Markov Chains MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Markov Chains - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Markov Chains MCQ Objective Questions
Markov Chains Question 1:
अवस्था 0, 1, 2, 3 वाली एक समघात मार्कोव श्रृंखला का संक्रमण प्रायिकता आव्यूह है
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
धनात्मक पुनरावृत्त: एक अवस्था धनात्मक पुनरावृत्त होती है यदि उस अवस्था में वापसी का अपेक्षित समय परिमित है और लंबे समय में इसे अनंत बार देखा जाता है।
क्षणिक: एक अवस्था क्षणिक होती है यदि एक शून्येतर प्रायिकता है कि मार्कोव श्रृंखला उसे छोड़ने के बाद उस अवस्था में कभी नहीं लौटेगी।
अनावर्ती: एक अवस्था अनावर्ती होती है यदि इसे अनियमित अंतराल पर फिर से देखा जा सकता है, अर्थात् संक्रमणों में कोई सख्त आवर्तकता नहीं है।
शून्य-पुनरावृत्त: एक अवस्था पुनरावृत्त (श्रृंखला उसमें वापस आती है) होती है लेकिन वापसी का अपेक्षित समय अनंत होता है।
व्याख्या:
दिया गया संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P:
अवस्थाओं को 0, 1, 2 और 3 से अंकित किया गया है।
संक्रमण आव्यूह से, अवस्था 0 अवस्था 1 में
यह अवस्था धनात्मक प्रायिकताओं के साथ अवस्थाओं 1 और 2 के माध्यम से चक्रित होती रहेगी, जिसका अर्थ है कि अवस्था 0 पुनरावृत्त है और
धनात्मक पुनरावृत्त है क्योंकि यह अंततः प्रायिकता 1 के साथ फिर से देखी जाएगी और इसका एक परिमित वापसी समय होगा।
विकल्प 1 सत्य है।
अवस्था 1 हमेशा प्रायिकता 1 के साथ स्वयं में वापस संक्रमण करती है, यह दर्शाता है कि यह धनात्मक पुनरावृत्त है (यह हमेशा स्वयं में वापस आ जाएगी) और अनावर्ती (कोई निश्चित अवधि नहीं, क्योंकि यह 1 चरण में वापस आ सकती है)। इसलिए, यह अनावर्ती और धनात्मक पुनरावृत्त दोनों है।
विकल्प 3: सत्य है।
अवस्था 2 से, अवस्था 0 में संक्रमण करने की 2/3 प्रायिकता और अवस्था 2 में रहने की 1/3 प्रायिकता है।
हालांकि अवस्था 2 स्वयं को फिर से देख सकती है, लेकिन यह अवस्था 0 में भी संक्रमण कर सकती है, जो इसे धनात्मक पुनरावृत्त बनाती है, शून्य-पुनरावृत्त नहीं। एक शून्य-पुनरावृत्त अवस्था वह होती है जो प्रायिकता 1 के साथ वापस आती है लेकिन जिसका अनंत माध्य पुनरावृत्ति समय होता है,
जो यहाँ की स्थिति प्रतीत नहीं होती है।
विकल्प 4 असत्य है (अवस्था 2 शून्य-पुनरावृत्त नहीं है)।
अवस्था 3 से, स्वयं में वापस आने की कोई प्रायिकता नहीं है, और यह केवल 2/5 प्रायिकता के साथ अवस्था 2 में जा सकती है।
एक बार जब यह अवस्था 2 में पहुँच जाती है, तो अन्य अवस्थाओं में जाना संभव है, लेकिन अवस्था 3 को स्वयं निश्चितता के साथ फिर से नहीं देखा जा सकता है।
विकल्प 2: सत्य है।
सही कथन 1), 2) और 3) हैं।
Markov Chains Question 2:
मान लीजिए कि {Xn |n ≥ 0} एक समघात मार्कोव श्रृंखला है जिसका अवस्था समष्टि S = {0, 1, 2, 3, 4} और संक्रमण प्रायिकता आव्यूह है
मान लीजिए कि α उस प्रायिकता को दर्शाता है कि अवस्था 4 से शुरू होने पर श्रृंखला अंततः संवृत वर्ग {0, 3} में अवशोषित हो जाएगी। तब α का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 2 Detailed Solution
हम बाद में हल अपडेट करेंगे।
Markov Chains Question 3:
अवस्था समष्टि {0, 1, 2} तथा संक्रमण आव्यूह
p =
वाली मार्कोव श्रृंखला पर विचार करें। तब निम्न में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 3 Detailed Solution
Markov Chains Question 4:
अवस्था समष्टि (0, 1, 2, 3, 4} वाली मार्कोव श्रृंखला तथा उसके निम्न संक्रमण आव्यूह के बारे में विचार करें
P =
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 4 Detailed Solution
