 π, 1 - π എന്നീ രണ്ട് അഭിന്നക സംഖ്യകൾ എടുക്കുക

⇒ആകെത്തുക = π +1 - π = 1

ഇത് ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ്.

കേസ്:2 π, √2 എന്നീ രണ്ട് അഭിന്നക സംഖ്യകൾ എടുക്കുക

⇒ ആകെത്തുക = π + √2

ഇത് ഒരു അഭിന്നക സംഖ്യയാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ട് അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ഭിന്നകസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അഭിന്നക സംഖ്യയോ ആകാം.

ആശയം:

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത രേഖീയ പരിഹാരങ്ങൾക്ക്, D > 0,

ഇവിടെ D = b² - 4ac

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ k² - 4k > 0

⇒ k(k - 4) > 0

⇒ (k - 0) (k - 4) > 0

⇒ k > 4, k

അപ്പോൾ,

⇒ k 4

തന്നിരിക്കുന്നത്:

5, 6, 7, 8, 9 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് 3 അക്ക ഒറ്റ സംഖ്യകൾ രൂപീകരിക്കണം 

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

3 അക്ക സംഖ്യകളെ യഥാക്രമം H T U (ആയിരങ്ങൾ,പത്തുകൾ, യൂണിറ്റ് അക്കം) എന്ന് എടുത്താൽ

3 അക്ക സംഖ്യയെ ഒറ്റയാക്കാൻ

5, 7, 9 എന്നിവയെ യൂണിറ്റ് അക്കത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത്  ഉപയോഗിച്ചാൽ മാത്രമാണ് സാധ്യമാകൂ .

ആയിരത്തിന്റെയും പത്തിന്റെയും സ്ഥാനത്ത് 5 അക്കങ്ങളും  ഉപയോഗിക്കാൻ പറ്റും.

യൂണിറ്റ് സ്ഥാനത്ത് പറ്റുന്നവയുടെ എണ്ണം = 3

പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് പറ്റുന്നവയുടെ എണ്ണം = 5

ആയിരത്തിന്റെ സ്ഥാനത്ത് പറ്റുന്നവയുടെ എണ്ണം = 5

3 അക്ക ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം =  3 × 5 × 5 = 75 

∴ അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, 5, 6, 7, 8, 9 എന്നിവയിൽ നിന്നും 75 മൂന്നക്ക ഒറ്റ സംഖ്യകൾ രൂപീകരിക്കാൻ കഴിയും.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

Secθ = 17/15 or Cosθ = 15/17

പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാൽ:

⇒ 172 = (ലംബരേഖ)2 + 152

⇒ ലംബരേഖ = 8

∴ Tanθ = ലംബരേഖ/പാദം = 8/15

sec2θ  = 1 + tan2θ 

(17/15)2 = 1 + tan2θ

⇒ 289/225 = 1 + tan2θ

⇒ 64/225 =  tan2θ

⇒ tanθ = 8/15

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

p(x) ഒരു ഫലനവും (x - a) എന്നത് p(x) ന്റെ ഘടകവുമാണെങ്കിൽ, p(a) = 0:

കണക്കുകൂട്ടൽ:

3x2 + kx + 8 ന്റെ ഒരു ഘടകമാണ് x + 4. അതിനാൽ, x = -4 എന്നത് ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരമായിരിക്കും.

⇒ 3(-4)² + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിന്റെ ഉയരം x മീറ്റർ ആയിരിക്കട്ടെ.

⇒ tan45° = ലംബം/അടിസ്ഥാനം = (47 – x) / 40

⇒ 1 = (47 – x) / 40

⇒ 40 = 47 – x

⇒ x = 7

∴ പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിന്റെ ഉയരം = 7 മീ

കുളത്തിൽ നിന്നുള്ള പക്ഷിയുടെ ഉയരമാണ് BE.

⇒ BE = ED = h m

⇒ AF = CE = 60 m

⇒ BC = (h – 60) m, CD = (h + 60) m

ΔABC യിൽ,

tan 30 = BC/AC

⇒ 1/√3 = (h – 60)/AC

⇒ AC = √3 (h – 60)      ----(i)

 ΔADC യിൽ,

tan 60 = CD/AC

⇒ √3 = (h + 60)/AC

⇒ AC = (h + 60)/√3      ----(ii)

(i) ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും (ii) ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും

√3 (h – 60) = (h + 60)/√3

⇒ 3 (h – 60) = (h + 60)

⇒ 3h – 180 – h = 60

⇒ 2h = 240

⇒ h = 120 m

∴ കുളത്തിൽ നിന്നുള്ള പക്ഷിയുടെ ഉയരം 120 മീറ്ററാണ്.

ടോപ്പറുടെ സമീപനം:

x = 10 × 8 - (10 + 4 + 1 + 15 + 15 + 12 + 14)    ....(1)

Unit digit method of trick can be applied here 

10 × 8 ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം 0 ആണ്

(10 + 4 + 1 + 15 + 15 + 12 + 14) യൂണിറ്റ് അക്കം 1 ആണ് 

അതിനാൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാതെ നമുക്ക് x ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം ലഭിക്കും, അത് 9 ആയിരിക്കും

∴ ശരിയായ ഉത്തരം 3 ആണ്.

വിശദമായ പരിഹാരം:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ആകെത്തുക​ =ശരാശരി × നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക = 10 + 4 + 1 + 15 + 15 + x + 12 + 14 = x + 71

സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം = 8

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്:

⇒ (x + 71)/8 = 10

⇒ x + 71 = 80

നൽകിയത്,

(x - 1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

ആശയം:/സൂത്രവാക്യം:

(x – y)² = k²

(x – y) = k or (–k)

x = (k + y) or (y – k)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

(x -1)² + (y - 2)² = (x – 1) (y - 2)

എടുക്കുമ്പോൾ,

⇒ (x – 1)² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (x – 1) = (y – 2)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1)     ----(1)

എടുക്കുമ്പോൾ,

⇒ (y – 2)² = (x – 1) (y – 2)

⇒ (y – 2) = (x – 1)

⇒ x – y = -2 + 1

⇒ x – y = (-1)     ----(2)

y = 2 ഉം x = 1 ഉം ആകട്ടെ, അപ്പോൾ 

⇒ 1 – 2 = (-1)

(-1) = (-1) (തൃപ്തികരമാണ്)

ഇപ്പോൾ 

2x + 3y

⇒ 2 × 1 + 3 × 2

⇒ 2 + 6

⇒ 8