f (x) = 3x⁴ + 4x³ - 12x² + 12 অপেক্ষকটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান কোন বিন্দুতে অবস্থিত?

ধারণা:

ধরা যাক f একটি অবিচ্ছিন্ন অপেক্ষক যেমন f '(p) = 0

• যদি f ''(p) > 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে।

• যদি f ''(p) < 0 হয় তাহলে p-তে f-এর একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে।

গণনা:

f (x) = 3x4 + 4x³ - 12x2 + 12

⇒ f ' (x) = 12x³ + 12x² - 24x + 0 ----(1)

⇒ f ' (x) = 12x (x² + x - 2)

⇒ f ' (x) = 12x (x - 1)(x + 2)

f ' (x) = 0 বসিয়ে পাই

⇒ 12x (x - 1)(x + 2) = 0

⇒ x = 0, 1, -2 হল চরম বিন্দু 

f '' (x) নির্ণয় করে পাই,

⇒ f '' (x) = 36x² + 24x - 24          [(1) ব্যবহার করে ]

⇒ f '' (x) = 12 (3x² + 2x - 2)

কেস 1: x = 0-এ,

f '' (x) = 12 (3(0)2 + 2(0) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (-2) = -24 < 0

যেহেতু, x = 0-তে f '' (x) < 0

∴ x = 0 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 0-এ f(x) হল সর্বোচ্চ।

কেস 2: x = 1-এ

f '' (x) = 12 (3(1)2 + 2(1) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (3 + 2 - 2) = 36 > 0

যেহেতু, x = 1-এ f '' (x) > 0

∴ x = 1 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = 1-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

কেস 3: x = -2-এ

f '' (x) = 12 (3(-2)2 + 2(-2) - 2)

⇒ f '' (x) = 12 (12 - 4 - 2) = 72 > 0

যেহেতু, x = -2-এ f '' (x) > 0

∴ x = -2 হল স্থানীয় সর্বোচ্চ মান

সুতরাং, x = -2-এ f(x) হল সর্বনিম্ন।

অতএব, x = 0 বিন্দুতে, f(x) সর্বোচ্চ।