Markov Chains Question 5:
एक समरूप मार्कोव श्रृंखला पर विचार करें जिसका अवस्था स्थान {0, 1, 2} है और संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (TPM) नीचे दी गई है
मान लीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 5 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 4 है
हम जल्द से जल्द समाधान अपडेट करेंगे।
Top Markov Chains MCQ Objective Questions
मान लीजिए कि {Xn |n ≥ 0} एक समघात मार्कोव श्रृंखला है जिसका अवस्था समष्टि S = {0, 1, 2, 3, 4} और संक्रमण प्रायिकता आव्यूह है
मान लीजिए कि α उस प्रायिकता को दर्शाता है कि अवस्था 4 से शुरू होने पर श्रृंखला अंततः संवृत वर्ग {0, 3} में अवशोषित हो जाएगी। तब α का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFहम बाद में हल अपडेट करेंगे।
मार्कोव श्रृंखला X0, X1, X2, .... पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि S है।
i, j ∈ S दो ऐसी अवस्थाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ संचार करती हैं। निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या
मान लीजिए
चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संचार करते हैं अर्थात i ⇔ j
इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।
(स्मरण करें: यदि 'i' और 'j' के @ एक ही वर्ग में हैं, तो)
'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल
'i' पुनरावृत्त है यदि और केवल यदि 'j' पुनरावृत्त है।
(b) सीमांत बंटन
अतः परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।
इसलिए, केवल विकल्प (3) शेष है [हमें यह जाँचना होगा कि यह कथन गलत है]
विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)
जो सत्य होना आवश्यक नहीं है
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
i = 1, j = 2 ; k = 3 लीजिए,
यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।
मान लीजिए, π = (π1, π2, π3) → π सीमांत बंटन है।
(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)
अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]
∵ π1 ≠ π2
∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए
विकल्प (3) गलत है।
मानें कि {ϵn ∶ n ≥ 1}, पासे को स्वतंत्र रूप से फेंके जाने पर, सतह i के ऊपर आने की प्रायिकता pi > 0 होने पर जहां i = 1, 2, …, 6 तथा
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसही उत्तर विकल्प 4 है।
हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।
Markov Chains Question 9:
मानें कि
किसी समांग मार्कोव श्रृंखला के एक चरण का संक्रमण प्रायिकता आव्यूह है। निम्न वक्तव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 9 Detailed Solution
Markov Chains Question 10:
मानें कि n ≥ 2 एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है। अवस्था समष्टि {1, 2, …, n} पर दिये गये संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P वाली मार्कोव श्रृंखला पर विचार करें। मानें कि In कोटि n का तत्समक आव्यूह दर्शाता है। निम्न कथनों में से कौन से सत्य होना आयश्यक हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिए P =
तो दोनों अवस्थाएँ आवर्ती हैं और कोई भी अवस्था क्षणिक नहीं है।
विकल्प (2) गलत है।
यदि हम कोई संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P लेते हैं, तो n ≥ 2 के लिए हमें कम से कम एक अवस्था आवर्ती मिलेगी।
विकल्प (1) सही है।
चूँकि संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P की प्रत्येक पंक्ति का योग 1 है
इसलिए 1, P का एक अभिलक्षणिक मान है
इसलिए In + 3P + P2 का एक अभिलक्षणिक मान 1 + 3 x 1 + 12 = 5 है
