Application of Gauss Law MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Gauss Law - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

परिणाम:

kQ / r + k(-q) / R = 0

q = QR / r

→ प्रारंभिक विभव = (9 x 10⁹ x 10⁻⁸) / (1 / 5) = 450 वोल्ट (A)

→ q = 10⁻⁸ x 10 / 20 = 5 x 10⁻⁹ C प्रवाहित होता है (B) जमीन पर

→ -q = -5 x 10⁻⁹ C (C)

→ 9 x 10⁹ [(-5 x 10⁻⁹) / (1 / 10) + (10⁻⁸ x 10) / 3] = 9 x 10 [(-5) + (10 / 3)] = 90 x (-5 / 3) = -150 V

गणना:

निम्नानुसार मुक्त पिंड आरेख दर्शाया गया है

साम्यावस्था की स्थिति से:

⇒ q × (σ / 2 ε0) = mg

⇒ σ = (2 ε0 mg) / q

⇒ σ = (2 × 8.85 × 10-12 × 100 × 10-6 × 10) / (10 × 10-6)

⇒ σ = 17.7 × 10-10 C/m2

⇒ σ = 1.77 nC/m2

∴ पृष्ठीय आवेश घनत्व σ = 1.77 nC/m².

अवधारणा:
त्रिज्या r और मोटाई dr के एक पतले गोलाकार कोश के भीतर कुल आवेश dQ है,

dQ = ρ(r) · dV = ρ(r) · 4πr²dr

त्रिज्या r तक गोले के अंदर कुल आवेश Q(r) है,

Q(r) = ∫0r ρ(r') · 4πr'² dr'

गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव, गोलाकार सममित आवेश वितरण के कारण, निम्न का उपयोग करके पाया जा सकता है,

गणना:

V(r) = (1 / 4πε₀) [ (1 / r) ∫0r ρ(r') · 4πr'² dr' + ∫rR (ρ(r') · 4πr'² dr') / r' ]

केंद्र (r = 0) पर विभव के लिए,

V(0) = (1 / 4πε₀) ∫0R (ρ(r) · 4πr²) / r dr

V(0) = (1 / ε₀) ∫0R ρ(r) · r dr

यदि आवेश घनत्व ρ(r) स्थिर है, अर्थात, ρ(r) = ρ₀,

समाकलन बन जाता है: V(0) = (ρ₀ / ε₀) ∫0R r dr = (ρ₀ / ε₀) [r² / 2]0R = (ρ₀ R2) / (2ε₀)

लेकिन अगर आवेश घनत्व ऐसा है कि: ρ(r) = ρ₀ / r

तो, केंद्र पर विभव होगा: V(0) = (1 / ε₀) ∫0R (ρ₀ / r) · r dr = (1 / ε₀) ∫0R ρ₀ dr = (ρ₀ · R) / ε₀

हालांकि, एक गोलाकार आयतन में एक समान आवेश वितरण के लिए, सही विभव होगा: V(0) = (ρ₀ R2) / (3ε₀)
एक समान आवेश घनत्व ρ0 वाले गोलाकार आवेश वितरण के केंद्र पर सही विद्युत विभव है: V(0) = (ρ₀ R2) / (3ε₀)

∴ सही विकल्प 4 है।

अवधारणा :

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है

यानी \({\rm{\Phi }} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

• लेकिन हम जानते हैं कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह \(\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} \) है

\(∴\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = पृष्ठ में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युत्शीलता

व्याख्या :

गॉस के नियम से

\(\Rightarrow \phi = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

\(\Rightarrow \phi = \mathop \smallint \limits_s^\; E \times ds\)

\(\Rightarrow \phi = E \times 4\pi {r^2}\)

• चूंकि गोलाकार कोश की सतह समान रूप से आवेशित होती है, इसलिए गोलाकार कोश के अंदर आवेश शून्य होता है, गाऊसी सतह में कोई आवेश नहीं होता है।

गॉस का प्रमेय देता है

\(\Rightarrow E \times 4\pi {r^2} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}} = 0\)              ∴ r < R के लिए E = 0

इसलिए आवेश का एक खोखला गोला किसी भी आंतरिक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।

संकल्पना:

गॉस का नियम:

गॉस के नियम के अनुसार किसी बंद सतह से होकर गुजरने वाले विद्युत प्रवाह सतह द्वारा संलग्न कुल आवेश के बराबर होता है। 

ϕ = Q = संलग्न आवेश 

\(\varphi = {Q_1} + {Q_2} + {Q_3} + \ldots {Q_n} = \sum {Q_n}\)

गणना:

φ = Q₁ + Q₂ + Q₃

ϕ = (5 × 10^-8) + (4 × 10^-8) + (-6 × 10^-8)

संकल्पना:

गॉस नियम के अनुसार,

ψ = Q_enc

जहाँ ψ = एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह। 

\(\psi =\mathop{\oint }_{s}~d\psi =\mathop{\oint }_{s}~\vec{D}.d\vec{s}\)

\(Q=\mathop{\int }_{v}{{\rho }_{v}}dv\)

\(Q=\mathop{\oint }_{s}~\vec{D}.d\vec{s}=\mathop{\int }_{v}{{\rho }_{v}}dv\)

विचलन प्रमेय लागू करने पर, 

\(\mathop{\oint }_{s}\vec{D}.d\vec{s}=\mathop{\int }_{v}\nabla .\vec{D}~dv\)

\(So,~{{\rho }_{v}}=\nabla .\vec{D}\)

वृत्ताकार निर्देशांक प्रणाली में:

