माना कि A एक 10 × 10 वास्तविक आव्यूह है। मान लीजिए कि A का कोटि 7 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?

संप्रत्यय:

आव्यूह का कोटि:

किसी आव्यूह का कोटि आव्यूह के प्रतिबिम्ब की विमा होती है, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, आव्यूह A का कोटि 7 है, जिसका अर्थ है कि 7 रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ और स्तंभ हैं, जबकि स्थान के 3 आयाम शून्य समष्टि में हैं।

शून्य समष्टि:

चूँकि आव्यूह A \(10 \times 10\) है और इसका कोटि 7 है, इसलिए A की शून्य समष्टि (कर्ण) की विमा 10 - 7 = 3 है। इसका अर्थ है कि ऐसे 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश v मौजूद हैं जिनके लिए Av = 0।

शून्यभावी आव्यूह पर विचार:

एक शून्यभावी आव्यूह वह होता है जहाँ \( A^k = 0\) किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए। इस मामले में, स्पष्ट रूप से कुछ भी संकेत नहीं करता है कि A शून्यभावी है, लेकिन सदिश समष्टि परिवर्तनों का विश्लेषण करते समय हमें A की घातों पर विचार करने की आवश्यकता है।

व्याख्या:

विकल्प 1:
यह सुझाव देता है कि आव्यूह A इस तरह से कार्य कर सकता है जहाँ v को A द्वारा एक शून्येतर मान पर प्रतिचित्रित किया जाता है, लेकिन A को फिर से लागू करने पर शून्य हो जाता है। यह एक अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह के मामले में संभव है।

यह कथन कुछ गुणों वाले आव्यूह के लिए सत्य हो सकता है, लेकिन यह हर मामले में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

प्रति उदाहरण:

निम्नलिखित \( 2 \times 2\) आव्यूह पर विचार करें, जिसे आसानी से बड़ी विमाओं में विस्तारित किया जा सकता है:

यह एक साधारण आव्यूह है जो सदिशों के लिए दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है। अब, आइए देखें कि क्या हम एक सदिश v पा सकते हैं जो शर्तों \(Av \neq 0\) और \(A^2v = 0\) को पूरा करता है।

\(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

इस प्रकार, \(A^2 = 0\), जिसका अर्थ सभी सदिशों v के लिए, \( A^2v = 0\)।

\(v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

तब \(Av = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

विकल्प 2:

चूँकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह दर्शाता है कि A कुछ सदिशों को शून्येतर मानों पर प्रतिचित्रित करता है। यदि v, A की शून्य समष्टि में नहीं है, तो v पर A को दो बार लागू करने से शून्य परिणाम नहीं हो सकता है।

यह कथन आवश्यक रूप से सत्य है, क्योंकि \(\mathbb{R}^{10}\) में ऐसे सदिश हैं (जो शून्य समष्टि में नहीं हैं) जिनके लिए \(A^2v \neq 0 \) है।

विकल्प 3:
जबकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह गारंटी नहीं देता है कि आव्यूह में शून्येतर आइगेन मान हैं।

अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह में अभी भी शून्य आइगेन मान हो सकते हैं। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

विकल्प 4: " \(A^7 = 0\)."
इसका अर्थ होगा कि A शून्यभावी है और इसे 7 बार लागू करने के बाद शून्य हो जाता है।

समस्या में कोई जानकारी नहीं है जो यह सुझाव देती है कि A शून्यभावी है। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

सही उत्तर विकल्प 2) है।