विकल्प (4) सही है
मान लीजिए P =
चूँकि
विकल्प (3) गलत है
Markov Chains Question 11:
मान लीजिए कि {Xn |n ≥ 0} एक समघात मार्कोव श्रृंखला है जिसका अवस्था समष्टि S = {0, 1, 2, 3, 4} और संक्रमण प्रायिकता आव्यूह है
मान लीजिए कि α उस प्रायिकता को दर्शाता है कि अवस्था 4 से शुरू होने पर श्रृंखला अंततः संवृत वर्ग {0, 3} में अवशोषित हो जाएगी। तब α का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 11 Detailed Solution
हम बाद में हल अपडेट करेंगे।
Markov Chains Question 12:
अवस्था समष्टि {0, 1, 2} तथा संक्रमण आव्यूह
p =
वाली मार्कोव श्रृंखला पर विचार करें। तब निम्न में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 12 Detailed Solution
Markov Chains Question 13:
मान लीजिए कि S = {1, 2, 3, 4, 5} और इन अवस्था समष्टियों पर एक मार्कोव श्रृंखला निम्न संक्रमण प्रायिकता आव्यूह
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय -
एक मार्कोव श्रृंखला को अलघुकरणीय कहा जाता है यदि किसी भी अवस्था से किसी अन्य अवस्था में संक्रमण करना संभव है, संभवतः एक से अधिक चरणों में।
व्याख्या -
आव्यूह P के लिए इस शर्त की जाँच करते हुए, हम देखते हैं कि हम किसी भी दी गई अवस्था से किसी अन्य अवस्था में एक या अधिक चरणों में संक्रमण कर सकते हैं। इसलिए, श्रृंखला अलघुकरणीय है।
इसलिए, सही उत्तर (iv) है, श्रृंखला अलघुकरणीय है।
विकल्प (i) सही नहीं है क्योंकि अवस्था 5 अवशोषक नहीं है, यह देखते हुए कि इस अवस्था से दूसरों में जाने की शून्येतर प्रायिकताएँ हैं।
विकल्प (ii) भी सही नहीं है, क्योंकि एक नियमित मार्कोव श्रृंखला के लिए आवश्यक है कि इसके संक्रमण आव्यूह में सभी प्रविष्टियाँ किसी घात n पर बढ़ाए जाने पर धनात्मक हों, जो यहाँ मामला नहीं है।
विकल्प (iii) सही नहीं है क्योंकि अवस्था 3 से अन्य अवस्थाओं तक पहुँचने की शून्येतर प्रायिकताएँ हैं।
Markov Chains Question 14:
मान लीजिए कि (Xn), 3 अवस्थाओं वाली एक मार्कोव श्रृंखला है और संक्रमण प्रायिकता आव्यूह निम्न है
तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 14 Detailed Solution
{Xn} में एक अवशोषी अवस्था है।
(4) सही है। .
Markov Chains Question 15:
मार्कोव श्रृंखला X0, X1, X2, .... पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि S है।
i, j ∈ S दो ऐसी अवस्थाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ संचार करती हैं। निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Markov Chains Question 15 Detailed Solution
व्याख्या
मान लीजिए
चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संचार करते हैं अर्थात i ⇔ j
इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।
(स्मरण करें: यदि 'i' और 'j' के @ एक ही वर्ग में हैं, तो)
'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल
'i' पुनरावृत्त है यदि और केवल यदि 'j' पुनरावृत्त है।
(b) सीमांत बंटन
अतः परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।
इसलिए, केवल विकल्प (3) शेष है [हमें यह जाँचना होगा कि यह कथन गलत है]
विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)
जो सत्य होना आवश्यक नहीं है
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
i = 1, j = 2 ; k = 3 लीजिए,
यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।
मान लीजिए, π = (π1, π2, π3) → π सीमांत बंटन है।
(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)
अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]
∵ π1 ≠ π2
∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए
विकल्प (3) गलत है।