Maxima & Minima MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Maxima & Minima - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x)

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If   then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If  0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x)

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If   then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If  0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x)

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0)

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0

k2 - 4

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

సాధన: 

x యొక్క నిర్వచించిన విరామంలో y = f(x) ప్రమేయం ను పరిగణించండి.

ప్రమేయం విపరీతమైన విలువలను పొందుతుంది (విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక గరిష్టం: ఒక బిందువు అనేది స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక ప్రమేయం యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• ప్రపంచ గరిష్టం కంటే ప్రమేయంకు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

మినిమా కోసం:

• లోకల్ మినిమా: ఒక బిందువు అనేది లోకల్ మినిమా కంటే కనిష్ట విలువ తక్కువగా ఉన్న ఇంకేదైనా బిందువు ఉన్నట్లయితే, ఆ బిందువు స్థానిక మినిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, అది ప్రమేయం యొక్క లోకల్ మినిమా.
• గ్లోబల్ మినిమా: గ్లోబల్ మినిమా కంటే ప్రమేయం తక్కువ విలువ కలిగిన డొమైన్‌లో వేరే బిందువు లేని బిందువు ఇది.

స్టేషనరీ పాయింట్‌లు: ప్రమేయం యొక్క ఉత్పన్నం సున్నా అయిన పాయింట్‌లు అంటే, f'(x) = 0. పాయింట్‌లు ఇలా ఉండవచ్చు:

• ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్
• స్థానిక గరిష్టం
• స్థానిక మినిమా

రెండవ ఉత్పన్న పరీక్ష: ప్రమేయం  x = a స్థిర బిందువు ఉండనివ్వండి

• If   then x = a, గరిష్ట బిందువు..
• If  0\)  then x = a, అనేది కనిష్ట బిందువు.

అనువర్తనాలు:

ఇచ్చిన f(x) అనేది కొన్ని x0 (0, 1)కి f'(x0) = 0 అనే వాస్తవ విలువ కలిగిన ప్రమేయం.

అన్ని x (0, 1)కి f"(x) > 0 కూడా ఇవ్వబడింది

కాబట్టి, అప్పుడు f(x) అనేది కనిష్ట బిందువుగా పిలువబడే (0, 1)లో ఖచ్చితంగా ఒక స్థానిక కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది.