Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

समावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत (PIE):

• यह सिद्धांत कई समुच्चयों के सम्मिलन में अवयवों की संख्या की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है जब समुच्चयों के बीच अतिव्यापी होता है।
• यह युग्मवार सर्वनिष्ठों के आकार को घटाकर, त्रिगुणित सर्वनिष्ठों को जोड़कर, और इसी तरह से अतिगणना को सही करता है।

गणना:

दिया गया है,

एक कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 100

n(A): गणित पसंद करने वालों की संख्या = 60

n(B): भौतिकी पसंद करने वालों की संख्या = 50

n(C): रसायन विज्ञान पसंद करने वालों की संख्या = 40

n(A ∩ B) = 30, n(B ∩ C) = 20, n(C ∩ A) = 25

n(A ∩ B ∩ C) = 15

हमें उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम तीन विषयों में से एक विषय पसंद करते हैं:

⇒ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

⇒ 60 + 50 + 40 − 30 − 20 − 25 + 15

⇒ 150 − 75 + 15 = 90

∴ कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 90

संप्रत्यय:

समुच्चयों का तुल्यता संबंध और विभाजन:

• किसी समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध एक ऐसा संबंध है जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है।
• किसी समुच्चय पर प्रत्येक तुल्यता संबंध उस समुच्चय के विभाजन के संगत होता है।
• एक विभाजन समुच्चय को अरिक्त, असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित करता है जिनका संघ संपूर्ण समुच्चय होता है।
• इस प्रश्न में, हम केवल उन विभाजनों की गणना करते हैं जहाँ प्रत्येक उपसमुच्चय में कम से कम दो अवयव हों।

महत्वपूर्ण शब्द:

• विभाजन: समुच्चय को असंयुक्त अरिक्त उपसमुच्चयों में विभाजित करने का एक तरीका। आकार n के समुच्चय के विभाजनों की कुल संख्या बेल संख्या द्वारा दी जाती है।
• बेल संख्या (Bₙ): n अवयवों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या। संकेतन: Bₙ

गणना:

दिया गया है,

समुच्चय S = {1, 2, 3, 4}

⇒ n = 4

हमें तुल्यता संबंधों की संख्या की आवश्यकता है जहाँ कोई भी उपसमुच्चय (खंड) आकार 1 का नहीं है

⇒ इसका अर्थ है कि हमें उन विभाजनों की आवश्यकता है जहाँ प्रत्येक खंड का आकार ≥ 2 है

⇒ हम 4 अवयवों के संभावित मान्य विभाजनों का विश्लेषण करते हैं:

⇒ स्थिति 1: आकार 4 का एक खंड → विभाजन: {1,2,3,4} ⇒ केवल 1 तरीका

⇒ स्थिति 2: प्रत्येक के आकार 2 के दो खंड → विभाजन जैसे: { {1,2}, {3,4} } ⇒ गणना = 3 तरीके

⇒ स्थिति 3: आकार 3 का एक खंड और एक एकल अवयव → अस्वीकृत है (एकल अवयव की अनुमति नहीं है)

⇒ स्थिति 4: अन्य संयोजन जैसे {2,1,1}, {1,1,1,1} आदि → अस्वीकृत है (एकल अवयव शामिल है)

∴ ऐसे तुल्यता संबंधों की कुल संख्या = 1 + 3 = 4

गणना:

3k प्रकार के अवयव = 3

3k + 1 प्रकार के अवयव = 1, 7, 10

3k + 2 प्रकार के अवयव = 2, 5, 11

एक अवयव वाले उपसमुच्चय S₁ = 1

दो अवयव वाले उपसमुच्चय

⇒ S₂ = ³C₁ × ³C₁ = 9

तीन अवयव वाले उपसमुच्चय

⇒ S₃ = ³C₁ × ³C₁ + 1 + 1 = 11

चार अवयव वाले उपसमुच्चय

⇒ S₄ = ³C₃ + ³C₃ + ³C₂ × ³C₂ = 11

पाँच अवयव वाले उपसमुच्चय

⇒ S₅ = ³C₂ × ³C₂ × 1 = 9

छह अवयव वाले उपसमुच्चय S₆ = 1

सात अवयव वाले उपसमुच्चय S₇ = 1

⇒ योग = 43

इसलिए, सही उत्तर 43 है।

दिया गया है:

n(A - B) = 20 + x

n(B - A) = 3x

n(A ∩ B) = x + 1

n(A) = n(B)

प्रयुक्त सूत्र:

समुच्चय A में कुल अवयव: n(A) = n(A - B) + n(A ∩ B)

समुच्चय B में कुल अवयव: n(B) = n(B - A) + n(A ∩ B)

चूँकि n(A) = n(B) है, इसलिए हम व्यंजकों को समान करते हैं।

गणना:

n(A) = n(A - B) + n(A ∩ B)

⇒ n(A) = (20 + x) + (x + 1)

⇒ n(A) = 21 + 2x

n(B) = n(B - A) + n(A ∩ B)

⇒ n(B) = (3x) + (x + 1)

