एक अवमंदित स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली की प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति ω है। यदि यह प्रणाली बलात् दोलन से गुजरती है और चालन बल की कोणीय आवृत्ति ωd है तो प्राकृतिक दोलनों के समाप्त होने के बाद प्रणाली की कोणीय आवृत्ति किसके बराबर होती है?

संकल्पना:

बलात् दोलन और अनुनाद:

• जब एक प्रणाली (जैसे एक साधारण पेंडुलम या एक स्प्रिंग से जुड़ा एक ब्लॉक) को अपनी साम्यावस्था स्थिति से विस्थापित किया जाता है और छोड़ा जाता है, तो यह अपनी प्राकृतिक आवृत्ति ω के साथ दोलन करता है, और दोलनों को मुक्त दोलन कहा जाता है।
• सभी मुक्त दोलन अंततः हमेशा मौजूद अवमंदन बलों के कारण समाप्त हो जाते हैं। हालाँकि, एक बाहरी एजेंसी इन दोलनों को बनाए रख सकती है। इन्हें बलात् या चालन दोलन कहा जाता है।
• बलात् दोलन का सबसे परिचित उदाहरण है जब एक बगीचे में एक बच्चा दोलनों को बनाए रखने के लिए समय-समय पर अपने पैरों को जमीन (या कोई और समय-समय पर बच्चे को धक्का देता है) के खिलाफ दबाता है।
• मान लीजिए कि आयाम Fo का एक बाहरी बल F(t) जो समय के साथ आवधिक रूप से बदलता रहता है, एक अवमंदक दोलक पर लगाया जाता है। इस तरह के एक बल का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है,

⇒ F(t) = Fo.cos(ωdt)

जहां ωd = चालन कोणीय आवृत्ति 

• जब हम बाहरी आवर्त बल को दोलन पर लागू करते हैं, तो प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन समाप्त हो जाते हैं, और फिर निकाय बाहरी आवर्त बल की कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करता है। प्राकृतिक दोलनों के समाप्त होने के बाद किसी भी समय t पर इसका विस्थापन इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ x(t) = A.cos(ωdt + ϕ)

जहां A = आयाम और t उस आघूर्ण से मापा गया समय है जब हम आवधिक बल लागू करते हैं

• दोलनों का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ A=\frac{F_o}{[m^2(ω^2-ω_d^2)^2+ω_d^2b^2]^{1/2}}\)

a) छोटा अवमंदन (प्राकृतिक आवृत्ति से दूर चालन आवृत्ति):

• इस मामले में,ωdb \(m(ω^2-ω_d^2)\) से बहुत छोटा होगा।
• हम आयाम से ωdb पद की उपेक्षा कर सकते हैं।
• दोलनों का आयाम इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ A=\frac{F_o}{m(ω^2-ω_d^2)}\)

• दोलन का आयाम अधिकतम होता है जब ω = ωd।

b) प्राकृतिक आवृत्ति के करीब चालन आवृत्ति:

• जब ωd ω के बहुत करीब हो तो \(m(ω^2-ω_d^2)\) ωdb से काफी कम होगा।
• b के किसी भी उचित मान के लिए दोलनों का आयाम इस प्रकार दिया गया है

• ,

\(⇒ A=\frac{F_o}{ω_db}\)

• इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि किसी दी गई चालन आवृत्ति के लिए अधिकतम संभव आयाम चालन आवृत्ति और अवमंदन द्वारा नियंत्रित होता है, और कभी भी अनंत नहीं होता है।
• आयाम में वृद्धि की घटना जब चालन बल की आवृत्ति दोलक की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब होती है, अनुनाद कहलाती है।

व्याख्या:

• जब एक प्रणाली (जैसे एक साधारण पेंडुलम या एक स्प्रिंग से जुड़ा एक ब्लॉक) को अपनी साम्यावस्था स्थिति से विस्थापित किया जाता है और छोड़ा जाता है, तो यह अपनी प्राकृतिक आवृत्ति ω के साथ दोलन करता है, और दोलनों को मुक्त दोलन कहा जाता है।
• सभी मुक्त दोलन अंततः हमेशा मौजूद अवमंदन बलों के कारण समाप्त हो जाते हैं। हालाँकि, एक बाहरी एजेंसी इन दोलनों को बनाए रख सकती है। इन्हें बलात् या चालन दोलन कहा जाता है।
• जब हम बाहरी आवर्त बल को दोलन पर लागू करते हैं, तो प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन समाप्त हो जाते हैं, और फिर निकाय बाहरी आवर्त बल की कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करता है।
• अत: विकल्प 2 सही है।