माना A : ℝ^m → ℝⁿ एक शून्येतर रैखिक रूपांतरण है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण: दो सदिश समष्टियों के बीच एक फलन जो सदिश योग और अदिश गुणन के संक्रियाओं को संरक्षित करता है। इस स्थिति में,

(एक m-विमीय समष्टि) से (एक n-विमीय समष्टि) तक एक रैखिक रूपांतरण है।

एकैकी (एकैकी): एक रैखिक रूपांतरण एकैकी होता है यदि में भिन्न सदिश में भिन्न सदिशों में प्रतिचित्रित होते हैं। आव्यूहों के संदर्भ में, एकैकी होता है यदि इसके शून्य समष्टि में केवल शून्य सदिश होता है।

आच्छादक (आच्छादक): एक रैखिक रूपांतरण आच्छादक होता है यदि में प्रत्येक सदिश के लिए, में कम से कम एक सदिश होता है जो उसमें प्रतिचित्रित होता है। आव्यूहों के संदर्भ में, आच्छादक होता है यदि इसकी प्रतिबिम्ब सम्पूर्ण समष्टि को विस्तारित करता है (अर्थात, यदि ).

द्विगुणित: एक रैखिक रूपांतरण द्विगुणित होता है यदि वह एकैकी (एकैकी) और आच्छादक (आच्छादक) दोनों है।

एक द्विगुणित यह दर्शाता है कि रैखिक रूपांतरण का एक प्रतिलोम है, जिसका अर्थ है कि को में पूर्ण रूप से प्रतिचित्रित कर सकता है

बिना सूचना खोए या दोहराए।

व्याख्या:

विकल्प 1:

सेट X = {1, 2, 3} लीजिये जिससे m = 3 और सेट Y = {a, b, c, d} लीजिये जिससे n = 4।

फलन Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन एकैकी है (X में कोई भी दो अवयव Y में एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं)

परन्तु आच्छादक नहीं (अवयव d \in Y, X के किसी भी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित नहीं है)।

इस स्थिति में, m = 3 और n = 4, परन्तु m

जो m > n शर्त का एक प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

विकल्प 2:

सेट X = {1, 2, 3, 4} लीजिये (इसलिए m = 4) और सेट Y = {a, b, c} लीजिये (इसलिए n = 3)।

फलन Y को
A(1) = a, A(2) = b, A(3) = c और A(4) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन आच्छादक है क्योंकि Y में प्रत्येक अवयव X के किसी अवयव द्वारा प्रतिचित्रित है।

हालांकि, यह एकैकी नहीं है क्योंकि X में दो अवयव (3 और 4) Y में एक ही अवयव c में प्रतिचित्रित होते हैं।

इस स्थिति में, m = 4 और n = 3, परन्तु m > n. इसलिए, फलन आच्छादक है परन्तु एकैकी नहीं,

जो m

विकल्प 3:

एक रूपांतरण द्विगुणित होता है यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों है, जिसका अर्थ है कि के प्रत्येक अवयव का

में एक अद्वितीय पूर्व प्रतिबिम्ब है। यह केवल तभी हो सकता है जब m = n, इसलिए यह एक सही कथन है।

विकल्प 4:

सेट X = {1, 2, 3} लीजिये (इसलिए m = 3) और सेट Y = {a, b, c, d} लीजिये (इसलिए n = 4)।

फलन Y को A(1) = a, A(2) = b और A(3) = c द्वारा परिभाषित कीजिये

यह फलन एकैकी (एकैकी) है क्योंकि X के कोई भी दो अवयव Y के एक ही अवयव में प्रतिचित्रित नहीं होते हैं।

हालांकि, m n, क्योंकि m = 3 और n = 4।

इस प्रकार, फलन एकैकी है परन्तु m n, एक मान्य प्रति उदाहरण प्रदान करता है।

इस प्रकार, सही कथन विकल्प 3) है।