यदि a1, a2, a3, ..., a9 ज्यामितीय श्रेणी में हैं तो सारणिक \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 & \rm \ln a_2 & \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 & \rm \ln a_5 & \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7 & \rm \ln a_8 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\) का मान क्या है?

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी:

• एक ज्यामितीय श्रेणी के किसी दो क्रमागत पदों के बीच का अनुपात एक निर्दिष्ट स्थिरांक होता है, जिसे श्रेणी का सार्व अनुपात (r) कहा जाता है। 

लघुगुणक:

• log a - log b = \(\rm \log {a\over b}\)

सारणिक:

• पंक्तियों/स्तंभों का रैखिक संयोजन सारणिक के मान को प्रभावित नहीं करता है। 
• यदि दिए गए आव्यूह की दो पंक्तियों/स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित किया जाता है, तो सारणिक के मान को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि दिए गए आव्यूह की पंक्ति/स्तंभ को अदिश k से गुणा किया जाता है, तो सारणिक के मान को k से भी गुणा किया जाता है। 

गणना:

माना कि दी गयी ज्यामितीय श्रेणी का सार्व अनुपात r है। 

माना कि D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 & \rm \ln a_2 & \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 & \rm \ln a_5 & \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7 & \rm \ln a_8 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\) है। 

C₁ → C₁ - C₂ और C2 → C2 - C3 का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 -\ln a_2& \rm \ln a_2 -\ln a_3& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 -\ln a_5& \rm \ln a_5 -\ln a_6& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7-\ln a_8 & \rm \ln a_8-\ln a_9 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln {a_1 \over a_2}& \rm \ln {a_2 \over a_3}& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln {a_4 \over a_5}& \rm \ln {a_5 \over a_6}& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln {a_7 \over a_8} & \rm \ln {a_8 \over a_9} & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln r & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ → C₁ - C₂ का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} 0& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\0& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ 0 & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ के साथ विस्तारण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ D = 0