Algebra of Linear Transformations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra of Linear Transformations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

कथन P: दिया गया रैखिक रूपांतरण

\(T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

T(x, y, z, u) = (3x, 2y, 0, 0) \(\forall \) (x, y, z, u) ∈ \(\mathbb{R}^{4} \)

T का कर्नेल ज्ञात करने के लिए:

मान लीजिये (x, y, z, u) ∈ ker T

तब T(x, y, z, u) = (0, 0, 0, 0)

रैखिक रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करके, हमें (3x, 2y, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) प्राप्त होता है

⇒ x = 0, y = 0, और z और u स्वेच्छ हैं

इसलिए, ker T = {(0, 0, z, u) : z, u ∈ \(\mathbb{R} \)

चूँकि कर्नेल में दो मुक्त चर, z और u हैं

⇒ T की शून्यता = 2

कोटि-शून्यता प्रमेय का उपयोग करके T का कोटि ज्ञात कीजिए:

T का कोटि = dim \(\mathbb{R}^{4} \) - T की शून्यता = 4 - 2 = 2

⇒ T का कोटि = 2

अतः T का कोटि = T की शून्यता = 2

⇒ कथन P असत्य है।

कथन Q:

मान लीजिये \( T : \mathbb{R^3} → \mathbb{R^3} \) को \(T(x, y, z,) =( 3x, 2y, 0 ) ∀ (x, y, z ) ∈ \mathbb{R^3} \) द्वारा परिभाषित किया गया है

Ker T = {(x, y, z) इस प्रकार कि T(x, y ,z) = 0}

Ker T = {(x, y, z) : (3x, 2y ,0) = 0}

Ker T = {(0, 0, z) : z ∈ \mathbb{R}}

इसलिए, Ker T ≠ {0, 0, 0}

⇒ T एकवचन है

और \( S : \mathbb{R^2} → \mathbb{R^2} \) को S(x, y)= (2x, 3y) द्वारा परिभाषित किया गया है

Ker S = {(x, y) इस प्रकार कि S(x, y) = 0}

Ker S = {(x, y) : (2x, 3y) = 0} = {(0, 0)}

⇒ S अ-एकवचन है

⇒ T एकवचन है और S अ-एकवचन है

⇒ कथन Q भी असत्य है।

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

आइए प्रत्येक प्रश्न को एक-एक करके देखें।

मान लीजिए T : \( \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) एक रैखिक रूपांतरण है जो निम्न द्वारा परिभाषित है

T(x, y) = (x, x + y, y) .

T का रैंक ज्ञात करने के लिए,

आइए T के लिए रूपांतरण आव्यूह लिखें।

चूँकि T(x, y) = (x, x + y, y) ,

हम इसे आव्यूह रूप में इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं:

T(x, y) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)

T का मैट्रिक्स है:

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

T का रैंक निर्धारित करने के लिए, हम आव्यूह A का रैंक ज्ञात करते हैं।

A को देखते हुए,

स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (कोई भी स्तंभ अन्य का रैखिक संयोजन नहीं है)।

इस प्रकार, A का रैंक 2 है।

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

चूँकि T एक रैखिक रूपांतरण है,

हम R² में किसी भी सदिश को आधार सदिशों (1, 0) और (0, 1) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

(1, 0) को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने पर:

(1, 0) = a(1, 2) + b(3, 4)

हमें ऐसे अदिश a और b इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है:

a + 3b = 1

2a + 4b = 0

इस निकाय को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a = -2

b = 1

चूँकि T रैखिक है, हमारे पास है:

T(1, 0) = T(-2(1, 2) - 1 (3, 4))

रैखिकता गुण ( \(T(c_1 v_1 + c_2v_2) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) \) )का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

T(1, 0) = -2T(1, 2) + 1 T(3, 4)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

T(1, 0) = -2(3, 2, 1) + 1 (6, 5, 4)

T(1, 0) = (-6, -4, -2) + (6, 5, 4)

T(1, 0) = (0 , 1 , 2)

इसलिए, सही उत्तर (0 , 1 , 2) है।

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

संप्रत्यय:

विमा: आधार सदिशों के पदों में सदिश समष्टि के आकार को निर्धारित करता है। \(\mathbb{R} \) की \( \mathbb{Q}\) पर अगणनीय विमा है, और \(\mathbb{Q}[x]\) की \( \mathbb{Q}\) पर गणनीय विमा है।

रैखिक रूपांतरण: सदिश समष्टियों के बीच एक फलन जो सदिश योग और अदिश गुणन को संरक्षित करता है।

एक एकैकी रूपांतरण केवल एक छोटी विमा वाली समष्टि से बड़ी या समान विमा वाली समष्टि के लिए ही संभव है।

समाकारिता: दो सदिश समष्टियाँ तुल्यकारी होती हैं यदि उनकी विमाएँ समान हों और उनके बीच एक एकैकी आच्छादी रैखिक रूपांतरण का अस्तित्व हो।

व्याख्या:

विकल्प 1:

दो सदिश समष्टियों के बीच एक \( \mathbb{Q}\)-रैखिक रूपांतरण एक ऐसा फलन है जो \( \mathbb{Q}\) पर अदिश गुणन और योग की संरचना को संरक्षित करता है। \(\mathbb{R} \), \( \mathbb{Q}\) पर एक सदिश समष्टि के रूप में, अगणनीय अनंत है, जबकि \(\mathbb{Q}[x]\)

(परिमेय गुणांकों वाले सभी बहुपदों का समष्टि) गणनीय अनंत है। चूँकि \(\mathbb{R} \) और \(\mathbb{Q}[x]\) की \( \mathbb{Q}\) पर विमाएँ भिन्न हैं, इसलिए एक अगणनीय समष्टि से एक गणनीय समष्टि में एक एकैक (एकैकी) प्रतिचित्रण नहीं हो सकता है।

विकल्प 1 असत्य है।

विकल्प 2:

\(\mathbb{Q}[x]\) परिमेय गुणांकों वाले बहुपदों का समष्टि है, जो गणनीय अनंत है। चूँकि \(\mathbb{R} \), \( \mathbb{Q}\) पर एक सदिश समष्टि के रूप में, अगणनीय अनंत है, इसलिए इसकी \(\mathbb{Q}[x]\) से बड़ी विमा है। इसलिए, \(\mathbb{Q}[x]\) से \(\mathbb{R} \) में एक एकैक (एकैकी) \( \mathbb{Q}\) -रैखिक रूपांतरण हो सकता है।

विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3:

दो सदिश समष्टियाँ तुल्यकारी होती हैं यदि उनके बीच एक एकैकी आच्छादी (एकैक और आच्छादी दोनों) रैखिक रूपांतरण का अस्तित्व हो। \(\mathbb{Q}[x]\) की \( \mathbb{Q}\) पर एक सदिश समष्टि के रूप में विमा गणनीय अनंत है,

जबकि \(\mathbb{R} \) की \( \mathbb{Q}\) पर एक सदिश समष्टि के रूप में विमा अगणनीय अनंत है। इसलिए, वे तुल्यकारी नहीं हो सकते क्योंकि उनकी विमाएँ भिन्न हैं।

विकल्प 3 असत्य है।

विकल्प 4:

यह कथन दावा करता है कि \(\mathbb{R} \) से \(\mathbb{Q}[x]\) में कोई शून्येतर रैखिक रूपांतरण मौजूद नहीं हो सकता है। हालाँकि, एक शून्येतर रैखिक रूपांतरण का अस्तित्व संभव है, लेकिन यह एकैक (जैसा कि विकल्प 1 में दिखाया गया है) नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक रूपांतरण जो प्रत्येक वास्तविक संख्या को शून्य बहुपद में प्रतिचित्रित करता है, एक शून्येतर रैखिक रूपांतरण होगा।

विकल्प 4 असत्य है।

सही विकल्प 2) है।

संप्रत्यय:

भिन्न आइगेन मान: यदि एक रैखिक संकारक के भिन्न आइगेन मान हैं, तो यह विकर्णनीय और एकैकी है, जिसका अर्थ है कि कोई भी आइगेन मान शून्य नहीं है।

व्याख्या:

रैखिक प्रतिचित्रण \(T : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) में चार भिन्न आइगेन मान हैं और यह बहुपद \(T^4 - 15T^2 + 10T + 24I = 0 \) को संतुष्ट करता है।

विकल्प 1: चूँकि T के चार भिन्न आइगेन मान हैं (प्रश्न कथन से) और एक आइगेन मान 2 है, जिसका अर्थ है कि एक आइगेन सदिश \(v_1\) इस प्रकार है कि \(Tv_1 = 2v_1 \) है। यह कथन सत्य है।