⇒ n(B) = 4x + 1

चूँकि n(A) = n(B):

⇒ 21 + 2x = 4x + 1

⇒ 21 - 1 = 4x - 2x

⇒ 20 = 2x

⇒ x = 10

हमें (2x - 5) का मान ज्ञात करना है:

⇒ (2 × 10 - 5) = 20 - 5

⇒ 15

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

स्पष्टीकरण:

माना A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}

अब, प्रत्येक कथन का मूल्यांकन कीजिए,​

कथन 1. A = (A ∪ B) ∪ (A - B),

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A - B = {1, 2}

RHS,

(A ∪ B) ∪ (A - B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A ∪ B \(\neq\) A

इसलिए, कथन 1 सही नहीं है।

कथन 2. A ∪ (B - A) = (A ∪ B)

B - A = {5, 6}; A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

LHS,

A ∪ (B - A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A ∪ B

अतः कथन 2 सही है।

कथन 3. B = (A ∪ B) - (A - B)

RHS,

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A - B = {1, 2}

(A ∪ B) - (A - B) = {3, 4, 5, 6} = B

अतः कथन 3 सही है।

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया है कि:

सभी तीनों को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 10% 

C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 45% 

कम से कम दो को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 35% 

A और B को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 15% 

गणना:

माना कि केवल A और C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = a%

माना कि केवल B और C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = b%

केवल C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत  = c%

प्रश्न के अनुसार

C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 45%

⇒ a% + 10% + b% + c% = 45%

⇒ a% + b% + c% = 35%      ----(1)

कम से कम दो को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत = 35% 

⇒ a% + 10% + 5% + b% = 35% 

⇒ a% + b% = 20%      ----(2)

a% + b% के मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर

⇒ 20% + c% = 35% 

⇒ c% = 15% 

∴ केवल C को पढ़ने वाले पाठकों का प्रतिशत 15% है

संकल्पना:

माना कि A और B दो समुच्चय हैं, तो A को B का उपयुक्त उपसमुच्चय तब कहा जाता है, यदि A, B का उपसमुच्चय है और A, B के बराबर नहीं है। इसे A ⊂ B के रूप में दर्शाया गया है। 

गणना:

दिया गया है: A = {1, 3, 4} और B = {x : x ∈ R और x2 - 7x + 12 = 0}

सर्वप्रथम समुच्चय B का रोस्टर रूप ज्ञात करते हैं। 

ऐसा करने के लिए हमें समीकरण x2 - 7x + 12 = 0 के मूलों को ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

⇒ x2 - 3x - 4x + 12 = 0

⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

⇒ (x - 4) × (x - 3) = 0

⇒ x = 3, 4

⇒ B = {3, 4}

चूँकि हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि B के सभी तत्व समुच्चय A में हैं लेकिन A ≠ B है अर्थात् B ⊂ A

अतः सही विकल्प 3 है।

अवधारणा :

संघ :

माना A और B दो समुच्चय हैं। A और B का संघ उन सभी तत्वों का समुच्चय है, जो A या B या A और B दोनों के हैं, यानी A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}

नोट: यदि A एक गैर-रिक्त समुच्चय इस प्रकार है जिससे n(A) = m है, तो A के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या को 2m - 1 द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना :

दिया हुआ: A = {1, 2, 5, 7} और B = {2, 4, 6}

जैसा कि हम जानते हैं कि, 

 A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}

⇒ A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

जैसा कि हम देख सकते हैं कि A U B में मौजूद तत्वों की संख्या = 6 अर्थात n (A U B) = 6 है

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि A एक गैर-रिक्त समुच्चय इस प्रकार है जिससे n(A) = m है, तो A के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या को 2m - 1 द्वारा ज्ञात किया गया है। 

तो, A Δ B के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या = 2 6 - 1 = 63

इसलिए, सही विकल्प 3 है।

स्पष्टीकरण :

(A - B) ∪ (B - A) =  A Δ B

दो सेटों का सममितीय अंतर: माना कि A और B दो सेट हैं। सेट A और B का सममितीय अंतर सेट (A - B) ∪ (B - A) है और इसे A Δ B के रूप में दर्शाया जाता है।

अर्थात A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)

दो सेटों के सममित अंतर का वेन आरेख प्रतिनिधित्व नीचे दिखाया गया है

संकल्पना:

संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं का चयन करना। 

• दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चरणों की संख्या को \({{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\rm{\;}}\)द्वारा दर्शाया गया है। 
•  \({{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}}{\rm{}} = {\rm{}}\frac{{{\rm{n}}!}}{{{\rm{r}}!\left( {{\rm{n\;}} - {\rm{\;r}}} \right)!}}\)

सूचना: यदि प्रश्न में वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या के बारे में पूछा गया है तो संयोजन का प्रयोग कीजिए। 

गणना:

A में तत्वों की संख्या = 10 

पूर्ण रूप से दो तत्वों वाले A के उपसमुच्चय की संख्या = उन तरीकों की संख्या जिससे हम 10 तत्वों से 2 तत्वों का चयन कर सकते हैं। 

