Linear Dependence, Basis & Dimension MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Dependence, Basis & Dimension - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

(i) मान लीजिए V एक परिमित विमीय सदिश समष्टि है और T: V → V एक रैखिक संकारक है, तब किसी भी दो क्रमित आधारों के सापेक्ष T के आव्यूह समान होते हैं।

(ii) दो समान आव्यूहों का अनुरेख समान होता है।

व्याख्या:

A, B आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं।

तब, संप्रत्यय का उपयोग करते हुए, A और B समान आव्यूह हैं।

इसलिए, trace(A) = trace(B) = k

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

N-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में, Akj = \(\rm \frac{\partial A^k}{\partial xj}\)

अतः विकल्प (2) सही है।

व्याख्या:

हमें \(\mathbb{R}^3 \) में सदिशों का समुच्चय दिया गया है:

\(S = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), (1,1,0)\} \)

चूँकि S में \(\mathbb{R}^3 \) में 5 सदिश हैं,

और \(\mathbb{R}^3 \) में रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या 3 है,

इसलिए समुच्चय रैखिकतः आश्रित होना चाहिए।

इस प्रकार, (A) सही है।

सदिशों \(v_1 = (1,0,0) , v_2 = (0,1,0) , v_3 = (1,1,0) \) को चुनना:

a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,1,0) = (0,0,0)

a + c = 0 \(\Rightarrow \) c = -a

b + c = 0 \(\Rightarrow \) c = -b

तीसरा घटक : 0 = 0 (हमेशा सत्य)

चूँकि हमें c = -a और c = -b मिला है, हमें a = b मिलता है,

और हम a, b, c के लिए शून्येतर मान चुन सकते हैं जिससे यह समीकरण सत्य हो, जिसका अर्थ है कि ये तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।

इस प्रकार, (B) गलत है। 

चूँकि S, \(\mathbb{R}^3 \) में 5 सदिशों का समुच्चय है, इसलिए कोई भी 4 सदिश रैखिकतः आश्रित होने चाहिए। 

क्योंकि इन सदिशों द्वारा बनाए गए आव्यूह का कोटि अधिकतम 3 है। 

इस प्रकार, (C) सही है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है:

V = {(a, b, c, d) : b - 5c + 2d = 0}

W = {(a, b, c, d) : a - d = 0, b - 3c = 0}

W से: a - d = 0 ⇒ a = d

W से: b - 3c = 0 ⇒ b = 3c

V से: b - 5c + 2d ⇒ 0

W के समीकरणों से a और b के मानों को V के समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए:

3c - 5c + 2d = 0

⇒ -2c + 2d = 0

⇒ -2c = -2d

⇒ c = d

अब हमारे पास है:

a = d , b = 3c और c = d

इसलिए, V ∩ W में सदिशों को इस प्रकार निरूपित किया जा सकता है:

(d, 3d, d, d) = d (1, 3, 1, 1)

V ∩ W एकल सदिश द्वारा विस्तारित है: (1, 3, 1, 1)

इसलिए, इसकी विमा 1 है

V ∩ W की विमा 1 है

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

अवधारणा:

1. नोड :
नोड अंतराल [0, 1] में स्थित बिंदु हैं जहाँ

खंड़शः रैखिक फलन को उसके व्यवहार को बदलने या मूल्यांकन करने के लिए निर्दिष्ट किया जाता है।

ये विशिष्ट बिंदु \( t_0, t_1, \dots, t_k, t_{k+1} \) हैं जो अंतराल को छोटे उप अंतरालों में विभाजित करते हैं

जहाँ फलन प्रत्येक उप अंतराल पर रैखिक है।

2. खंड़शः रैखिक फलन :

फलन f(t) खंड़शः रैखिक है,

इसका अर्थ यह है कि इसे प्रत्येक उप अंतराल के भीतर \(f(t) = a_j + b_j t \) के रूप में दर्शाया जाता है,

लेकिन यह नोडों पर गुणांकों \(a_j, b_j \) को बदल देता है।

स्पष्टीकरण:

हमें नोडों के साथ अंतराल [0, 1] पर परिभाषित खंड़शः रैखिक फलन f दिए गए है:

\(t_0 = 0, \; t_1 = \frac{1}{4}, \; t_2 = \frac{1}{2}, \; t_3 = \frac{3}{4}, \; t_4 = 1 \) .

