Types of Matrices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Types of Matrices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}\)

यह उल्लेख किया गया है कि A एक लांबिक आव्यूह है। इसलिए,

\(A^T A = I\)

अब, हम A² की गणना करते हैं:

\(A^2 = A \cdot A\)

\(A^2 = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}\)

चूँकि A लांबिक है, \(A^T A = I\) है, और इसलिए:

\(A^2 = I\)

∴ A² = तत्समक आव्यूह (I)

गणना:

दिया गया है, A^T = A, B^T = -B, C^T = -C

माना M = A¹³B²⁶ - B²⁶A¹³

⇒ तब, M^T = (A¹³B²⁶ - B²⁶A¹³)^T

= (A¹³B²⁶)^T - (B²⁶A¹³)^T

= (B^T)²⁶(A^T)¹³ - (A^T)¹³(B^T)²⁶

= B²⁶A¹³ - A¹³ B²⁶ = -M

अतः, M विषम सममित है

माना, N = A²⁶C¹³ - C¹³A²⁶

⇒ तब, N^T = (A²⁶C¹³)^T - (C¹³A²⁶)^T

= (C^T)¹³(A^T)²⁶ - (A^T)²⁶(C^T)¹³

= -C¹³A²⁶ + A²⁶C¹³ = N

अतः, N सममित है।

∴ केवल S2 सत्य है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है, AB = O

माना कि A = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)

B = \(\left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right]\)

अब AB = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{lll} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ ap + br = 0...(1)

⇒ aq + bs = 0...(2)

⇒ cp + dr = 0...(3)

⇒ cq + ds = 0...(4)

समीकरणों (i) और (iii) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc)p = 0 और (ad - bc)r = 0

समीकरणों (ii) और (iv) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc) q = 0 और (ad - bc)s = 0

अब, यदि A व्युत्क्रमणीय है। 

ad - bc ≠ 0

इसलिए, p = q = r = s = 0

तब, B शून्य आव्यूह है।

∴ विकल्प (c) सही है।

अवधारणा:

पहचान आव्यूह के गुण:

यदि A, n × n कोटि का वर्ग आव्यूह है

• AI = IA = A
• In = I        (जहाँ n ∈ N)

गणना:

दिया हुआ है कि

A2 = I

अब, A3 + (A + I)2 - 9A - I2 - A2

= A2. A + A2 + I2 + 2AI - 9A - I2 - A2

= I. A + I + I + 2AI - 9A - I - I       [∵ A2 = I और AI = IA = A]

= AI + 2AI - 9A 

= 3AI - 9A

= 3A - 9A

= - 6A

संकल्पना:

• प्रारंभिक आव्यूह: एक प्रारंभिक आव्यूह वह आव्यूह होता है जो एकल प्रारंभिक पंक्ति संचालन द्वारा तत्समक आव्यूह से अलग होती है। 
• एक प्रारंभिक आव्यूह में प्रत्येक विकर्ण तत्व 1 होता है। 

गणना:

विकल्प b की जाँच करने पर,

माना कि E = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

R₁ → R₁ – 5R₂ को लागू करने पर 

\( \Rightarrow {\rm{E\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right] = \;{{\rm{I}}_{3{\rm{\;}} \times 3}}\)

हम देख सकते हैं कि विकल्प B को एक प्रारंभिक संचालन द्वारा तत्समक आव्यूह में परिवर्तित किया गया है। 

अतः विकल्प B सही है। 

लघु विधि:

हम जानते हैं कि प्रारंभिक आव्यूह में प्रत्येक विकर्ण तत्व 1 है। 

केवल B में विकर्ण तत्व 1 है। (परिभाषा से)

अतः विकल्प B सही है। 

अवधारणा:

एक वर्ग आव्यूह A = [aij]n × n को सममित कहा जाता है यदि  AT = A

A T (परिवर्त) पंक्तियों को स्तम्भ और स्तम्भ को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है

गणना:

माना A = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

 AT = \(\rm \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)   = A

A एक सममित आव्यूह है

अवधारणा:

तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जिसके विकर्ण के सभी अवयव 1 होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह   कहलाता है। 

इस प्रकार, वर्ग आव्यूह  A = [\(a_{ij}\)], यदि \(a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1,if \hspace{3mm} i= j \\ 0,if \hspace{3mm} i\neq j \end{matrix}\right.\)

उ.दा., \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, In = Iij]nneeeIⁿ_{\(I^n = I\)}

गणना:

यहाँ,  A² =I

साथ ही A और i क्रमविनिमेय हैं, इसलिए हम (a+ b)n के प्रसार का उपयोग करके (A + I)n का प्रसार कर सकते हैं।

∴ (A – I)3 + (A + I)3 – 7A

= A³ - 3A² + 3A - I³ + A³ + 3A² + 3A + I² - 7A

= 2A³ + 6A - 7A

= 2A² ⋅A + 6A - 7A

= 2I ⋅A + 6A - 7A

= 2A + 6A - 7A

= 8A - 7A

= A

संकल्पना:

सममित आव्यूह:

किसी वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि यदि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है जिससे A = At है, तो A को सममित आव्यूह कहा जाता है। 

विषम-सममित आव्यूह:

कोई वास्तविक वर्ग आव्यूह A = (aij) को विषम-सममित आव्यूह केवल तब कहा जाता है यदि aij = - aji, ∀ i और j होता है या अन्य शब्दों में हम कह सकते हैं कि A एक वास्तविक वर्ग आव्यूह इस प्रकार होता है जिससे A = - At होता है, तो A को विषम-सममित आव्यूह कहा जाता है।

