Mixed Operations on Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mixed Operations on Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 26, 2025
Latest Mixed Operations on Sets MCQ Objective Questions
Mixed Operations on Sets Question 1:
100 विद्यार्थियों की एक कक्षा में: 60 विद्यार्थी गणित पसंद करते हैं, 50 विद्यार्थी भौतिकी पसंद करते हैं, 40 विद्यार्थी रसायन विज्ञान पसंद करते हैं, 30 विद्यार्थी गणित और भौतिकी दोनों पसंद करते हैं, 25 विद्यार्थी गणित और रसायन विज्ञान दोनों पसंद करते हैं, 20 विद्यार्थी भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों पसंद करते हैं और 15 विद्यार्थी तीनों विषय पसंद करते हैं। कम से कम तीन विषयों में से एक विषय को कितने विद्यार्थी पसंद करते हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
समावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत (PIE):
- यह सिद्धांत कई समुच्चयों के सम्मिलन में अवयवों की संख्या की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है जब समुच्चयों के बीच अतिव्यापी होता है।
- यह युग्मवार सर्वनिष्ठों के आकार को घटाकर, त्रिगुणित सर्वनिष्ठों को जोड़कर, और इसी तरह से अतिगणना को सही करता है।
गणना:
दिया गया है,
एक कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 100
n(A): गणित पसंद करने वालों की संख्या = 60
n(B): भौतिकी पसंद करने वालों की संख्या = 50
n(C): रसायन विज्ञान पसंद करने वालों की संख्या = 40
n(A ∩ B) = 30, n(B ∩ C) = 20, n(C ∩ A) = 25
n(A ∩ B ∩ C) = 15
हमें उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम तीन विषयों में से एक विषय पसंद करते हैं:
⇒ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
⇒ 60 + 50 + 40 − 30 − 20 − 25 + 15
⇒ 150 − 75 + 15 = 90
∴ कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 90
Mixed Operations on Sets Question 2:
यदि X= { a, b, c, d } और Y = { f, b, d, g}, तो X ∩ Y ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 2 Detailed Solution
दिया गया:
सेट X = { a, b, c, d }
सेट Y = { f, b, d, g }
हमें X ∩ Y (समुच्चयों X और Y का प्रतिच्छेद) ज्ञात करना है।
प्रयुक्त सूत्र:
दो समुच्चयों X और Y का प्रतिच्छेद, जिसे X ∩ Y द्वारा दर्शाया जाता है, उन तत्वों का समुच्चय है जो X और Y दोनों में उभयनिष्ठ हैं।
गणना:
X में तत्व: { a, b, c, d }
Y में तत्व: { f, b, d, g }
दोनों सेटों में सामान्य तत्व: { b, d }
∴ X ∩ Y = { b, d }.
Mixed Operations on Sets Question 3:
यदि A = { 3, 5, 7, 9, 11 }, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15}, तो A ∩ (B ∪ C) ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
A = { 3, 5, 7, 9, 11 }
B = {7, 9, 11, 13}
C = {11, 13, 15}
गणना:
सबसे पहले, B ∪ C ज्ञात कीजिए
B ∪ C = {7, 9, 11, 13, 15}
अब, A ∩ (B ∪ C) ज्ञात कीजिए
A = {3, 5, 7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13, 15}
⇒ A ∩ (B ∪ C) = {7, 9, 11}
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Mixed Operations on Sets Question 4:
निम्नलिखित समुच्चय दिए गए हैं:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
B = {8, 10, 12, 14, 16, 18}
C = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) है
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 4 Detailed Solution
सही उत्तर है: {8, 10, 12}
समाधान: व्यंजक
चरण 1:
(A = {2, 4, 6, 8, 10, 12})
(B = {8, 10, 12, 14, 16, 18})
दोनों समुच्चयों (A) और (B) में उभयनिष्ठ तत्व हैं: (8, 10, 12).
इसलिए,
चरण 2:
(B = {8, 10, 12, 14, 16, 18})
(C = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13})
दोनों समुच्चयों (B) और (C) में उभयनिष्ठ तत्व हैं: (8, 10, 12).
