వృత్తాలు, జ్యా మరియు స్పర్శ రేఖలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

తీగను పొడవు 16 సెం.మీ మరియు వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన భావన:

వృత్త వ్యాసార్థం వృత్త జ్యాను లంబంగా సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

లంబకోణ త్రిభుజంలో, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

(కర్ణం)2 = (లంబం)2 + (భుజం)2

గణన:

రెండు తీగనులు AB = 16 సెం.మీ అనుకుందాం

వృత్త వ్యాసార్థం లంబంగా సమద్విఖండన చేస్తుంది కాబట్టి,

AL = BL = 16/2 = 8 సెం.మీ

Δ AOL లో, ∠ALO = 90°

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 సెం.మీ

కాబట్టి, వృత్త కేంద్రం నుండి తీగను దూరం 6 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

వ్యాసార్థం (r) = 17 సెం.మీ

కేంద్రం నుండి తీగ దూరం (d) = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

తీగ పొడవు = 2√(r² - d²)

గణనలు:

తీగ పొడవు = 2√(17² - 15²)

⇒ తీగ పొడవు = 2√(289 - 225)

⇒ తీగ పొడవు = 2√64

⇒ తీగ పొడవు = 2 x 8

⇒ తీగ పొడవు = 16 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

ఇచ్చినవి:

జ్యా పొడవు = 16 సెం.మీ

వృత్త వ్యాసార్థం = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

వ్యాసార్థం, కేంద్రం నుండి జ్యాకు లంబ దూరం మరియు జ్యా పొడవులో సగం ద్వారా ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజంలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:

ఇక్కడ d కేంద్రం నుండి జ్యాకు దూరం, r వ్యాసార్థం మరియు c జ్యా పొడవు.

గణన:

ఇచ్చినవి, r = 10 సెం.మీ మరియు c = 16 సెం.మీ.

జ్యా పొడవులో సగం = 16/2 = 8 సెం.మీ

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

వృత్త కేంద్రం నుండి జ్యా దూరం 6 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

చాపం పొడవు = 22 సెం.మీ

వృత్త వ్యాసార్థం = 28 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

చాపం పొడవు = 2πr x (θ / 360)

θ కోసం తిరిగి అమర్చడం:

θ = (చాపం పొడవు x 360) / (2πr)

గణనలు:

దశ 1: విలువలను ప్రతిక్షేపించండి:

θ = (22 x 360) / (2 x π x 28)

π ≈ 22/7ని ఉపయోగించి:

θ = (22 x 360) / (2 x (22/7) x 28)

దశ 2: సరళీకృతం చేయండి:

θ = (22 x 360 x 7) / (2 x 22 x 28)

θ = (360 x 7) / (2 x 28)

θ = 2520 / 56

θ = 45

చాపం చేత ఏర్పడిన కోణం కొలత 45 డిగ్రీలు.

ఇచ్చినవి:

AL = 8 సెం.మీ

LB = 6 సెం.మీ

LD = 5 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక వృత్తంలో, ఖండించుకునే జ్యాలకు, ఒక జ్యా యొక్క విభాగాల లబ్ధం మరొక జ్యా యొక్క విభాగాల లబ్ధానికి సమానం:

AL x LB = CL x LD

గణన:

8 x 6 = CL x 5

⇒ 48 = CL x 5

⇒ CL = 48 / 5

⇒ CL = 9.6 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

భావన:

వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది

చతుర్భుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం = 360°

గణన:

PA మరియు PB అనేది బాహ్య బిందువు P నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు.

∠OAP = ∠OBP = 90° (వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది)

ఇప్పుడు, చతుర్భుజ OAPBలో,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°

75° + 90 ° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

ఈ విధంగా, OA మరియు OB అనే రెండు వ్యసార్దాల మధ్య కోణం 105°

మనకు తెలుసు, 

ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శ రేఖ యొక్క పొడవు = √[d2 - (R - r)2]

ఇక్కడ d అనేది కేంద్రాల మధ్య దూరం మరియు R మరియు r అనేవి వృత్తాల వ్యాసార్థాలు.

PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]

⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ2 = 4Rr

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 మరియు AB = x

ఉపయోగించిన సూత్రం:

LC × LD = LB × AL

సాధన:

ప్రశ్న ప్రకారం

LC × LD = LB × AL

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)

⇒ 4 + x = 51/2

⇒ 4 + x = 25.5

⇒ x = AB = 21.5

∴ AB యొక్క పొడవు 21.5 సెం.మీ.

ఇవ్వబడినది:

సూత్రం:

అర్ధ వృత్తంలో చేసిన కోణం లంబ కోణం.

