श्रृंखला 5 + 55 + 555 + ..... से n पदों तक का योग ज्ञात कीजिए। 

संकल्पना:

माना कि a ज्यामितीय श्रेणी का पहला पद और r सार्व अनुपात है। तो एक ज्यामितीय श्रेणी के सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \({a_n} = a{r^{n\; - \;1}}\)

एक ज्यामितीय श्रेणी के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया हैं जिसमें पहला पद ‘a’ और सार्व अनुपात ‘r’ है: \({S_n} = a\;\left( {\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}} \right) for |r| < 1\ and\ {S_n} = a\;\left( {\frac{{{r^n} - 1}}{{r - 1}}} \right) for |r| > 1\)

गणना:

यहाँ, हमें श्रृंखला 5 + 55 + 555 + ..... से n पदों तक का योग ज्ञात करना है। 

अर्थात् 5 + 55 + 555 + ...... से n पद

= 5 ⋅ [1 + 11 + 111 + ..... से n पद

= \(\frac{5}{9} \cdot [9 + 99 + 999 + .... to\ n\ terms]\)

= \(\frac{5}{9} \cdot [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + .... to\ n\ terms]\)

= \(\frac{5}{9} \cdot [(10 + 10^2 + 10^3 + .....to\ n\ terms) - n]\)

चूँकि हम जानते हैं कि, \({S_n} = a\;\left( {\frac{{1 - {r^n}}}{{1 - r}}} \right) for |r| < 1\ and\ {S_n} = a\;\left( {\frac{{{r^n} - 1}}{{r - 1}}} \right) for |r| > 1\)

= \(\frac{5}{9} \cdot [{\frac{10 \times (10^n - 1)}{(10 - 1)} - n}]\)

= \(\frac{5}{81} \cdot (10^{n + 1} - 9n - 10)\)

अतः आवश्यक योग \(\frac{5}{81} \cdot (10^{n + 1} - 9n - 10)\) है।