विकल्प 2: यदि T में 1 आइगेन मान नहीं है। इसलिए, इस आइगेन मान से संबंधित कोई आइगेन सदिश \( v_2\) नहीं हो सकता है, जिससे \(Tv_2 = v_2\) हो।

विकल्प 3: मान लीजिए कि v एक आइगेन मान \(\lambda \) के संगत एक आइगेन सदिश है। तब

\( T v = \lambda v \)

इस मामले में, \(3T v = 3\lambda v \)

अब, सदिशों 2v और \(3T v = 3\lambda v \) पर विचार करें। यदि ये सदिश रैखिकतः आश्रित हैं, तो अशून्य स्थिरांक \(c_1\) और \(c_2\) का अस्तित्व होना चाहिए, जैसे कि

\(c_1 (2v) + c_2 (3\lambda v) = 0\)

⇒ \((2c_1 + 3\lambda c_2) v = 0 \)

चूँकि v शून्येतर है, इसका तात्पर्य है

\(2c_1 + 3\lambda c_2 = 0\)

​अचरों के विशिष्ट मानों के लिए, यह समीकरण शून्येतर अचरों द्वारा संतुष्ट किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 2v और 3Tv रैखिकतः आश्रित हैं।

प्रति उदाहरण:

मान लीजिए ​\(\lambda = 2 \) है, जो एक आइगेन मान है (चूँकि प्रश्न से, हम जानते हैं कि T के चार भिन्न आइगेन मान हैं)।

तब, \(2c_1 + 3(2)c_2 = 0\) 4
\( 2c_1 + 6c_2 = 0 \)

यह देता है, \(c_1 = -3c_2\)।

इसलिए, विकल्प 3 आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

विकल्प 4: चूँकि T के चार भिन्न आइगेन मान हैं, यह विकर्णनीय है, और इसके सभी आइगेन मान शून्येतर हैं (यह दिया गया है कि अभिलक्षणिक बहुपद का कोई शून्य मूल नहीं है)।

इसलिए, T का कोई शून्य समष्टि नहीं है, जिसका अर्थ है कि T एकैक (एकैकी) है। इसलिए, यह कथन सत्य है।

सही उत्तर विकल्प 1) और 4) हैं।

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

व्याख्या:

दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

अब, \(\frac{\partial Q}{\partial p}\) = q(a+1), \(\frac{\partial Q}{\partial q}\) = (a+1)pqa, \(\frac{\partial P}{\partial p}\) = 0, \(\frac{\partial P}{\partial q}\) = bqb-1

\(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}\frac{\partial P}{\partial p}&\frac{\partial P}{\partial q}\\\frac{\partial Q}{\partial p}&\frac{\partial Q}{\partial q}\end{vmatrix}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}0&bq^{b-1}\\q^{a+1}&(a+1)pq^a\end{vmatrix}\) = 1

⇒ - bq^a+b = 1

केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण: दो सदिश समष्टियों के बीच एक फलन \( A\) जो सदिश योग और अदिश गुणन के संक्रियाओं को संरक्षित करता है। इस स्थिति में, \( A\) \(\mathbb{R}^m\)

(एक m-विमीय समष्टि) से \( \mathbb{R}^n\) (एक n-विमीय समष्टि) तक एक रैखिक रूपांतरण है।

एकैकी (एकैकी): एक रैखिक रूपांतरण एकैकी होता है यदि \(\mathbb{R}^m\) में भिन्न सदिश \(\mathbb{R}^n\) में भिन्न सदिशों में प्रतिचित्रित होते हैं। आव्यूहों के संदर्भ में, \( A\) एकैकी होता है यदि इसके शून्य समष्टि में केवल शून्य सदिश होता है।

आच्छादक (आच्छादक): एक रैखिक रूपांतरण आच्छादक होता है यदि \(\mathbb{R}^n\) में प्रत्येक सदिश के लिए, \(\mathbb{R}^m\) में कम से कम एक सदिश होता है जो उसमें प्रतिचित्रित होता है। आव्यूहों के संदर्भ में, \( A\) आच्छादक होता है यदि इसकी प्रतिबिम्ब सम्पूर्ण समष्टि \(\mathbb{R}^n\) को विस्तारित करता है (अर्थात, यदि \(\text{im}(A) = \mathbb{R}^n\)).

