Graphical Method of Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Graphical Method of Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

मोहर का वृत्त एक प्रतिबलित निकाय में एक बिंदु पर किसी भी आनत समतल पर लागू लंबवत और अपरूपण प्रतिबलों के बीच संबंधों को निर्धारित करने में बहुत उपयोगी है। यह अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल आदि ज्ञात करने में सहायक है।

गणना:

चूँकि द्रव तत्व द्रवस्थैतिक भरण ( \(\sigma_1=\sigma_2=p\) के अधीन होगा, जब सभी प्रमुख प्रतिबल समान और संपीड़ित होंगे।

मोहर वृत्त σ-अक्ष पर एक बिंदु में समाप्त हो जाएगा।

∴ मोहर वृत्त की त्रिज्या = 0 इकाई

प्रतिबल का 2D द्रवस्थैतिक अवस्था के लिए:

• सभी तल समान लम्बवत प्रतिबल महसूस करते हैं।
• किसी भी तल पर कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं है

संकल्पना:

मोहर का सामर्थ्य सिद्धांत (1900): 

• पदार्थ के मोहर के विफलता सिद्धांत में कहा गया है कि लम्बवत प्रतिबल और अपरूपण प्रतिबल के एक महत्वपूर्ण संयोजन के कारण एक पदार्थ विफल हो जाता है, न कि अधिकतम लम्बवत या अपरूपण प्रतिबल से।
• इस प्रकार, एक विफलता तल पर लम्बवत प्रतिबल और अपरूपण प्रतिबल के बीच कार्यात्मक संबंध इस प्रकार व्यक्त  किया जा सकता है, \({\rm{\;}}{{\rm{\tau }}_{\rm{f}}} = {\rm{s}} = {\rm{f}}\left( {\rm{\sigma }} \right)\) जहां \({{\rm{\tau }}_{\rm{f}}}\) विफलता पर अपरूपण प्रतिबल है, s पदार्थ का अपरूपण प्रतिरोध और \({\rm{f}}\left( {\rm{\sigma }} \right)\) लम्बवत प्रतिबल का फलन है। मोहर की विफलता का आवरण निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

\({\tau _f} = c + {\sigma _f} \times \tan \phi \) (यह मोहर समीकरण का सबसे सामान्य रूप है)

जहाँ, τf = विफलता तल पर अपरूपण प्रतिबल, σf = विफलता तल पर लम्बवत प्रतिबल, c = आभासी ससंजन, ϕ = आंतरिक घर्षण कोण, जो तब तक स्थिर रहता है जब तक कि सभी विफलता तल समान विफलता  को काट नहीं देते हैं। 

संकल्पना:

जब दो परस्पर लम्बवत समतलों पर सामान्य प्रतिबल बराबर और समान हों तो मोहर वृत्त की त्रिज्या शून्य होगी।

मोहर वृत्त की त्रिज्या,

R = \(\sqrt { (\frac{σ_x-σ_y}{2})^2 + τ_xy^2}\)

यहाँ,

σ_x = σ_y और τ_xy = 0

∴ R = 0 का अर्थ है मोहर वृत्त एक बिंदु तक कम हो जाता है।

अवधारणा:

द्विअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के लिए सामान्य मोर वृत्त:

मुख्य प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है

\({{\sigma }_{1,~2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}~\pm ~\sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{xy}^{2}}\)

वृत्त की त्रिज्या (मोर वृत्त) \(=\sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{xy}^{2}}\)

गणना:

दी गई प्रतिबल की स्थिति को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है

∴ σ_x = 10 MPa. σ_y = 10 MPa τ_xy = 0

इसके लिए मोर वृत्त एक बिंदु होगा:

∴ σ₁ = σ₂ = 10 MPa

वृत्त की त्रिज्या (मोर वृत्त) शून्य होगी।

मूल बिंदु से 10 इकाई दूरी पर σ-अक्ष पर मोर वृत्त के केंद्र का निर्देशांक।

स्पष्टीकरण:

मोहर वृत्त

• समतल प्रतिबल के लिए रूपांतरण समीकरणों को चित्रमय रूप में मोहर के वृत्त के रूप में ज्ञात एक आलेख द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• यह चित्रमय निरूपण अत्यंत उपयोगी है क्योंकि यह आपको तनावग्रस्त पिंड में एक बिंदु पर विभिन्न झुकाव वाले तलों पर लगने वाले सामान्य और अपरूपण प्रतिबलों के बीच संबंधों की कल्पना करने में सक्षम बनाता है।
• मोहर वृत्त का उपयोग करके आप मुख्य प्रतिबल, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल और झुकाव वाले तलों पर प्रतिबल की गणना कर सकते हैं।
• दो समतलों के बीच के कोण को 2θ के रूप में दर्शाया जाता है।  