\(\nabla .\vec{D}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}{{A}_{r}} \right)+\frac{1}{r\sin \theta }.\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta .{{A}_{\theta }} \right)+\frac{1}{r\sin \theta }.\frac{\partial A\phi }{\partial \phi }\)

गणना:

\(\text{Given},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\vec{D}=\frac{Q}{4\pi {{r}^{2}}}{{\hat{a}}_{r}}\)

\(So,~\nabla .\vec{D}=\frac{1}{{{r}^{2}}}.\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}.\frac{Q}{4\pi {{r}^{2}}} \right)=0\) (वृत्ताकार निर्देशांक प्रणाली में)

संकल्पना:

गॉस नियम के अनुसार,

ψ = Q_enc

जहाँ ψ = एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह। 

\(\psi =\mathop{\oint }_{s}~d\psi =\mathop{\oint }_{s}~\vec{D}.d\vec{s}\)

\(Q=\mathop{\int }_{v}{{\rho }_{v}}dv\)

\(Q=\mathop{\oint }_{s}~\vec{D}.d\vec{s}=\mathop{\int }_{v}{{\rho }_{v}}dv\)

विचलन प्रमेय लागू करने पर, 

\(\mathop{\oint }_{s}\vec{D}.d\vec{s}=\mathop{\int }_{v}\nabla .\vec{D}~dv\)

\(So,~{{\rho }_{v}}=\nabla .\vec{D}\)

वृत्ताकार निर्देशांक प्रणाली में:

\(\nabla .\vec{D}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}{{A}_{r}} \right)+\frac{1}{r\sin \theta }.\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta .{{A}_{\theta }} \right)+\frac{1}{r\sin \theta }.\frac{\partial A\phi }{\partial \phi }\)

गणना:

\(\text{Given},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\vec{D}=\frac{Q}{4\pi {{r}^{2}}}{{\hat{a}}_{r}}\)

\(So,~\nabla .\vec{D}=\frac{1}{{{r}^{2}}}.\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}.\frac{Q}{4\pi {{r}^{2}}} \right)=0\) (वृत्ताकार निर्देशांक प्रणाली में)

संकल्पना:

गॉस का नियम:

गॉस के नियम के अनुसार किसी बंद सतह से होकर गुजरने वाले विद्युत प्रवाह सतह द्वारा संलग्न कुल आवेश के बराबर होता है। 

ϕ = Q = संलग्न आवेश 

\(\varphi = {Q_1} + {Q_2} + {Q_3} + \ldots {Q_n} = \sum {Q_n}\)

गणना:

φ = Q₁ + Q₂ + Q₃

ϕ = (5 × 10^-8) + (4 × 10^-8) + (-6 × 10^-8)

अवधारणा :

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है

यानी \({\rm{\Phi }} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

• लेकिन हम जानते हैं कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह \(\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} \) है

\(∴\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = पृष्ठ में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युत्शीलता

व्याख्या :

गॉस के नियम से

\(\Rightarrow \phi = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

\(\Rightarrow \phi = \mathop \smallint \limits_s^\; E \times ds\)

\(\Rightarrow \phi = E \times 4\pi {r^2}\)

• चूंकि गोलाकार कोश की सतह समान रूप से आवेशित होती है, इसलिए गोलाकार कोश के अंदर आवेश शून्य होता है, गाऊसी सतह में कोई आवेश नहीं होता है।

गॉस का प्रमेय देता है

\(\Rightarrow E \times 4\pi {r^2} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}} = 0\)              ∴ r < R के लिए E = 0

इसलिए आवेश का एक खोखला गोला किसी भी आंतरिक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।

अवधारणा:
त्रिज्या r और मोटाई dr के एक पतले गोलाकार कोश के भीतर कुल आवेश dQ है,

dQ = ρ(r) · dV = ρ(r) · 4πr²dr

त्रिज्या r तक गोले के अंदर कुल आवेश Q(r) है,

Q(r) = ∫0r ρ(r') · 4πr'² dr'

गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव, गोलाकार सममित आवेश वितरण के कारण, निम्न का उपयोग करके पाया जा सकता है,

गणना:

V(r) = (1 / 4πε₀) [ (1 / r) ∫0r ρ(r') · 4πr'² dr' + ∫rR (ρ(r') · 4πr'² dr') / r' ]

केंद्र (r = 0) पर विभव के लिए,

V(0) = (1 / 4πε₀) ∫0R (ρ(r) · 4πr²) / r dr

V(0) = (1 / ε₀) ∫0R ρ(r) · r dr

यदि आवेश घनत्व ρ(r) स्थिर है, अर्थात, ρ(r) = ρ₀,

समाकलन बन जाता है: V(0) = (ρ₀ / ε₀) ∫0R r dr = (ρ₀ / ε₀) [r² / 2]0R = (ρ₀ R2) / (2ε₀)

लेकिन अगर आवेश घनत्व ऐसा है कि: ρ(r) = ρ₀ / r

तो, केंद्र पर विभव होगा: V(0) = (1 / ε₀) ∫0R (ρ₀ / r) · r dr = (1 / ε₀) ∫0R ρ₀ dr = (ρ₀ · R) / ε₀

हालांकि, एक गोलाकार आयतन में एक समान आवेश वितरण के लिए, सही विभव होगा: V(0) = (ρ₀ R2) / (3ε₀)
एक समान आवेश घनत्व ρ0 वाले गोलाकार आवेश वितरण के केंद्र पर सही विद्युत विभव है: V(0) = (ρ₀ R2) / (3ε₀)

∴ सही विकल्प 4 है।