नोड [0, 1] को 4 खंडों में विभाजित करते है:

\([0, \frac{1}{4}], \; [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}], \; [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}], \; [\frac{3}{4}, 1] \) .

खंड़शः रैखिक फलन :

एक खंड़शः रैखिक फलन संतत होता है, जिसका अर्थ है:

फलन f को नोड \(t_0, t_1, t_2, t_3, t_4 \) पर इसके मानों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

स्वतंत्रता की कोटियाँ:

चूँकि फलन 5 नोडों पर इसके मानों द्वारा निर्धारित होता है,

5 स्वतंत्र प्राचल है, जो सदिश समष्टि V के आयाम के अनुरूप है।

V का आयाम 5 है।

अतः उत्तर 5 है।

दिया गया है -

माना V, α1 = (1, 2, 3, 4), α2 = (2, 3, 4, 5), α3 = (3, 4, 5, 6), α4 = (4, 5, 6, 7) द्वारा वास्तविक रूप से विस्तृत ℝ4 की उपसमष्टि है

स्पष्टीकरण -

माना, α5 =  α2 -  α1 = (1, 1, 1, 1)

अब  α4 = (4, 5, 6, 7) = α3 + α5 

और   α3 = (3, 4, 5, 6) = α2 + α5 

और  α2 = (2, 3, 4, 5) = α1 + α5 

अब प्रत्येक सदिश पहले दो सदिशों पर निर्भर करते हैं, इसलिए V का आयाम केवल 2 है।

अतः विकल्प (iv) सही है।

अवधारणा:

सदिश V, सदिश x और y का विस्तार है यदि \(\begin{vmatrix}V\\x\\y\end{vmatrix}\) = 0

स्पष्टीकरण:

x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ) ℝ 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

δ 1 = x 2 y 3 - y 2 x3 , δ 2 = x 1 y 3 - y 1 x 3 , δ 3 = x 1 y 2 - y 1 x 2 .

 x, y, का विस्तार V है, इसलिए

\(\begin{vmatrix}V\\x\\y\end{vmatrix}\) = 0

\(\begin{vmatrix}u&v&w\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\end{vmatrix}\) = 0

⇒ u(x 2 y 3 - y 2 x 3 ) - v( x 1 y 3 - y 1 x 3 ) + w( x 1 y 2 - y 1 x 2 ) = 0

⇒ uδ 1 - vδ2 + wδ 3 = 0

विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

सदिश समष्टि का आधार सदिशों का एक क्रम है जो एक ऐसा समुच्चय बनाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होता है और जो समष्टि को फैलाता है।

स्पष्टीकरण:

B1 = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)}

\(\begin{vmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{vmatrix}\) 0

तो {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह ℝ4 तक फैला है

B 1 एक आधार है।

B2 = {(1,0,0,0), (1,2,0,0), (1,2,3,0), (1,2,3,4)}

\(\begin{vmatrix}1&0&0&0\\1&2&0&0\\1&2&3&0\\1&2&3&4\end{vmatrix}\) 2 × 3 × 4 = 24 ≠ 0

तो {(1,0,0,0), (1,2,0,0), (1,2,3,0), (1,2,3,4)} रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इसके अलावा, यह ℝ 4 तक फैला है

B2 एक आधार है।

B3 = {(1,2,0,0), (0,0,1,1), (2,1,0,0), (-5,5,0,0)}

\(\begin{vmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&1\\2&1&0&0\\-5&5&0&0\end{vmatrix}\)

= 1 \(\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&0\\5&0&0\end{vmatrix}\) \(\begin{vmatrix}0&1&1\\2&0&0\\-5&0&0\end{vmatrix}\) )

