माना कि A : ℝ^m → ℝⁿ एक शून्येतर रैखिक रूपांतरण है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण: दो सदिश समष्टियों के बीच एक फलन \( A\) जो सदिश योग और अदिश गुणन के संक्रियाओं को संरक्षित करता है। इस स्थिति में, \( A\) \(\mathbb{R}^m\)

(एक m-विमीय समष्टि) से \( \mathbb{R}^n\) (एक n-विमीय समष्टि) तक एक रैखिक रूपांतरण है।

एकैक (एकैकी): एक रैखिक रूपांतरण एकैकी होता है यदि \(\mathbb{R}^m\) में भिन्न सदिश \(\mathbb{R}^n\) में भिन्न सदिशों में प्रतिचित्रित होते हैं। आव्यूहों के संदर्भ में, \( A\) एकैकी होता है यदि इसके शून्य समष्टि में केवल शून्य सदिश होता है।

आच्छादक (आच्छादी): एक रैखिक रूपांतरण आच्छादक होता है यदि \(\mathbb{R}^n\) में प्रत्येक सदिश के लिए, \(\mathbb{R}^m\) में कम से कम एक सदिश होता है जो उसमें प्रतिचित्रित होता है। आव्यूहों के संदर्भ में, \( A\) आच्छादक होता है यदि इसकी प्रतिबिम्ब सम्पूर्ण समष्टि \(\mathbb{R}^n\) को विस्तारित करता है (अर्थात, यदि \(\text{im}(A) = \mathbb{R}^n\))। 

एकैक आच्छादन: एक रैखिक रूपांतरण एकैक आच्छादन होता है यदि वह एकैक (एकैकी) और आच्छादी (आच्छादक) दोनों है।

एक एकैक आच्छादन यह दर्शाता है कि रैखिक रूपांतरण का एक प्रतिलोम है, जिसका अर्थ है कि \( A\) \(\mathbb{R}^m\) को \(\mathbb{R}^n\) में बिना सूचना खोए या दोहराए पूर्ण रूप से प्रतिचित्रित कर सकता है। 

व्याख्या:

विकल्प 1:

समुच्चय X = {1, 2, 3} लीजिए जिससे m = 3 और समुच्चय Y = {a, b, c, d} लीजिए जिससे n = 4 है।

फलन \(A: X \to\) Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिए

यह फलन एकैकी है (X में कोई भी दो अवयव Y में एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं)

परन्तु आच्छादक नहीं (अवयव d \in Y, X के किसी भी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित नहीं है)।

इस स्थिति में, m = 3 और n = 4, परन्तु m < n है। इस प्रकार, फलन एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं,

जो m > n शर्त का एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

विकल्प 2:

समुच्चय X = {1, 2, 3, 4} लीजिए (इसलिए m = 4) और समुच्चय Y = {a, b, c} लीजिए (इसलिए n = 3)।

फलन \(A: X \to\) Y को
A(1) = a, A(2) = b, A(3) = c और A(4) = c द्वारा परिभाषित कीजिए

यह फलन आच्छादक है क्योंकि Y में प्रत्येक अवयव X के किसी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित है।

हालाँकि, यह एकैकी नहीं है क्योंकि X में दो अवयव (3 और 4) Y में एक ही अवयव c में प्रतिचित्रित होते हैं।

इस स्थिति में, m = 4 और n = 3, परन्तु m > n है। इसलिए, फलन आच्छादक है परन्तु एकैकी नहीं,

जो m < n शर्त का एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

विकल्प 3:

एक रूपांतरण एकैकी आच्छादी होता है यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों है, जिसका अर्थ है कि \( \mathbb{R}^n\) के प्रत्येक अवयव का \( \mathbb{R}^m \) में एक अद्वितीय पूर्व प्रतिबिम्ब है। यह केवल तभी हो सकता है जब m = n हो, इसलिए यह एक सही कथन है।

विकल्प 4:

समुच्चय X = {1, 2, 3} लीजिए (इसलिए m = 3) और समुच्चय Y = {a, b, c, d} लीजिए (इसलिए n = 4)।

फलन \(A: X \to\) Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिए

यह फलन एकैकी (एकैकी) है क्योंकि X के कोई भी दो अवयव Y के एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं।

हालाँकि, m \(\neq\) n है, क्योंकि m = 3 और n = 4।

इस प्रकार, फलन एकैकी है परन्तु m \(\neq\) n, एक मान्य प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

इस प्रकार, सही कथन विकल्प 3) है।