एक गैस का विभाजन फलन दिया गया है:

Q(N, V, T) = \(\frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta}\right)^{3N/2}\) (v - Nb)^Ne \(\frac{\beta aN^2}{V}\)

गैस की आंतरिक ऊर्जा है

अवधारणा:

• मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण समान लेकिन अलग-अलग कणों के बीच ऊर्जा की मात्रा के वितरण से संबंधित है।
• यह विभिन्न ऊर्जाओं वाले निकाय में अवस्थाओं के वितरण की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है। एक विशेष स्थिति तथाकथित आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण नियम है।
• ऊर्जा के बोल्ट्जमैन वितरण का पालन करने वाले निकाय की आंतरिक ऊर्जा U के लिए अंतिम व्यंजक है:

U = \(\rm k_BT^2\left(\frac{\partial ln Q}{\partial T}\right)_{V} \).......(1)

व्याख्या:-

• गैस के लिए विभाजन फलन दिया गया है

Q(N, V, T) = \(\frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi m}{h^2\beta}\right)^{3N/2}\) (v - Nb)Ne \(\frac{\beta aN^2}{V}\).........(2)

• समीकरण (2) के दोनों ओर ln लेने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(lnQ(N,V,T)=ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln(\frac{1}{\beta})\)

\(+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{\beta \alpha N^2}{V}\)

या,

\(lnQ(N,V,T)=ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln({k_BT}{})\)

\(+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{ \alpha N^2}{k_BTV}\)

या, \(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\frac{\partial }{\partial T}\left [ ln\left ( \frac{1}{N!} \right )+\frac{3N}{2}ln\left ( \frac{2\pi m}{h^2} \right )+\frac{3N}{2}ln({KT}{})+ Nln\left ( V-Nb \right )+\frac{ \alpha N^2}{k_BTV} \right ]\)

या,

\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [0+0+\frac{3N}{2}\times \frac{1}{k_BT}\times k_B+ 0+\frac{ \alpha N^2}{k_BV}\frac{\partial }{\partial T} \left ( \frac{1}{T} \right )\right ]\)

या,

\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [\frac{3N}{2}\times \frac{1}{T}+\frac{ \alpha N^2}{k_BV}\left ( \frac{-1}{T^2} \right )\right ]\)

या,

\(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )=\left [ \frac{3N}{2T}-\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\right ]\)

• अब, समीकरण (1) में \(\left ( \frac{\partial lnQ}{\partial T} \right )\) का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

U = \(\rm k_BT^2\left [ \frac{3N}{2T}-\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\right ]\)

या, U = k_BT² x \(\frac{3N}{2T}\) - kBT2 x \(\frac{ \alpha N^2}{k_BVT^2}\)

या, U = \(\frac{3}{2}Nk_BT-\frac{aN^2}{V}\)

निष्कर्ष:-