Question
Download Solution PDFमाना कि A एक 10 × 10 वास्तविक आव्यूह है। मान लीजिए कि A का कोटि 7 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
आव्यूह का कोटि:
किसी आव्यूह का कोटि आव्यूह के प्रतिबिम्ब की विमा होती है, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, आव्यूह A का कोटि 7 है, जिसका अर्थ है कि 7 रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ और स्तंभ हैं, जबकि स्थान के 3 आयाम शून्य समष्टि में हैं।
शून्य समष्टि:
चूँकि आव्यूह A
शून्यभावी आव्यूह पर विचार:
एक शून्यभावी आव्यूह वह होता है जहाँ
व्याख्या:
विकल्प 1:
यह सुझाव देता है कि आव्यूह A इस तरह से कार्य कर सकता है जहाँ v को A द्वारा एक शून्येतर मान पर प्रतिचित्रित किया जाता है, लेकिन A को फिर से लागू करने पर शून्य हो जाता है। यह एक अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह के मामले में संभव है।
यह कथन कुछ गुणों वाले आव्यूह के लिए सत्य हो सकता है, लेकिन यह हर मामले में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
प्रति उदाहरण:
निम्नलिखित
यह एक साधारण आव्यूह है जो सदिशों के लिए दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है। अब, आइए देखें कि क्या हम एक सदिश v पा सकते हैं जो शर्तों
इस प्रकार,
तब
विकल्प 2:
चूँकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह दर्शाता है कि A कुछ सदिशों को शून्येतर मानों पर प्रतिचित्रित करता है। यदि v, A की शून्य समष्टि में नहीं है, तो v पर A को दो बार लागू करने से शून्य परिणाम नहीं हो सकता है।
यह कथन आवश्यक रूप से सत्य है, क्योंकि
विकल्प 3:
जबकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह गारंटी नहीं देता है कि आव्यूह में शून्येतर आइगेन मान हैं।
अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह में अभी भी शून्य आइगेन मान हो सकते हैं। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
विकल्प 4: "
इसका अर्थ होगा कि A शून्यभावी है और इसे 7 बार लागू करने के बाद शून्य हो जाता है।
समस्या में कोई जानकारी नहीं है जो यह सुझाव देती है कि A शून्यभावी है। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
सही उत्तर विकल्प 2) है।
Last updated on Jun 23, 2025
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