समाकलन का मान, जहां δ(x) डिराक - डेल्टा फलन है, _______ होगा।

व्याख्या:

• डायराक डेल्टा फलन δ(sin x) हर जगह 0 के बराबर होता है सिवाय तब जब x = nπ, लेकिन जब किसी फलन जैसे sin(x) के मूल का लेखा-जोखा रखा जाता है, तो हमें उन मूलों पर साइन के व्युत्पन्न से भाग देना चाहिए।
• यहाँ, साइन का व्युत्पन्न (cos) -1 के बराबर होता है जब और 1 जब
• अब, समाकलन योग बन जाता है: सभी पूर्णांकों के लिए। सम पूर्णांकों के लिए n = 2m और विषम पूर्णांकों के लिए प्रतिस्थापित करना।
• योग के बराबर है।
• यह को सरल करता है। यह दो ज्यामितीय श्रेणियों का योग है, दोनों में r = 1/2 का सामान्य अनुपात है।
• ज्यामितीय श्रेणी का योग द्वारा दिया जाता है जब |r| < 1. प्रत्येक श्रेणी का योग है। और क्योंकि उनमें से दो हैं, योग 2 + 2 = 4 है।
• लेकिन यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हम n=0 के लिए पद को दो बार गिन रहे हैं। n=0 पर योग केवल 1 () है, इसलिए हमें अपने परिणाम से इस अतिरिक्त एक को घटाना चाहिए।
• इसलिए, सही उत्तर 4 - 1 = 3 होना चाहिए।
• इसलिए, अंत में,