Markov Chains MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Markov Chains - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

धनात्मक पुनरावृत्त: एक अवस्था धनात्मक पुनरावृत्त होती है यदि उस अवस्था में वापसी का अपेक्षित समय परिमित है और लंबे समय में इसे अनंत बार देखा जाता है।

क्षणिक: एक अवस्था क्षणिक होती है यदि एक शून्येतर प्रायिकता है कि मार्कोव श्रृंखला उसे छोड़ने के बाद उस अवस्था में कभी नहीं लौटेगी।

अनावर्ती: एक अवस्था अनावर्ती होती है यदि इसे अनियमित अंतराल पर फिर से देखा जा सकता है, अर्थात् संक्रमणों में कोई सख्त आवर्तकता नहीं है।

शून्य-पुनरावृत्त: एक अवस्था पुनरावृत्त (श्रृंखला उसमें वापस आती है) होती है लेकिन वापसी का अपेक्षित समय अनंत होता है।

व्याख्या:

दिया गया संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P:

\(P = \begin{pmatrix} 1/4 & 3/4 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 2/5 & 3/5 \end{pmatrix}\)

अवस्थाओं को 0, 1, 2 और 3 से अंकित किया गया है।

संक्रमण आव्यूह से, अवस्था 0 अवस्था 1 में \(( \frac{1}{4} \) की प्रायिकता के साथ और अवस्था 2 में की प्रायिकता के साथ संक्रमण कर सकती है।

यह अवस्था धनात्मक प्रायिकताओं के साथ अवस्थाओं 1 और 2 के माध्यम से चक्रित होती रहेगी, जिसका अर्थ है कि अवस्था 0 पुनरावृत्त है और

धनात्मक पुनरावृत्त है क्योंकि यह अंततः प्रायिकता 1 के साथ फिर से देखी जाएगी और इसका एक परिमित वापसी समय होगा।

विकल्प 1 सत्य है।

अवस्था 1 हमेशा प्रायिकता 1 के साथ स्वयं में वापस संक्रमण करती है, यह दर्शाता है कि यह धनात्मक पुनरावृत्त है (यह हमेशा स्वयं में वापस आ जाएगी) और अनावर्ती (कोई निश्चित अवधि नहीं, क्योंकि यह 1 चरण में वापस आ सकती है)। इसलिए, यह अनावर्ती और धनात्मक पुनरावृत्त दोनों है।

विकल्प 3: सत्य है।

अवस्था 2 से, अवस्था 0 में संक्रमण करने की 2/3 प्रायिकता और अवस्था 2 में रहने की 1/3 प्रायिकता है।

हालांकि अवस्था 2 स्वयं को फिर से देख सकती है, लेकिन यह अवस्था 0 में भी संक्रमण कर सकती है, जो इसे धनात्मक पुनरावृत्त बनाती है, शून्य-पुनरावृत्त नहीं। एक शून्य-पुनरावृत्त अवस्था वह होती है जो प्रायिकता 1 के साथ वापस आती है लेकिन जिसका अनंत माध्य पुनरावृत्ति समय होता है,

जो यहाँ की स्थिति प्रतीत नहीं होती है।

विकल्प 4 असत्य है (अवस्था 2 शून्य-पुनरावृत्त नहीं है)।

अवस्था 3 से, स्वयं में वापस आने की कोई प्रायिकता नहीं है, और यह केवल 2/5 प्रायिकता के साथ अवस्था 2 में जा सकती है।

एक बार जब यह अवस्था 2 में पहुँच जाती है, तो अन्य अवस्थाओं में जाना संभव है, लेकिन अवस्था 3 को स्वयं निश्चितता के साथ फिर से नहीं देखा जा सकता है।

विकल्प 2: सत्य है।

सही कथन 1), 2) और 3) हैं।

सही उत्तर विकल्प 4 है

हम जल्द से जल्द समाधान अपडेट करेंगे।

व्याख्या

मान लीजिये

चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संवाद करते हैं अर्थात i ⇔ j

इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।

(याद रखें: यदि 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं, तो)

'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल

'i' आवर्ती है यदि और केवल यदि 'j' आवर्ती है

(b) सीमित वितरण

\(\lim _{n →\infty} P_{i j}^{(n)}=\lim_{n → \infty} P_{j j}^{(n)}=π\)j ← 'i' से स्वतंत्र

अतः, परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।

इसलिए, केवल विकल्प (3) बचा है [हमें यह जांचना होगा कि यह कथन गलत है]

विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)

\(\lim _{n → \infty} P\left(x_n=i \mid x_0=k\right)=\lim _{n → \infty} P\left(x_n=j \mid x_0=k\right) \quad \forall k ∈ S\)

\( { अर्थात } \operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k i}^{(n)}=\operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k j}^{(n)} \Rightarrow π_i=π_j .\)

जो सत्य होना आवश्यक नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

\(let s=\{1,2,3\}, P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2\end{array}\right]\)

i = 1, j = 2 लीजिये; k = 3

यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।

मान लीजिये π = (π1, π2, π3) → π सीमित वितरण है।n.