द्विगुणित: एक रैखिक रूपांतरण द्विगुणित होता है यदि वह एकैकी (एकैकी) और आच्छादक (आच्छादक) दोनों है।

एक द्विगुणित यह दर्शाता है कि रैखिक रूपांतरण का एक प्रतिलोम है, जिसका अर्थ है कि \( A\) \(\mathbb{R}^m\) को \(\mathbb{R}^n\) में पूर्ण रूप से प्रतिचित्रित कर सकता है

बिना सूचना खोए या दोहराए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

सेट X = {1, 2, 3} लीजिये जिससे m = 3 और सेट Y = {a, b, c, d} लीजिये जिससे n = 4।

फलन \(A: X \to\) Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन एकैकी है (X में कोई भी दो अवयव Y में एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं)

परन्तु आच्छादक नहीं (अवयव d \in Y, X के किसी भी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित नहीं है)।

इस स्थिति में, m = 3 और n = 4, परन्तु m < n. इस प्रकार, फलन एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं,

जो m > n शर्त का एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

विकल्प 2:

सेट X = {1, 2, 3, 4} लीजिये (इसलिए m = 4) और सेट Y = {a, b, c} लीजिये (इसलिए n = 3)।

फलन \(A: X \to\) Y को
A(1) = a, A(2) = b, A(3) = c और A(4) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन आच्छादक है क्योंकि Y में प्रत्येक अवयव X के किसी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित है।

हालांकि, यह एकैकी नहीं है क्योंकि X में दो अवयव (3 और 4) Y में एक ही अवयव c में प्रतिचित्रित होते हैं।

इस स्थिति में, m = 4 और n = 3, परन्तु m > n. इसलिए, फलन आच्छादक है परन्तु एकैकी नहीं,

जो m < n शर्त का एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

विकल्प 3:

एक रूपांतरण द्विगुणित होता है यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों है, जिसका अर्थ है कि \( \mathbb{R}^n\) के प्रत्येक अवयव का

\( \mathbb{R}^m \) में एक अद्वितीय पूर्व प्रतिबिम्ब है। यह केवल तभी हो सकता है जब m = n, इसलिए यह एक सही कथन है।

विकल्प 4:

सेट X = {1, 2, 3} लीजिये (इसलिए m = 3) और सेट Y = {a, b, c, d} लीजिये (इसलिए n = 4)।

फलन \(A: X \to\) Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन एकैकी (एकैकी) है क्योंकि X के कोई भी दो अवयव Y के एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं।

हालांकि, m \(\neq\) n, क्योंकि m = 3 और n = 4।

इस प्रकार, फलन एकैकी है परन्तु m \(\neq\) n, एक मान्य प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

इस प्रकार, सही कथन विकल्प 3) है।

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संकल्पना:

एक रैखिक परिवर्तन : रैखिक परिवर्तन T : V → W यह है कि V में किसी भी सदिश v1 और v2 और अंतर्निहित क्षेत्र के अदिश a और b के लिए यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है:

T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)

गणना:

यहाँ, रैखिक परिवर्तन T : R4 → R4, T3 + 3T2 = 4I को संतुष्ट करता है, जहाँ I सर्वसमिका परिवर्तन है

यानी T बहुपद λ3 + 3λ2 = 4 का लोप करके संतुष्ट होता है।

जो λ = 1 से संतुष्ट है

अब, S = T4 + 3T3 – 4I = T(T3 + 3T2) - 4I = 4(T - I) = 0

यानी λ = 1, | T - λI | = 0 को संतुष्ट करता है

यानी S = 0 यानी λ = 0, | S - λI | = 0 संतुष्ट करता है

या λ = 0, S के अभिलाक्षणिक मान का मूल है।

इसलिए, S गैर व्युत्क्रमणीय है।

इसलिए सही उत्तर विकल्प 4) है

अवधारणा:

(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

व्याख्या:

दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

अब, \(\frac{\partial Q}{\partial p}\) = q(a+1), \(\frac{\partial Q}{\partial q}\) = (a+1)pqa, \(\frac{\partial P}{\partial p}\) = 0, \(\frac{\partial P}{\partial q}\) = bqb-1

\(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}\frac{\partial P}{\partial p}&\frac{\partial P}{\partial q}\\\frac{\partial Q}{\partial p}&\frac{\partial Q}{\partial q}\end{vmatrix}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}0&bq^{b-1}\\q^{a+1}&(a+1)pq^a\end{vmatrix}\) = 1

⇒ - bq^a+b = 1

केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।