इसलिए,
चरण 3:
अब हम इन दोनों समुच्चयों का संघ लेते हैं। चूँकि दोनों समान समुच्चय हैं:
Mixed Operations on Sets Question 5:
यदि A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}, B = {2, 4, ..., 18} और N समष्टिय समुच्चय है, तो A' U ((A U B) ∩ B') ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}
B = {2, 4, ..., 18}
N समष्टिय समुच्चय है।
गणना:
(A U B) ∩ B' = A
((A U B) ∩ B') U A' = A U A' = N
सही उत्तर विकल्प 2 है।
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यदि A और B दो समुच्चय हैं तो A ∩ (B ∪ A)c किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 6 Detailed Solution
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डी मॉर्गन का नियम:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
समुच्चय में वितरक नियम:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
गणना:
दिया गया है: A और B दो समुच्चय हैं।
निम्न को ज्ञात करने के लिए: A ∩ (B ∪ A)c
चूँकि हम जानते हैं, (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
इसलिए (B ∪ A)c = Bc ∩ Ac
अब A ∩ (B ∪ A)c = A ∩ (Bc ∩ Ac)
= (A ∩ Bc) ∩ (A ∩ Ac) (वितरक नियम प्रयोग करने पर)
= (A ∩ Bc) ∩ ϕ (∵ x ∩ ϕ = ϕ)
= ϕ
क्रमशः 150, 180, 210 और 240 तत्व होनेवाले 4 समुच्चय A, B, C और D के संघ में तत्वों की संख्या को ज्ञात करें, जब दिया हुआ है कि समुच्चय के प्रत्येक जोड़े में 15 तत्व उभयनिष्ठ हैं। समुच्चय के प्रत्येक त्रिक (ट्रिपल) में 3 तत्व उभयनिष्ठ हैं और A ∩ B ∩ C ∩ D = ϕ।
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 7 Detailed Solution
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दिया हुआ: चार समुच्चयों में क्रमशः 150, 180, 210 और 240 तत्व हैं
n(A) = 150
n(B) = 180
n(C) = 210
n(D) = 240
समुच्चय के प्रत्येक जोड़े में 15 तत्व हैं
n(A ∩ B) = 15
n(A ∩ C) = 15
n(A ∩ D) = 15
n(B ∩ C) = 15
n(B ∩ D) = 15
n(C ∩ D) = 15
समुच्चय के प्रत्येक त्रिक (ट्रिपल) में 3 तत्व हैं
n(A ∩ B ∩ C) = 3
n(A ∩ B ∩ D) = 3
n(A ∩ C ∩ D) = 3
n(B ∩ C ∩ D) = 3
A ∩ B ∩ C ∩ D = ϕ
n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0
अब 4 समुच्चय A, B, C और D के संघ में तत्वों की संख्या
n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(A ∩ D) - n(B ∩ C) - n(B ∩ D) - n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) + n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) - n(A ∩ B ∩ C ∩ D)
= 150 + 180 + 210 + 240 - 6 × 15 + 4 × 3 - 0
= 702
50 छात्रों की कक्षा में, यह पाया गया कि 30 छात्रों ने "हितवाद" पढ़ा, 35 छात्रों ने "हिंदुस्तान" पढ़ा और 10 ने कोई भी न पढ़ा। कितने छात्रों ने "हितवाद" और "हिन्दुस्तान" दोनों समाचार पत्रों को पढ़ा?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 8 Detailed Solution
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माना कि A और B तत्वों के दो समुच्चय दर्शाते हैं।
- n(A) और n(B) क्रमशः समुच्चय A और B में मौजूद तत्वों की संख्या है।
- n(A ⋃ B) या तो समुच्चय A या B में मौजूद तत्वों की कुल संख्या है।
- n(A ⋂ B) समुच्चय A और B दोनों में मौजूद तत्वों की संख्या है।
- n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)
गणना:
माना कि A छात्रों का एक समुच्चय है जो "हितवाद" पढ़ते हैं और B छात्रों का समुच्चय है जो "हिंदुस्तान" पढ़ते हैं।
दी गई जानकारी से:
n(A ⋃ B) = 50 - 10 = 40
n(A) = 30
n(B) = 35
n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:
40 = 30 + 35 - n(A ⋂ B)
⇒ n(A ⋂ B) = 25
∴ "हितवाद" और "हिन्दुस्तान" दोनों समाचार पत्रों को पढ़ने वाले छात्रों की संख्या n(A ⋂ B) = 25 है।
Comprehension:
निर्देश: निम्नलिखित वेंन आरेख पर विचार कीजिए, जहाँ X, Y और Z तीन समुच्चय हैं। मान लीजिए Z में तत्वों की संख्या को n(Z) द्वारा दर्शाया गया है जो 90 के बराबर है।
यदि Y और Z में तत्वों की संख्या 4 : 5 के अनुपात में हैं तो b का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 9 Detailed Solution
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दिया गया है: n(Z) = 90 और Y और Z में तत्वों की संख्या 4 : 5 के अनुपात में हैं।
निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: b = ?