(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)

अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]\(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}\right]\)

\(=\left[\frac{π_2+π_3}{2}, \frac{π_2}{2}, \frac{π_1+π_2+π_3}{2}\right]\)

\(\Rightarrow π_1=\frac{π_2+π_3}{2}, \quad π_2=\frac{π_1}{2}\)

\(\quad π_3=\frac{π_1+π_2+π_3}{2}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{π / 2+1 / 2}{2}\)

\(\begin{gathered} \Rightarrow π_2=2 π_1-1 / 2 \quad \& π_2=π_{1 / 2} \\ \Rightarrow 2 π_1-1 / 2=π_1 / 2 \\ \Rightarrow \frac{3 π_1}{2}=1 / 2 \Rightarrow π_1=1 / 3 \\ \Rightarrow π_2=1 / 6 \\ \Rightarrow π_1=\frac{1}{3}, π_2=1 / 6, π_3=1 / 2 \end{gathered}\)

∵ π1 ≠ π2

∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए

विकल्प (3) गलत है

सही उत्तर विकल्प 4 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

व्याख्या:

मान लीजिए P = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) और दो अवस्थाएँ 1, 2 हैं, इसलिए

तो दोनों अवस्थाएँ आवर्ती हैं और कोई भी अवस्था क्षणिक नहीं है।

विकल्प (2) गलत है।

यदि हम कोई संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P लेते हैं, तो n ≥ 2 के लिए हमें कम से कम एक अवस्था आवर्ती मिलेगी।

विकल्प (1) सही है।

चूँकि संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P की प्रत्येक पंक्ति का योग 1 है

इसलिए 1, P का एक अभिलक्षणिक मान है

इसलिए In + 3P + P2 का एक अभिलक्षणिक मान 1 + 3 x 1 + 1² = 5 है

विकल्प (4) सही है

मान लीजिए P = \(\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\) तो

\(\rm −\frac{1}{3} I_n+\frac{4}{3} P\) = \(\begin{bmatrix}-\frac13&0\\0&-\frac13\end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix}0&\frac43\\0&\frac43\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}-\frac13&\frac43\\0&1\end{bmatrix}\)

चूँकि \(\rm −\frac{1}{3} I_n+\frac{4}{3} P\) का पहला तत्व ऋणात्मक है, इसलिए यह संक्रमण प्रायिकता आव्यूह नहीं है।

विकल्प (3) गलत है

संप्रत्यय -

एक मार्कोव श्रृंखला को अलघुकरणीय कहा जाता है यदि किसी भी अवस्था से किसी अन्य अवस्था में संक्रमण करना संभव है, संभवतः एक से अधिक चरणों में।

व्याख्या -

आव्यूह P के लिए इस शर्त की जाँच करते हुए, हम देखते हैं कि हम किसी भी दी गई अवस्था से किसी अन्य अवस्था में एक या अधिक चरणों में संक्रमण कर सकते हैं। इसलिए, श्रृंखला अलघुकरणीय है।

इसलिए, सही उत्तर (iv) है, श्रृंखला अलघुकरणीय है।

विकल्प (i) सही नहीं है क्योंकि अवस्था 5 अवशोषक नहीं है, यह देखते हुए कि इस अवस्था से दूसरों में जाने की शून्येतर प्रायिकताएँ हैं।

विकल्प (ii) भी सही नहीं है, क्योंकि एक नियमित मार्कोव श्रृंखला के लिए आवश्यक है कि इसके संक्रमण आव्यूह में सभी प्रविष्टियाँ किसी घात n पर बढ़ाए जाने पर धनात्मक हों, जो यहाँ मामला नहीं है।

विकल्प (iii) सही नहीं है क्योंकि अवस्था 3 से अन्य अवस्थाओं तक पहुँचने की शून्येतर प्रायिकताएँ हैं।

{Xn} में एक अवशोषी अवस्था है। 

(4) सही है। .

व्याख्या

मान लीजिये

चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संवाद करते हैं अर्थात i ⇔ j

इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।

(याद रखें: यदि 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं, तो)

'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल

'i' आवर्ती है यदि और केवल यदि 'j' आवर्ती है

(b) सीमित वितरण

\(\lim _{n →\infty} P_{i j}^{(n)}=\lim_{n → \infty} P_{j j}^{(n)}=π\)j ← 'i' से स्वतंत्र

अतः, परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।

इसलिए, केवल विकल्प (3) बचा है [हमें यह जांचना होगा कि यह कथन गलत है]

विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)

\(\lim _{n → \infty} P\left(x_n=i \mid x_0=k\right)=\lim _{n → \infty} P\left(x_n=j \mid x_0=k\right) \quad \forall k ∈ S\)

\( { अर्थात } \operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k i}^{(n)}=\operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k j}^{(n)} \Rightarrow π_i=π_j .\)

जो सत्य होना आवश्यक नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

\(let s=\{1,2,3\}, P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2\end{array}\right]\)

i = 1, j = 2 लीजिये; k = 3

यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।

मान लीजिये π = (π1, π2, π3) → π सीमित वितरण है।n.

(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)

अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]\(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}\right]\)

\(=\left[\frac{π_2+π_3}{2}, \frac{π_2}{2}, \frac{π_1+π_2+π_3}{2}\right]\)

\(\Rightarrow π_1=\frac{π_2+π_3}{2}, \quad π_2=\frac{π_1}{2}\)

\(\quad π_3=\frac{π_1+π_2+π_3}{2}=\frac{1}{2}\)

\(=\frac{π / 2+1 / 2}{2}\)

\(\begin{gathered} \Rightarrow π_2=2 π_1-1 / 2 \quad \& π_2=π_{1 / 2} \\ \Rightarrow 2 π_1-1 / 2=π_1 / 2 \\ \Rightarrow \frac{3 π_1}{2}=1 / 2 \Rightarrow π_1=1 / 3 \\ \Rightarrow π_2=1 / 6 \\ \Rightarrow π_1=\frac{1}{3}, π_2=1 / 6, π_3=1 / 2 \end{gathered}\)

∵ π1 ≠ π2

∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए

विकल्प (3) गलत है