Linear Dependence, Basis & Dimension MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Dependence, Basis & Dimension - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Linear Dependence, Basis & Dimension MCQ Objective Questions
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 1:
मान लीजिए कि आव्यूह A और B, आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं। यदि trace(A) = k है, तो trace(B) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(i) मान लीजिए V एक परिमित विमीय सदिश समष्टि है और T: V → V एक रैखिक संकारक है, तब किसी भी दो क्रमित आधारों के सापेक्ष T के आव्यूह समान होते हैं।
(ii) दो समान आव्यूहों का अनुरेख समान होता है।
व्याख्या:
A, B आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं।
तब, संप्रत्यय का उपयोग करते हुए, A और B समान आव्यूह हैं।
इसलिए, trace(A) = trace(B) = k
विकल्प (1) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 2:
N विमीय यूक्लिडीय समष्टि में, Akj बराबर है -
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
N-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में, Akj =
अतः विकल्प (2) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 3:
ℝ3 में उपसमुच्चय S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)} के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है:
(A). S एक रैखिकतः आश्रित समुच्चय है।
(B). S के कोई भी तीन सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं।
(C). S के कोई भी चार सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
हमें
चूँकि S में
और
इसलिए समुच्चय रैखिकतः आश्रित होना चाहिए।
इस प्रकार, (A) सही है।
सदिशों
a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,1,0) = (0,0,0)
a + c = 0
b + c = 0
तीसरा घटक : 0 = 0 (हमेशा सत्य)
चूँकि हमें c = -a और c = -b मिला है, हमें a = b मिलता है,
और हम a, b, c के लिए शून्येतर मान चुन सकते हैं जिससे यह समीकरण सत्य हो, जिसका अर्थ है कि ये तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।
इस प्रकार, (B) गलत है।
चूँकि S,
क्योंकि इन सदिशों द्वारा बनाए गए आव्यूह का कोटि अधिकतम 3 है।
इस प्रकार, (C) सही है।
इसलिए, विकल्प (3) सही उत्तर है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 4:
मान लीजिए V और W, R4 के उपसमुच्चय हैं जो इस प्रकार परिभाषित हैं:
V = {(a, b, c, d) : b - 5c + 2d = 0}, W = {(a, b, c, d) : a - d = 0, b - 3c = 0}, तब V ∩ W की विमा ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
दिया गया है:
V = {(a, b, c, d) : b - 5c + 2d = 0}
W = {(a, b, c, d) : a - d = 0, b - 3c = 0}
W से: a - d = 0 ⇒ a = d
W से: b - 3c = 0 ⇒ b = 3c
V से: b - 5c + 2d ⇒ 0
W के समीकरणों से a और b के मानों को V के समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए:
3c - 5c + 2d = 0
⇒ -2c + 2d = 0
⇒ -2c = -2d
⇒ c = d
अब हमारे पास है:
a = d , b = 3c और c = d
इसलिए, V ∩ W में सदिशों को इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है:
(d, 3d, d, d) = d (1, 3, 1, 1)
V ∩ W एकल सदिश द्वारा विस्तारित है: (1, 3, 1, 1)
इसलिए, इसकी विमा 1 है
V ∩ W की विमा 1 है
अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 5:
k ∈ ℕ के लिए, मान लें 0 = t 0 1 k k+1 = 1. एक फलन f : [0,1] → ℝ को नोड t 1 , ... ,t k के साथ खंड़शः रैखिक कहा जाता है, यदि प्रत्येक j = 1, 2, ... , k + 1 के लिए, j ∈ ℝ, bj ∈ ℝ का अस्तित्व इस प्रकार है जैसे कि
f(t) = a j + b j t t j−1 j के लिए।
मान लें कि V, नोड
Answer (Detailed Solution Below) 5
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
1. नोड :
नोड अंतराल [0, 1] में स्थित बिंदु हैं जहाँ
खंड़शः रैखिक फलन को उसके व्यवहार को बदलने या मूल्यांकन करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है।
ये विशिष्ट बिंदु
जहाँ फलन प्रत्येक उप अंतराल पर रैखिक है।
2. खंड़शः रैखिक फलन :
फलन f(t) खंड़शः रैखिक है,
इसका अर्थ यह है कि इसे प्रत्येक उप अंतराल के भीतर
लेकिन यह नोडों पर गुणांकों
स्पष्टीकरण:
हमें नोडों के साथ अंतराल [0, 1] पर परिभाषित खंड़शः रैखिक फलन f दिए गए है:
नोड [0, 1] को 4 खंडों में विभाजित करते है:
खंड़शः रैखिक फलन :
एक खंड़शः रैखिक फलन संतत होता है, जिसका अर्थ है:
फलन f को नोड
स्वतंत्रता की कोटियाँ:
चूँकि फलन 5 नोडों पर इसके मानों द्वारा निर्धारित होता है,
5 स्वतंत्र प्राचल है, जो सदिश समष्टि V के आयाम के अनुरूप है।
V का आयाम 5 है।
अतः उत्तर 5 है।
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Linear Dependence, Basis & Dimension Question 6:
माना कि
1: यदि
II : यदि
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 6 Detailed Solution
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 7:
माना V, α1 = (1, 2, 3, 4), α2 = (2, 3, 4, 5), α3 = (3, 4, 5, 6), α4 = (4, 5, 6, 7) द्वारा वास्तविक रूप से विस्तृत ℝ4 की उपसमष्टि है, तब dim(V) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 7 Detailed Solution
दिया गया है -
माना V, α1 = (1, 2, 3, 4), α2 = (2, 3, 4, 5), α3 = (3, 4, 5, 6), α4 = (4, 5, 6, 7) द्वारा वास्तविक रूप से विस्तृत ℝ4 की उपसमष्टि है
स्पष्टीकरण -
माना, α5 = α2 - α1 = (1, 1, 1, 1)
अब α4 = (4, 5, 6, 7) = α3 + α5
और α3 = (3, 4, 5, 6) = α2 + α5
और α2 = (2, 3, 4, 5) = α1 + α5
अब प्रत्येक सदिश पहले दो सदिशों पर निर्भर करते हैं, इसलिए V का आयाम केवल 2 है।
अतः विकल्प (iv) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 8:
M4(ℝ) को ℝ पर सभी (4 × 4) आव्यूहों की समष्टि मानें। मान लें
तब dim (W) होगी
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 8 Detailed Solution
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 9:
मान लीजिए x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ℝ 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मान लीजिए δ 1 = x 2 y 3 - y 2 x 3 , δ 2 = x 1 y 3 - y 1 x 3 , δ 3 = x 1 y 2 - y 1 x 2 । यदि V, x, y का विस्तार है तो
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 9 Detailed Solution
अवधारणा:
सदिश V, सदिश x और y का विस्तार है यदि
स्पष्टीकरण:
x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ℝ 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
δ 1 = x 2 y 3 - y 2 x3 , δ 2 = x 1 y 3 - y 1 x 3 , δ 3 = x 1 y 2 - y 1 x 2 .
x, y, का विस्तार V है, इसलिए
⇒ u(x 2 y 3 - y 2 x 3 ) - v( x 1 y 3 - y 1 x 3 ) + w( x 1 y 2 - y 1 x 2 ) = 0
⇒ uδ 1 - vδ2 + wδ 3 = 0
विकल्प (1) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 10:
ℝ4 का निम्नलिखित में से कौन सा उपसमुच्चय ℝ4 का आधार है?