मोहर वृत्त द्वारा

मोहर वृत्त की त्रिज्या = 

\(R = \sqrt{[{1\over2}(σ_x-σ_y)]^2+\tau_{xy}^2}\)

मोहर वृत्त का केंद्र = (σ_avg, 0) 

σavg = \({{σ_x+σ_y}\over2}\)

मुख्य प्रतिबल 

\(σ_{x_{1}} = {{σ_x+σ_y}\over2}+{{σ_x-σ_y}\over2}cos2θ+\tau_{xy}sin2θ \)

अपरूपण प्रतिबल \(\tau_{{x_{1}}{y_{1}}} = -{{σ_x+σ_y}\over2}sin2θ+\tau_{xy}cos2θ\)

तो मूल से मोहर वृत्त का केंद्र  (\({{σ_x+σ_y}\over2}\),0) है। 

संकल्पना:

एक तनाव प्रणाली के सामान्य मामले में जब दो तनन प्रतिबल σx और σy एक निकाय पर दो लंबवत अक्षों के साथ साथ अपरुपण प्रतिबल τxy  पर कार्यरत हैं जैसा कि नीचे दिया गया है।

∵ कोई तनन या संपीडक प्रतिबल मौजूद नहीं है, मोहर वृत्त का आरेख केवल τxy त्रिज्या का एक वृत्त है और इसका केन्द्र दो अक्षों के प्रतिच्छेदन पर है अर्थात् मूल पर है।

इसे समतल सूत्र के रुपांतरण से भी सत्यापित किया जा सकता है।

\(Radius=\sqrt{\left ( \frac{σ_x\;-\;σ_y}{2} \right )^2+{τ_{xy}}^2}\)

∵ σ_x = 0 और σ_y = 0

∴ त्रिज्या= τ_xy

\(Centre=\left ( \frac{σ_x\;+\;σ_y}{2},0 \right )\)

∴ केन्द्र= (0, 0)

स्पष्टीकरण:

मुख्य अक्ष का पता लगाने के लिए ग्राफिकल विधि:

1. डायाडिक वृत्त

2. मोहर-वृत्त

3. जड़त्वीय वृत्त

Additional Information

जड़त्व का दीर्घवृत्त मुख्य अक्षों का पता लगाने के लिए ग्रफिकल विधि नहीं है।आघूर्णी दीर्घवृत्त या जड़त्व दीर्घवृत्त एक ग्राफिकल विधि है जिसका उपयोग असममित बंकन के मामले में उदासीन अक्ष का पता लगाने के लिए किया जाता है।

संकल्पना:

जब दो परस्पर लंबवत समतलों पर सामान्य प्रतिबल बराबर औऱ एकसमान होते हैं तो मोहर वृत्त की त्रिज्या शून्य होगी।\({\rm{Radius\;of\;Mohr's\;Circle}},R = \sqrt {{{\left( {\frac{{{\sigma _x} - {\sigma _y}}}{2}} \right)}^2} + {\tau _{xy}}^2} \)

यहाँं \({\sigma _x} = {\sigma _y}\;and\;{\tau _{xy}} = 0\)

केवल चित्र 3 में हम देख सकते हैं \({\sigma _x} = {\sigma _y}\;\;{} \)

∴ विकल्प 3 सही उत्तर होगा।

वर्णन:

विभिन्न स्थितियों के लिए मोहर का वृत्त निम्न रूप में दिया गया है:

∴ प्रमुख प्रतिबलों की बराबर और समान प्रकृति के लिए मोहर का वृत्त शून्य होगा। 

अवधारणा:

मोहर वृत्त:

• मोहर का वृत्त एक तिरछे तल पर लम्बवत, स्पर्शरेखा और परिणामी प्रतिबल को प्राप्त करने की एक ग्राफिकल विधि है।

मोहर वृत्त निम्नलिखित स्थितियों के लिए तैयार किया जाएगा:

1. एक निकाय असमान तीव्रता के दो परस्पर लंबवत मुख्य तन्य प्रतिबलों के अधीन है।
2. एक निकाय दो परस्पर लंबवत मुख्य प्रतिबलों के अधीन है जो असमान और असमान हैं (यानी, एक तन्य है और दूसरा संपीड़ित है)।
3. एक निकाय एक साधारण अपरूपण प्रतिबल के साथ दो परस्पर लंबवत मुख्य तन्य प्रतिबलों के अधीन होता है।

​

इसी प्रकार,

दिए गए चित्र में लघु मुख्य प्रतिबल को OB (σ2) द्वारा दर्शाया गया है और लघु मुख्य प्रतिबल को OA (σ1) द्वारा दर्शाया गया है।