n(Y) = 16 + 18 + 17 + b
n(Z) = 12 + 18 + 17 + c = 90
अतः विकल्प (3) सही है।
Comprehension:
निर्देश: निम्नलिखित वेंन आरेख पर विचार कीजिए, जहाँ X, Y और Z तीन समुच्चय हैं। मान लीजिए Z में तत्वों की संख्या को n(Z) द्वारा दर्शाया गया है जो 90 के बराबर है।
n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X ∩ Y) - n(Y ∩ Z) - n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 10 Detailed Solution
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दिया गया है: n(Z) = 90,
उपरोक्त आरेख से, हमें निम्न प्राप्त होता है
n(X) = a + 46, n(Y) = b + 51, n(X ∩ Y) = 16 + 18 = 34, n(Y ∩ Z) = 17 + 18 =35, n(X ∩ Z) = 12 + 18 = 30, n(X ∩ Y ∩ Z) = 18
n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X ∩ Y) - n(Y ∩ Z) - n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z) =
a + 46 + b + 51 + 90 - 34 - 35 - 30 + 18
= a + b + 106
अतः विकल्प (4) सही है।
किसी तीन गैर-रिक्त समुच्चय A, B, और C के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए।
1. A – (B ∪ C) = (A - B) ∪ (A - C)
2. A – B = A – (A ∩ B)
3. A = (A ∩ B) ∪ (A - B)
उपरोक्त में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 11 Detailed Solution
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कथन -1: A – (B ∪ C) = (A - B) ∪ (A - C)
बायां पक्ष = (a, b, c, d) – (b, c, d, e, f, g) = a
दायां पक्ष= (a, b) ∪ (a, d) = a, b, d
यहाँ बायां पक्ष ≠ दायां पक्ष। इसलिए, यह कथन सही नहीं है।
कथन - 2: A – B = A – (A ∩ B)
बायां पक्ष = a, b
दायां पक्ष = (a, b, c, d) – (c, d) = a, b
इसलिए, यह कथन सही है।
कथन - 3: A = (A ∩ B) ∪ (A - B)
बायां पक्ष = a, b, c, d
दायां पक्ष = (c, d) ∪ (a, b) = a, b, c, d
इसलिए, यह कथन भी सही है।
अतः विकल्प (2) सही है।
मान लीजिए P̅ और Q̅ दो समुच्चय P और Q के पूरक को दर्शाते हैं। तो समुच्चय (P - Q) ∪ (Q - P) ∪ (P ∩ Q) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 12 Detailed Solution
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P - Q = तत्वों का वह समुच्चय जो P से संबंधित है लेकिन Q से नहीं।
P U Q = वह समुच्चय जिसमें P के सभी तत्व और Q के सभी तत्व शामिल हैं, तो सामान्य तत्व को केवल एक बार लिया गया है।
P ∩ Q = सभी तत्वों का वह समुच्चय जो A और B दोनों के लिए सामान्य होते हैं।
गणना:
माना कि P = {1, 2, 3, 4} और Q = {3, 4, 5, 6} है।
⇒ P - Q = {1, 2}
⇒ Q - P = {5, 6}
⇒ P U Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ P ∩ Q = {3, 4}
⇒ (P - Q) ∪ (Q - P) ∪ (P ∩ Q) = {1, 2} U {5, 6} U {3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = P U Q
Comprehension:
निर्देश: निम्नलिखित वेंन आरेख पर विचार कीजिए, जहाँ X, Y और Z तीन समुच्चय हैं। मान लीजिए Z में तत्वों की संख्या को n(Z) द्वारा दर्शाया गया है जो 90 के बराबर है।
यदि ना तो X, ना ही Y, ना ही Z से संबंधित तत्वों की संख्या p के बराबर है, तो X के पूरक में तत्वों की संख्या क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
X का पूरक = U - X, जहाँ U सार्वसमुच्चय है।
गणना:
हम जानते हैं, n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X ∩ Y) - n(Y ∩ Z) - n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z) = n(X ∪ Y ∪ Z)
यहाँ U - n(X ∪ Y ∪ Z) = p, जहाँ U एक सार्वसमुच्चय है।
⇒ U - (a + b + 106) = p
⇒ U = p + (a + b + 106)
अब X के पूरक में तत्वों की संख्या, U - n(X) = p + (a + b + 106) - (a + 16 + 18 + 12)
= p + b + 60
अतः विकल्प (1) सही है।
समुच्चय (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′ किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया गया है: (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′
⇒ (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′
⇒ ((A ∪ B ∪ C) ∩ (A' ∪ B ∪ C)) ∩ C′
⇒ ((A ∩ A') ∪ (B ∪ C)) ∩ C' .
⇒ (ϕ ∪ (B ∪ C)) ∩ C'
⇒ (B ∪ C) ∩ C'
⇒ (B ∩ C') ∪ (C ∩ C')
⇒ (B ∩ C') ∪ ϕ
⇒ B ∩ C'
अभीष्ट तुल्य B ∩ C' है।
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
- A ∪ ϕ = A
- A ∪ A = A
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Answer (Detailed Solution Below)
Mixed Operations on Sets Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
किसी भी सेट A, B और C के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
- वर्गसम नियम: A ∪ A = A
- तत्समकता का नियम: A ∪ ϕ = ϕ ∪ A = A
- वितरक नियम: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) और A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
गणना:
कथन 1 : A ∪ ϕ = A
हम जानते हैं कि कथन 1 सत्य है क्योंकि तत्समकता के नियम के अनुसार A ∪ ϕ = ϕ ∪ A = A
कथन 2: A ∪ A = A
हम जानते हैं कि कथन 2 सत्य है क्योंकि वर्गसम नियम के अनुसार A ∪ A = A
कथन 3: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
हम जानते हैं कि कथन 3 सत्य है क्योंकि वितरक नियम के अनुसार A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) and A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
कथन 4: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
हम जानते हैं कि कथन 4 सत्य है क्योंकि वितरक नियम के अनुसार A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) and A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
इसलिए, सभी कथन सत्य हैं।