వృత్తం యొక్క అదే విభాగంలో ఏర్పడిన కోణాలు కొలతలో సమానంగా ఉంటాయి.

లెక్కింపు:

B మరియు R లను కలపడం ద్వారా BR ఏర్పడుతుంది.

∠ARS + ∠ARP = 180°  [సమాంతర జత]

⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55° 

∠ARB = 90°    [అర్థ వృత్తంలో చేసిన కోణం] 

⇒ ∠ARP + ∠BRP =  90° 

⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35° 

∠BRP = ∠PAB = 35°  [ఒకే విభాగంలో చేసిన కోణాలు]

∴ ∠PAB = 35°

ఇచ్చినవి:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

వాడిన ఫార్ములా:

రెండు వ్యాసములు AB మరియు CD పాయింట్ X వద్ద కలుస్తుంటే.

అప్పుడు, AX × XB = CX × XD

లెక్కింపు:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

కాబట్టి, k విలువ 4.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

AB = 4 సెం.మీ మరియు BC = 5 సెం.మీ

కాన్సెప్ట్:

స్పర్శ రేఖ ఖండన రేఖ భాగ సిద్ధాంతం: ఒక వృత్తం వెలుపల ఒక సాధారణ బిందువు వద్ద ఒక స్పర్శ రేఖ మరియు ఖండన రేఖ కలుస్తుంటే, సృష్టించబడిన విభాగాలు రెండు ఖండన రేఖ కిరణాలతో సమానమైన సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

⇒ AD2 = AB (AB + BC)      

సాధన:

స్పర్శ రేఖ ఖండన రేఖ భాగ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనకు,

AD2 = AB (AB + BC)     

⇒ AD2 = 4 (4 + 5)

⇒ AD2 = 36

⇒ AD = 6 సెం.మీ

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

∠BAC = 60°

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

మధ్యలో వృత్తం యొక్క చాపం ద్వారా గీయబడిన కోణం వృత్తం యొక్క మిగిలిన భాగంలో ఏదైనా బిందువు ద్వారా గీయబడిన  కోణం రెట్టింపు అవుతుంది.

సాధన:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

⇒ ∠BQR = 70° (ఇచ్చింది)

⇒ ∠BQR = ∠QBA = 70° (ప్రత్యామ్నాయ అంతర్గతకోణము)

⇒ ∠BQR = ∠QAB = 70° (ప్రత్యామ్నాయ ఖండన సిద్దాంతం)

ΔAQB లో

⇒ ∠AQB + ∠QAB + ∠QBA = 180°

⇒ ∠AQB + 70° + 70° = 180°

⇒ ∠AQB = 180° – 140° = 40°

ఇచ్చిన:

రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థాలు 12 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ

రెండు వృత్తాలు బాహ్యంగా పాయింట్ A వద్ద ఒకదానికొకటి తాకుతాయి

MN అనేది రెండు సర్కిల్‌ల ఉమ్మడి టాంజెంట్.

లెక్కలు:

ప్రశ్న ప్రకారం,

సర్కిల్‌ల కేంద్రాలు వరుసగా P మరియు Q అని ఉండనివ్వండి.

P నుండి Q మరియు M చేరండి. Q నుండి N చేరండి. PT ⊥ QNని గీయండి.

ఇప్పుడు PT = MN, అవి దీర్ఘ చతురస్రం PTNMకి వ్యతిరేక వైపులా ఉన్నాయి.

⇒ PQ = వ్యాసార్థం 1 + వ్యాసార్థం 2

⇒ PQ = 12 సెం.మీ + 8 సెం.మీ

⇒ 20 సెం.మీ.

మరియు, QT = QN – NT {As, PM = NT = 8 cm}

⇒ QT = 12 సెం.మీ - 8 సెం.మీ

⇒ QT = 4 సెం.మీ

ఇప్పుడు, కుడివైపున ∆ PQT, మనకు ఉన్నాయి:

PT = √ {(PQ) ² - (QT) ² }

⇒ PT = √ {(20) 2 - (4) 2 }

⇒ PT = √ 384

⇒ PT = 8√6

∴ MN = PT = 8√6 సెం.మీ.

సత్వరమార్గ ట్రిక్

వాడిన ఫార్ములా:

ప్రత్యక్ష సాధారణ టాంజెంట్ పొడవు, 2 వృత్తాలు బాహ్యంగా తాకినప్పుడు,

⇒

ఇక్కడ D అనేది 2 కేంద్రాల మధ్య దూరం

R మరియు r వృత్తాల 2 వ్యాసార్థాలు

లెక్కింపు:

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

⇒

⇒ √384 = 8√6

∴ MN = PT = 8√6 సెం.మీ.

⇒ ∠BOA = 90°

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO లో,

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°