मान लीजिए S, R का एक सघन उपसमुच्चय है और f : ℝ → ℝ एक दिया गया फलन है। g : S → ℝ को g(x) = f(x) द्वारा परिभाषित कीजिए। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?

संप्रत्यय:

यदि कोई फलन एक सघन समुच्चय पर संतत है, तो यह आवश्यक रूप से यह नहीं दर्शाता है कि फलन सम्पूर्ण पर संतत है, विशेष रूप से पर, जो में का पूरक है।

व्याख्या:

विकल्प 1: एक सघन उपसमुच्चय पर सांतत्य सम्पूर्ण समुच्चय पर सांतत्य का अर्थ नहीं निकालती है।

एक फलन एक सघन उपसमुच्चय पर संतत हो सकता है लेकिन पर असांतत्य प्रदर्शित कर सकता है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

विकल्प 2: केवल पर परिभाषित है, इसलिए भले ही पर संतत है, यह की शेष पर सांतत्य के बारे में कुछ नहीं बताता है।  का सांतत्य ​ के सर्वत्र सांतत्य की गारंटी नहीं देता है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

विकल्प 3: यदि सभी के लिए (जो में सघन है), और पर संतत है,

के घनत्व से, पर सर्वत्र 0 होना चाहिए, क्योंकि एक सघन समुच्चय पर एक संतत फलन जो 0 है, सम्पूर्ण समुच्चय पर 0 होना चाहिए। इसलिए, यह विकल्प सही है।

विकल्प 4: का पर सर्वसमक रूप से 0 होना और का पर संतत होना यह नहीं दर्शाता है कि पर सर्वसमक रूप से 0 है। पर संतता आगे की शर्तों के बिना सम्पूर्ण समुच्चय तक नहीं बढ़ती है।

इसलिए, यह विकल्प गलत है।

सही उत्तर विकल्प 3) है।