Principal Values MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Principal Values - मोफत PDF डाउनलोड करा

आपल्याकडे, \(\tan^{-1}\big (\cot \dfrac{3\pi}{4}\big)\) 

\(=\tan^{-1}\big(\cot \big(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\big)\big)\)

\(=\tan^{-1}(-\tan\dfrac{\pi}{4}\big)\)

\(=\tan^{-1}(\tan(-\dfrac{\pi}{4}\big))\)

\(=-\dfrac{\pi}{4}\)

संकल्पना:

• मूळ मूल्य: एका व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य जे त्याच्या मुख्य मूल्य शाखेत असते त्याला त्या व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्याचे मुख्य मूल्य म्हणतात.
• tan^-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\)आहे.
• sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे.
• tan^-1(- x) = - tan^-1x

गणना:

y = tan^-1(-√3)= - tan^-1(√3) मानू,

तर, tan y = -√3

आपल्याला माहीत आहे की, tan-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\) आहे

आणि \(tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt3\).

∴ tan-1(√3) चे मुख्य मूल्य \(-\frac{\pi}{3}\) आहे .......(1)

पुढे,

x = sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) मानू,

तेव्हा, sec x = \(\frac{2}{\sqrt3}\)

आपल्याला माहीत आहे की, sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे

आणि.

∴ sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) is \(\frac{\pi}{3}\) चे मूळ मूल्य आहे .......(2)

(1) आणि (2) यांची बेरीज केल्यावर, आपल्याकडे आहे

\(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= -\frac{\pi}{3}+2\times\frac{\pi}{6}\)

\(=0\)

∴ \(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= 0\)

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2) आहे.

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

गणना:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ मूळ मूल्य ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)असू शकते

∴ x = 0

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

गणना:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ मूळ मूल्य ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)असू शकते

∴ x = 0

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

गणना:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ मूळ मूल्य ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)असू शकते

∴ x = 0

संकल्पना:

• मूळ मूल्य: एका व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य जे त्याच्या मुख्य मूल्य शाखेत असते त्याला त्या व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्याचे मुख्य मूल्य म्हणतात.
• tan^-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\)आहे.
• sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे.
• tan^-1(- x) = - tan^-1x

गणना:

y = tan^-1(-√3)= - tan^-1(√3) मानू,

तर, tan y = -√3

आपल्याला माहीत आहे की, tan-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\) आहे

आणि \(tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt3\).

∴ tan-1(√3) चे मुख्य मूल्य \(-\frac{\pi}{3}\) आहे .......(1)

पुढे,

x = sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) मानू,

तेव्हा, sec x = \(\frac{2}{\sqrt3}\)

आपल्याला माहीत आहे की, sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे

आणि.

∴ sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) is \(\frac{\pi}{3}\) चे मूळ मूल्य आहे .......(2)

(1) आणि (2) यांची बेरीज केल्यावर, आपल्याकडे आहे

\(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= -\frac{\pi}{3}+2\times\frac{\pi}{6}\)

\(=0\)

∴ \(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= 0\)

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2) आहे.

आपल्याकडे, \(\tan^{-1}\big (\cot \dfrac{3\pi}{4}\big)\) 

\(=\tan^{-1}\big(\cot \big(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\big)\big)\)

\(=\tan^{-1}(-\tan\dfrac{\pi}{4}\big)\)

\(=\tan^{-1}(\tan(-\dfrac{\pi}{4}\big))\)

\(=-\dfrac{\pi}{4}\)