= {-1 × 0 + 1 × 0} -2{-1(0) + 1 × 0} = 0

तो {(1,2,0,0), (0,0,1,1), (2,1,0,0), (-5,5,0,0)} रैखिक रूप से निर्भर है।

B3 कोई आधार नहीं है।

विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

(i) मान लीजिए V एक परिमित विमीय सदिश समष्टि है और T: V → V एक रैखिक संकारक है, तब किसी भी दो क्रमित आधारों के सापेक्ष T के आव्यूह समान होते हैं।

(ii) दो समान आव्यूहों का अनुरेख समान होता है।

व्याख्या:

A, B आधार {v1, v2, v3, v4} और {v1, 2v2, 3v3, 4v4} के साथ क्रमशः V4 से V4 तक एक रैखिक संकारक को निरूपित करते हैं।

तब, संप्रत्यय का उपयोग करते हुए, A और B समान आव्यूह हैं।

इसलिए, trace(A) = trace(B) = k

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

हमें \(\mathbb{R}^3 \) में सदिशों का समुच्चय दिया गया है:

\(S = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), (1,1,0)\} \)

चूँकि S में \(\mathbb{R}^3 \) में 5 सदिश हैं,

और \(\mathbb{R}^3 \) में रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या 3 है,

इसलिए समुच्चय रैखिकतः आश्रित होना चाहिए।

इस प्रकार, (A) सही है।

सदिशों \(v_1 = (1,0,0) , v_2 = (0,1,0) , v_3 = (1,1,0) \) को चुनना:

a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(1,1,0) = (0,0,0)

a + c = 0 \(\Rightarrow \) c = -a

b + c = 0 \(\Rightarrow \) c = -b

तीसरा घटक : 0 = 0 (हमेशा सत्य)

चूँकि हमें c = -a और c = -b मिला है, हमें a = b मिलता है,

और हम a, b, c के लिए शून्येतर मान चुन सकते हैं जिससे यह समीकरण सत्य हो, जिसका अर्थ है कि ये तीन सदिश रैखिकतः आश्रित हैं।

इस प्रकार, (B) गलत है। 

चूँकि S, \(\mathbb{R}^3 \) में 5 सदिशों का समुच्चय है, इसलिए कोई भी 4 सदिश रैखिकतः आश्रित होने चाहिए। 

क्योंकि इन सदिशों द्वारा बनाए गए आव्यूह का कोटि अधिकतम 3 है। 

इस प्रकार, (C) सही है। 

इसलिए, विकल्प (3) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

\(M_5(\mathbb{C})\) सभी 5 × 5 सम्मिश्र आव्यूहों का समष्टि है। \(\mathbb{C}\) पर एक सदिश समष्टि के रूप में इस समष्टि की विमा \(5^2 = 25\) है, क्योंकि 5 × 5 आव्यूह में 25 स्वतंत्र प्रविष्टियाँ होती हैं।

एक आव्यूह तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो, अर्थात वह अव्युत्क्रमणीय नहीं हो।

लक्ष्य एक उपसमष्टि \(V \subseteq M_5(\mathbb{C})\) की विमा ज्ञात करना है, जहाँ V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है। इसका अर्थ है कि V में केवल व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं, शून्य आव्यूह के अतिरिक्त।

व्याख्या:

विमा 1: यदि V एक एक-विमीय उपसमष्टि है, तो इसमें एक एकल व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज होते हैं। इस स्थिति में, V में प्रत्येक शून्येतर आव्यूह इस आव्यूह का एक अदिश गुणज है और इसलिए व्युत्क्रमणीय भी है (क्योंकि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के अदिश गुणज व्युत्क्रमणीय होते हैं जब तक कि अदिश शून्येतर हो)।