⇒ उन तरीकों की संख्या जिससे हम 10 तत्वों से 2 तत्वों का चयन कर सकते हैं। = ¹⁰C₂ = 45

∴ पूर्ण रूप से दो तत्वों वाले A के उपसमुच्चय की संख्या = 45

अवधारणा :

सर्वनिष्ठ :

माना कि A और B दो समुच्चय हैं। A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो A और B दोनों समुच्चयों में मौजूद हैं।

A और B के सर्वनिष्ठ को A ∩ B यानी A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}  द्वारा निरूपित किया जाता है।

नोट: यदि A एक गैर-रिक्त समुच्चय इस प्रकार है जिससे n(A) = m है, तो A के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या को 2m - 1 द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना :

दिया गया: A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} और B = {2, 4, 6, 7, 9}

जैसा कि हम जानते हैं कि, A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

⇒ A ∩ B = {2, 4, 7, 9}

जैसा कि हम देख सकते हैं कि,

A ∩ B में मौजूद तत्वों की संख्या = 4 अर्थात n(A ∩ B) = 4

जैसा कि हम जानते हैं कि;

यदि A एक गैर-रिक्त समुच्चय इस प्रकार है जिससे n(A) = m है,

तो A के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या को 2m - 1 द्वारा ज्ञात किया गया है। 

तो, A ∩ B के उपयुक्त उपसमुच्चयों की संख्या = 24 - 1 = 15

इसलिए, सही विकल्प 2 है

संकल्पना:

• यदि एक सेट में n तत्व हैं तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ होगी

गणना:

पहले के कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2^m है जबकि दूसरे की कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ है।

अब यह दिया गया है कि

2^m = 2ⁿ + 56

⇒ 2^m - 2ⁿ = 56

⇒ 2³(2^m-3 - 2^n-3) = 56

⇒ (2^m-3 - 2^n-3) = 7

⇒ (2^m-3 - 2^n-3) = 8 - 1

⇒ (2^m-3 - 2^n-3) = 2³ - 2⁰

इसलिए पदों की तुलना करें,

m - 3 = 3 इसप्रकार m = 6 और

n = 3 देते हुए n - 3 = 0

इसलिए, (m, n) = (6, 3)

संकल्पना:

समुच्चयों का संयोजन:

दिये गए दो समुच्चयों का संयोजन वह समुच्चय होता है जिसमें वे तत्व शामिल होते हैं जो या तो A या B में या दोनों में होते हैं। 

समुच्चय A और B के संयोजन को A U B द्वारा दर्शाया गया है। 

समुच्चयों का प्रतिच्छेदन:

दिए गए दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन वह सबसे बड़ा समुच्चय होता है जिसमें वे सभी तत्व शामिल होते हैं जो दोनों समुच्चयों के लिए सामान्य होते हैं। 

समुच्चय A और B के प्रतिच्छेदन को A ∩ B द्वारा दर्शाया गया है। 

सूत्र: A ∪ B = A + B - A ∩ B

गणना:

दिया गया है: A ∩ B = A

ज्ञात करना है: A ∪ B

चूँकि हम जानते हैं, 

A ∪ B = A + B - A ∩ B

⇒ A ∪ B = A + B - A

∴ A ∪ B = B

संकल्पना:

डी मॉर्गन का नियम:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

समुच्चय में वितरक नियम:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

गणना:

दिया गया है: A और B दो समुच्चय हैं। 

निम्न को ज्ञात करने के लिए: A ∩ (B ∪ A)^c

चूँकि हम जानते हैं, (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

इसलिए (B ∪ A)^c = B^c ∩ A^c

अब A ∩ (B ∪ A)^c = A ∩ (B^c ∩ A^c)

= (A ∩ B^c) ∩ (A ∩ A^c)             (वितरक नियम प्रयोग करने पर)

= (A ∩ B^c) ∩ ϕ                        (∵ x ∩ ϕ = ϕ)

= ϕ 

गणना:

दिया हुआ: चार समुच्चयों में क्रमशः 150, 180, 210 और 240 तत्व हैं

n(A) = 150

n(B) = 180

n(C) = 210

n(D) = 240

समुच्चय के प्रत्येक जोड़े में 15 तत्व हैं

n(A ∩ B) = 15

n(A ∩ C) = 15

n(A ∩ D) = 15

n(B ∩ C) = 15

n(B ∩ D) = 15

n(C ∩ D) = 15

समुच्चय के प्रत्येक त्रिक (ट्रिपल) में 3 तत्व हैं

n(A ∩ B ∩ C) = 3

n(A ∩ B ∩ D) = 3

n(A ∩ C ∩ D) = 3

n(B ∩ C ∩ D) = 3

A ∩ B ∩ C ∩ D = ϕ 

n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0

अब 4 समुच्चय A, B, C और D के संघ में तत्वों की संख्या

n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(A ∩ D) - n(B ∩ C) - n(B ∩ D) - n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) + n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) - n(A ∩ B ∩ C ∩ D)

= 150 + 180 + 210 + 240 - 6 × 15 + 4 × 3 - 0

= 702