नित्यसमानता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Identities - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

a = (√2 - 1)1/3

वापरलेले सूत्र:

x3 - y3 = (x - y)³ + 3xy (x - y)

गणना:

(a - \(1\over a\))3 + 3(a - \(1\over a\))

⇒ (a - \(1\over a\))3 + 3 × a × \(1\over a\) (a - \(1\over a\)) (जसे a × \(1\over a\) = 1)

⇒ (a3 - \(1\over a^3\))

आता,

a = (√2 - 1)1/3

अशाप्रकारे, a³ = ((√2 - 1)1/3)³ = (√2 - 1)

\(1\over a^3\) = 1/(√2 - 1) = 1/(√2 - 1) x (√2 + 1)/(√2 + 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / {(√2)² - (1)²}

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / (2 - 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1)

अशाप्रकारे,

(a3 - \(1\over a^3\)) = {√2 - 1 - (√2 + 1)} = √2 - 1 - √2 - 1 = - 1 - 1 = - 2

∴ पर्याय (3) योग्य आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

\(\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=18 \)

वापरलेले सूत्र:

x - 1/x = √[(x+1/x)2 - 4]

\(\rm \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)\)= (x - 1/x)3 + 3 (x - 1/x)

गणना:

\(\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=18\)

⇒ \(\rm \left(x-\frac{1}{x}\right)^2= 18 - 2\)

⇒ x - 1/x = 4

⇒ \(\rm \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)\) = (x - 1/x)³ + 3 (x - 1/x)

⇒ 43 + 3 × 4 =  64 + 12 = 76

∴ योग्य पर्याय 2 आहे.

दिले:

a + b + c = 6, (a 2 + b 2 + c 2 ) = 14 आणि \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

वापरलेली संकल्पना:

(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2 (ab + bc + ca)

गणना:

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca)

⇒ ३६ = १४ + २ (ab + bc + ca)

⇒ (ab + bc + ca) = 11 -----(1)

आमच्याकडे आहे, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

⇒ (ab + bc + ca)/abc = 11/6 ----(2)

eq(1) चे मूल्य eq(2) मध्ये टाका

⇒ 11/abc = 11/6

⇒ abc = 6.

त्यामुळे abc चे मूल्य 6 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

x2 + 1/x2 = 4

वापरलेले सूत्र:

(x2 + 1/x2 )² = x⁴ + 1/x⁴ + 2

गणना:

(x2 + 1/x2 )2 = x4 + 1/x4 + 2

(4)2 = x4 + 1/x4 + 2

16 = x4 + 1/x4 + 2

x4 + 1/x4 = 14

∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले आहे:

(पहिली नैसर्गिक संख्या - दुसरी नैसर्गिक संख्या)³ = 1728

पहिली नैसर्गिक संख्या × दुसरी नैसर्गिक संख्या = 108

वापरलेले सूत्र:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

गणना:

पहिली नैसर्गिक संख्या = A

दुसरी नैसर्गिक संख्या = B

(A - B)3 = 1728

⇒ (A - B) = 3√1728 = 12

दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून

⇒ (A - B)² = 144

⇒ A² + B² - 2AB = 144

⇒ A2 + B2 = 144 + 216 = 360

आता,

(A + B) = √(A2 + B2 + 2AB)

⇒ √(360 + 216) = √576 = 24

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

⇒ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB × (A + B)

⇒ (24)³ - 3 × 108 × 24

⇒ 13824 - 7776

⇒ 6048 

∴ योग्य उत्तर 6048 आहे.

दिलेले आहे:

x - 1/x = 3

वापरलेली संकल्पना:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

सारखेपणा लागू करूया:
  
⇒ x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x³ - (1/x)³ = (3)³ + 3(1)(3)

⇒ x³ - (1/x)³ = 27 + 9

⇒ x³ - (1/x)³ = 36

∴  x³ - (1/x)³ चे मूल्य 36 आहे.

दिलेले आहे:

x - (1/x) = (- 6)

वापरलेले सूत्र:

जर x - (1/x) = P, तर

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

जर x + (1/x) = P, तर

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

अशाप्रकारे, x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

आणि x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

आता,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ योग्य उत्तर - 8886 आहे.

दिलेले आहे:

x = √10 + 3

वापरलेले सूत्र:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ आवश्यक मूल्य 234 आहे

दिल्याप्रमाणे:

p – 1/p = √7

सुत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

चतूर पद्धत

x - 1/x = a, then x³ - 1/x³ = a³ + 3a

येथे, a = √5

म्हणून,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

दिलेले आहे:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 आणि abc = 15

वापरलेली संकल्पना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे.

दिलेली माहिती:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

वापरलेले सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तर

(a2 + 1/a2) = P2 - 2

(a3 + 1/a3) = P3 - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

∴ योग्य उत्तर 15127 आहे.

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 or x = 1

जेव्हा a + b + c = 0, तेव्हा  (a3 + b3 + c3) = 3abc,

दिलेल्याप्रमाणे:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

वापरलेले सूत्र:

a² + b² + c² - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोन्ही बाजूचे वर्ग केल्यावर

⇒ (a + b + c)² = (19)²

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

आता,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ योग्य उत्तर 104 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

x2 + (1/x2) = 7

वापरलेले सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तर x + (1/x) = √(P + 2)

आणि x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ योग्य उत्तर - 3√5 आहे.​
 Mistake Point

कृपया याची नोंद घ्यावी

0 < x < 1

म्हणून,

1/x > 1

म्हणून,

x + 1/x > 1

आणि

x - 1/x < 0 (कारण 0 < x < 1 आणि 1/x > 1 म्हणून, x - 1/x < 0)

म्हणून,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0