समाकलन \(\int_{-\infty}^{\infty} d x 2^{-\frac{|x|}{\pi}} δ(\sin x)\) का मान, जहां δ(x) डिराक - डेल्टा फलन है, होगा

व्याख्या:

• डायराक डेल्टा फलन δ(sin x) हर जगह 0 के बराबर होता है सिवाय तब जब x = nπ, लेकिन जब किसी फलन जैसे sin(x) के मूल का लेखा-जोखा रखा जाता है, तो हमें उन मूलों पर साइन के व्युत्पन्न से भाग देना चाहिए।
• यहाँ, साइन का व्युत्पन्न (cos) -1 के बराबर होता है जब \(x = (2n-1)π\) और 1 जब \(x = 2nπ.\)
• अब, समाकलन योग बन जाता है: \(∑ 2^\frac{(-|nπ|/π)}{ |cos(nπ)|}\) सभी पूर्णांकों \(-∞ < n < ∞\) के लिए। सम पूर्णांकों के लिए n = 2m और विषम पूर्णांकों के लिए \(n = 2m - 1\) प्रतिस्थापित करना।
• योग \(2^0 + 2^{-1} + 2^{-2} + ... + 2^{-|2m|/π} + 2^{-1} + 2^{-2} + ... + 2^{-|(2m-1)|/π}\) के बराबर है।
• यह \(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^{|2m|} + 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^{|2m-1|}.\) को सरल करता है। यह दो ज्यामितीय श्रेणियों का योग है, दोनों में r = 1/2 का सामान्य अनुपात है।
• ज्यामितीय श्रेणी का योग \(S = \frac{a}{(1 - r)}\) द्वारा दिया जाता है जब |r| < 1. प्रत्येक श्रेणी का योग \(\frac{1}{(1 - \frac12)} = 2.\) है। और क्योंकि उनमें से दो हैं, योग 2 + 2 = 4 है।
• लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हम n=0 के लिए पद को दो बार गिन रहे हैं। n=0 पर योग केवल 1 (\(2^{(-|0|/π)} = 1\)) है, इसलिए हमें अपने परिणाम से इस अतिरिक्त एक को घटाना चाहिए।
• इसलिए, सही उत्तर 4 - 1 = 3 होना चाहिए।
• इसलिए, अंत में, \(∫ dx 2^{(-|x|/π)} δ(sin x) = 3.\)