इसलिए, विमा 1 संभव है।

उच्च विमाएँ: 1 से अधिक विमाओं के लिए, उपसमष्टि में एक से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र आव्यूह होंगे। यदि दो आव्यूह रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उनके रैखिक संयोजन ऐसे आव्यूह उत्पन्न कर सकते हैं जो अव्युत्क्रमणीय (अर्थात, व्युत्क्रमणीय नहीं) हो सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि व्युत्क्रमणीयता एक नाजुक स्थिति है, और विभिन्न व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के अधिकांश रैखिक संयोजन यह गुण खो सकते हैं।

इसलिए, यदि V की विमा 1 से अधिक है, तो यह सुनिश्चित करना कठिन हो जाता है कि V में सभी शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय हैं।

इसलिए, उपसमष्टि V की केवल संभव विमा, जहाँ प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय है, 1 है।

सही उत्तर विकल्प 1) है।

व्याख्या:

1. \(P_{11}(x) \) : चर x में वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का सदिश समष्टि,

जिसकी घात अधिकतम 11 है, जिसमें शून्य बहुपद भी शामिल है।

2. \(E = \{ s_0(x), s_1(x), \dots, s_{11}(x) \} \) और \(F = \{ r_0(x), r_1(x), \dots, r_{11}(x) \} \)

ये \(P_{11}(x) \) के उपसमुच्चय हैं, जिनमें प्रत्येक में 12 अवयव (बहुपद) हैं।

3. शर्तें:
समुच्चय E के लिए : \( s_0(3) = s_1(3) = \dots = s_{11}(3) = 0 \).

समुच्चय F के लिए : \( r_0(4) = r_1(4) = \dots = r_{11}(4) = 1 . \)

समुच्चय E और F का विश्लेषण :

1. समुच्चय E :

E में प्रत्येक बहुपद \(s_i(x) \) \(s_i(3) = 0 \) को संतुष्ट करता है।

इस शर्त का अर्थ है कि E में प्रत्येक बहुपद का x = 3 पर एक मूल है।

चूँकि E में 12 बहुपद हैं,

वे सभी \(P_{11}(x) \) में रैखिकतः स्वतंत्र नहीं हो सकते हैं,

जिसकी विमा 12 है।

इस समष्टि में 12 बहुपदों का एक समुच्चय संभवतः समष्टि को विस्तारित कर सकता है

यदि वे रैखिकतः स्वतंत्र होते।

हालांकि, सभी i के लिए \(s_i(3) = 0 \) मूल शर्त एक निर्भरता लगाती है

क्योंकि E में प्रत्येक बहुपद में (x - 3) एक गुणनखंड के रूप में होना चाहिए।

यह आवश्यकता E की रैखिक स्वतंत्रता को सीमित करती है, जिससे यह रैखिकतः आश्रित हो जाता है।

2. समुच्चय F :

F में प्रत्येक बहुपद \( r_i(x) \) \(r_i(4) = 1 \) को संतुष्ट करता है।

यह शर्त समुच्चय E की तरह एक सामान्य गुणनखंड नहीं लगाती है;

इसके बजाय, यह x = 4 पर मान निर्दिष्ट करती है।

\(r_i(4) = 1 \) शर्त बहुपद की घात या रूप को इस तरह से बाधित नहीं करती है जिससे निर्भरता उत्पन्न हो।

इसलिए, F के रैखिकतः स्वतंत्र होने की संभावना है,

क्योंकि बहुपदों को इस प्रकार चुना जा सकता है कि वे बिना किसी सामान्य गुणनखंड या उनके बीच निर्भरता के समष्टि को विस्तारित करें।

निष्कर्ष:

\( s_i(3) = 0 \) बाधा के कारण कोई भी ऐसा E आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित है,

जो E में प्रत्येक बहुपद के लिए x = 3 पर एक मूल लगाता है।

कोई भी ऐसा F आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित नहीं है क्योंकि \( r_i(4) = 1 \) शर्त रैखिक निर्भरता को बाध्य नहीं करती है।

इसलिए, कोई भी ऐसा E आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित है लेकिन कोई भी ऐसा F आवश्यक रूप से रैखिकतः आश्रित नहीं है।

विकल्प (2) सही उत्तर है।