B1 = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}
B2 = {(1,0,0,0), (1,2,0,0), (1,2,3,0), (1,2,3,4)}
B3 = {(1,2,0,0), (0,0,1,1), (2,1,0,0), (-5,5,0,0)}
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 10 Detailed Solution
अवधारणा:
सदिश समष्टि का आधार सदिशों का एक क्रम है जो एक ऐसा समुच्चय बनाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है और जो समष्टि को फैलाता है।
स्पष्टीकरण:
B1 = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}
तो {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह ℝ4 तक फैला है
B 1 एक आधार है।
B2 = {(1,0,0,0), (1,2,0,0), (1,2,3,0), (1,2,3,4)}
तो {(1,0,0,0), (1,2,0,0), (1,2,3,0), (1,2,3,4)} रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह ℝ 4 तक फैला है
B2 एक आधार है।
B3 = {(1,2,0,0), (0,0,1,1), (2,1,0,0), (-5,5,0,0)}
= 1
= {-1 × 0 + 1 × 0} -2{-1(0) + 1 × 0} = 0
तो {(1,2,0,0), (0,0,1,1), (2,1,0,0), (-5,5,0,0)} रैखिक रूप से निर्भर है।
B3 कोई आधार नहीं है।
विकल्प (1) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 11:
मान लीजिए कि आव्यूह A और B, आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं। यदि trace(A) = k है, तो trace(B) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 11 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(i) मान लीजिए V एक परिमित विमीय सदिश समष्टि है और T: V → V एक रैखिक संकारक है, तब किसी भी दो क्रमित आधारों के सापेक्ष T के आव्यूह समान होते हैं।
(ii) दो समान आव्यूहों का अनुरेख समान होता है।
व्याख्या:
A, B आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं।
तब, संप्रत्यय का उपयोग करते हुए, A और B समान आव्यूह हैं।
इसलिए, trace(A) = trace(B) = k
विकल्प (1) सही है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 12:
ℝ3 में उपसमुच्चय S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)} के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है:
(A). S एक रैखिकतः आश्रित समुच्चय है।
(B). S के कोई भी तीन सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं।
(C). S के कोई भी चार सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 12 Detailed Solution
व्याख्या:
हमें
चूँकि S में
और
इसलिए समुच्चय रैखिकतः आश्रित होना चाहिए।
इस प्रकार, (A) सही है।
सदिशों
a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,1,0) = (0,0,0)
a + c = 0
b + c = 0
तीसरा घटक : 0 = 0 (हमेशा सत्य)
चूँकि हमें c = -a और c = -b मिला है, हमें a = b मिलता है,
और हम a, b, c के लिए शून्येतर मान चुन सकते हैं जिससे यह समीकरण सत्य हो, जिसका अर्थ है कि ये तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।
इस प्रकार, (B) गलत है।
चूँकि S,
क्योंकि इन सदिशों द्वारा बनाए गए आव्यूह का कोटि अधिकतम 3 है।
इस प्रकार, (C) सही है।
इसलिए, विकल्प (3) सही उत्तर है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 13:
मान लीजिए कि M5(ℂ) C में प्रविष्टियों वाले 5 × 5 आव्यूहों का सम्मिश्र सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि V, M5(ℂ) का एक शून्येतर उपसमष्टि है जिसमे प्रत्येक शून्येतर A ∈ V व्युत्क्रमणीय है। निम्नलिखित में से कौन से V की विमा के संभावित मान हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
एक आव्यूह तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो, अर्थात वह अव्युत्क्रमणीय नहीं हो।
लक्ष्य एक उपसमष्टि
व्याख्या:
विमा 1: यदि V एक एक-विमीय उपसमष्टि है, तो इसमें एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज होते हैं। इस स्थिति में, V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह इस आव्यूह का एक अदिश गुणज है और इसलिए व्युत्क्रमणीय भी है (क्योंकि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज व्युत्क्रमणीय होते हैं जब तक कि अदिश शून्येतर हो)।
इसलिए, विमा 1 संभव है।
उच्च विमाएँ: 1 से अधिक विमाओं के लिए, उपसमष्टि में एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र आव्यूह होंगे। यदि दो आव्यूह रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनके रैखिक संयोजन ऐसे आव्यूह उत्पन्न कर सकते हैं जो अव्युत्क्रमणीय (अर्थात, व्युत्क्रमणीय नहीं) हो सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि व्युत्क्रमणीयता एक नाजुक स्थिति है, और विभिन्न व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के अधिकांश रैखिक संयोजन यह गुण खो सकते हैं।
इसलिए, यदि V की विमा 1 से अधिक है, तो यह सुनिश्चित करना कठिन हो जाता है कि V में सभी शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं।
इसलिए, उपसमष्टि V की केवल संभव विमा, जहाँ प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है, 1 है।
सही उत्तर विकल्प 1) है।
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 14:
p(x) = a0 + a1x + .... + anxn को n ≥1 घात (डिग्री) का अचरेतर बहुपद मानें। बहुपद
q(x) = \(\int_0^x p(t) d t, r(x)=\frac{d}{d x} p(x) \text {. }\) पर विचार करें। यदि V को x के सभी बहुपदों की वास्तविक सदिश समष्टि मान लें तो निम्न में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 14 Detailed Solution
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 15:
मान लीजिये कि P11(x) वास्तविक गुणांकों वाले और अधिकतम घात 11 वाले चर x में बहुपदों का वास्तविक सदिश समष्टि है, जिसमें शून्य बहुपद भी शामिल है। मान लीजिये कि
E = {s0(x), s1(x), ... , s11(x)}, F = {r0(x), r1(x), ... , r11(x)}
P11(x) के उपसमुच्चय हैं जिनमें प्रत्येक में 12 अवयव हैं और जो निम्न को संतुष्ट करते हैं
s0(3) = s1(3) = ⋯ = s11(3) = 0 , r0(4) = r1(4) = ⋯ = r11(4) = 1 .
तब, निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Linear Dependence, Basis & Dimension Question 15 Detailed Solution
व्याख्या:
1.
जिसकी घात अधिकतम 11 है, जिसमें शून्य बहुपद भी शामिल है।
2.
ये
3. शर्तें:
समुच्चय E के लिए :
समुच्चय F के लिए :
समुच्चय E और F का विश्लेषण :
1. समुच्चय E :
E में प्रत्येक बहुपद
इस शर्त का अर्थ है कि E में प्रत्येक बहुपद का x = 3 पर एक मूल है।
चूँकि E में 12 बहुपद हैं,
वे सभी
जिसकी विमा 12 है।
इस समष्टि में 12 बहुपदों का एक समुच्चय संभवतः समष्टि को विस्तारित कर सकता है
यदि वे रैखिकतः स्वतंत्र होते।
हालांकि, सभी i के लिए
क्योंकि E में प्रत्येक बहुपद में (x - 3) एक गुणनखंड के रूप में होना चाहिए।
यह आवश्यकता E की रैखिक स्वतंत्रता को सीमित करती है, जिससे यह रैखिकतः आश्रित हो जाता है।
2. समुच्चय F :
F में प्रत्येक बहुपद
यह शर्त समुच्चय E की तरह एक सामान्य गुणनखंड नहीं लगाती है;
इसके बजाय, यह x = 4 पर मान निर्दिष्ट करती है।
इसलिए, F के रैखिकतः स्वतंत्र होने की संभावना है,
क्योंकि बहुपदों को इस प्रकार चुना जा सकता है कि वे बिना किसी सामान्य गुणनखंड या उनके बीच निर्भरता के समष्टि को विस्तारित करें।
निष्कर्ष:
जो E में प्रत्येक बहुपद के लिए x = 3 पर एक मूल लगाता है।
कोई भी ऐसा F आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित नहीं है क्योंकि
इसलिए, कोई भी ऐसा E आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित है लेकिन कोई भी ऐसा F आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित नहीं है।
विकल्प (2) सही उत्तर है।