आव्यूह के परावर्त के गुण :

• यदि A कोटि m × n का आव्यूह है तो (At)t = A
• यदि k ∈ R एक अदिश है और A कोटि m × n का एक आव्यूह है तो (k × A)t = k × At
• यदि A और B एक ही कोटि m × n के आव्यूह हैं तो (A ± B)t = At ± Bt और (AB)t = Bt × At।

गणना :

दिया गया: A विषम सममित आव्यूह है

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A विषम सममित आव्यूह है तो A = - At

⇒ (A2)t = (At)2

∵ A विषम सममित आव्यूह है

⇒ (A2)t = (- A)2 = A2

तो, A² एक सममित आव्यूह है।

इसलिए, विकल्प D सही उत्तर है।

संकल्पना:

1. सममित आव्यूह: वर्गाकार आव्यूह A को सममित कहा जाता है यदि आव्यूह A का परिवर्त स्वयं आव्यूह A के बराबर है ⇔ A^T = A या A’ = A

2. विषमतलीय- सममित या प्रतिसममित: वर्गाकार आव्यूह A को विषमतलीय- सममित कहा जाता है यदि आव्यूह A का परिवर्त आव्यूह A के ऋणात्मक के बराबर होता है ⇔ A^T = −A

3. हर्मिटी आव्यूह: हर्मिटी आव्यूह एक सम्मिश्र वर्गाकार आव्यूह है जो इसके स्वयं के संयुग्म परिवर्त के बराबर है। ⇔ \({{\bf{A}}^{\bf{T}}} = \;{\bf{\bar A}}\)

4. विषमतलीय- हर्मिटी: \({{\bf{A}}^{\bf{T}}} = - {\bf{\bar A}}\)

5. माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है। 

• z का संयुग्म =  = x – iy

गणना:

माना कि A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 4 + i}\\ {4 + i}&0 \end{array}} \right]\)

अब, आव्यूह A का परिवर्त

 A^T = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - 4 + i}&0 \end{array}} \right]\)

⇒ A^T ≠ A

∴ दिया गया आव्यूह सममित नहीं है। 

A^T = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - 4 + i}&0 \end{array}} \right] \ne - {\rm{A}}\)

∴ दिया गया आव्यूह विषमतलीय- सममित नहीं है। 

अब, आव्यूह A का संयुग्म 

\({\rm{\bar A}} = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\overline { - 4 + i} }\\ {\overline {4 + i} }&0 \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 4 - i}\\ {4 - i}&0 \end{array}} \right] = \; - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{4 + i}\\ { - \;4 + i}&0 \end{array}} \right]\)
 

\( \Rightarrow {\rm{\bar A}} = - \;{{\rm{A}}^{\rm{T}}}\)

∴ दिया गया आव्यूह विषमतलीय- हर्मिटी आव्यूह है। 

संकल्पना:

माना कि एक आव्यूह A विषम-सममित आव्यूह है, तो A^T = −A
और A सममित आव्यूह है, तो A^T = A है। 

गणना:

चूँकि, A विषम-सममित है। 
A^T = −A
चूँकि, A सममित है। 
A^T = A
⇒ −A = A
⇒2A = O
⇒A = O

इसलिए, A एक शून्य आव्यूह है। 

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि |A| = 0।

अनैच्छिक आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को अनैच्छिक आव्यूह कहा जाता है यदि A² = I, जहां I कोटि n का तत्समक आव्यूह है।

शून्यंभावी आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को शून्यंभावी आव्यूह कहा जाता है अगर वहां न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक m मौजूद हो जैसे कि Am = O, जहां O कोटि n का शून्य आव्यूह है।

वर्गसम ​आव्यूह: कोटि n के किसी भी वर्ग आव्यूह को वर्गसम कहा जाता है यदि A2 = A।

गणना:

दिया हुआ: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\)

\(\Rightarrow \;{A^2} = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right] \times \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right] \\= \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = I\)

अवधारणा:

• सममित आव्यूहों के लिए, A = A' और B = B'
• विषम-सममित आव्यूहों के लिए, A = - A'
• (A ± B)' = A' ± B'
• (AB)' = B'A'

गणना:

दिया हुआ: A और B सममित आव्यूह हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि सममित आव्यूहों के लिए हमारे पास A = A' और B = B' है

(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' --------(∵ (A ± B)' = A' ± B')

⇒ (AB - BA)' = B'A' - A'B' --------(∵ (AB)' = B'A')

⇒ (AB - BA)' = BA - AB ----------(∵ A = A' और B = B')

⇒ (AB - BA)' = - (AB - BA)

इसलिए विकल्प 3 सही है।

व्याख्या:

यहां हमें 4 प्रविष्टियां भरनी हैं इसका मतलब है कि हम 2 × 2 आव्यूह, 4 × 1 और 1 × 4 आव्यूह बना सकते हैं

2 × 2 आव्यूह में, चार स्थान होते हैं

और प्रत्येक स्थान पर (1, 2) को भरने के दो तरीके हैं 

तो, प्रविष्टियों को भरने के तरीकों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

4 × 1 आव्यूह में, चार स्थान होते हैं

और प्रत्येक स्थान पर (1, 2) को भरने के दो तरीके हैं 

तो, प्रविष्टियों को भरने के तरीकों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

इसी प्रकार 1 × 4 आव्यूह के मामले में कुल तरीकों की संख्या = 16.

∴ आव्यूहों की कुल संख्या 48 होगी।