দুই বা ততোধিক চলরাশির রৈখিক সমীকরণ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 or more Variables - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

দেওয়া হয়েছে:

দুইজন ছাত্র পরীক্ষা দিতে এসেছিল।

তাদের মধ্যে একজন অন্যজনের তুলনায় 9 নম্বর বেশি পেয়েছে।

তার নম্বর তাদের মোট নম্বরের 56%।

ব্যবহৃত ধারণা:

প্রদত্ত শর্তগুলি উপস্থাপন করতে এবং অজানাগুলির সমাধান করতে বীজগণিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করুন।

হিসাব:

যে শিক্ষার্থী কম নম্বর পেয়েছে তার নম্বর x ধরা যাক।

তাহলে, যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর হল x + 9।

তাদের নম্বরের যোগফল = x + (x + 9) = 2x + 9।

সমস্যা অনুসারে, যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর তাদের নম্বরের যোগফলের 56%।

⇒ x + 9 = 56/100 × (2x + 9)

⇒ x + 9 = 0.56(2x + 9)

⇒ x + 9 = 1.12x + 5.04

⇒ x + 9 - 1.12x = 5.04

⇒ -0.12x + 9 = 5.04

⇒ -0.12x = 5.04 - 9

⇒ -0.12x = -3.96

⇒ x = -3.96 / -0.12

⇒ x = 33

কম নম্বর পাওয়া শিক্ষার্থীর নম্বর = 33

যে শিক্ষার্থী বেশি নম্বর পেয়েছে তার নম্বর = 33 + 9 = 42

∴ শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বর হল 33 এবং 42।

প্রদত্ত:

রৈখিক সমীকরণ জোড়াটি হল:

5x - 3y = 7

7x + 4y = 18

ব্যবহৃত সূত্র:

রৈখিক সমীকরণ জোড়া a₁x + b₁y = c₁ এবং a₂x + b₂y = c₂ এর জন্য:

যদি \(\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}\) হয়, তাহলে ঠিক একটি সমাধান থাকে।

গণনা:

5x - 3y = 7 ..........(1)

7x + 4y = 18 ..........(2)

⇒ \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{5}{7}\)

⇒ \(\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-3}{4}\)

যেহেতু \(\dfrac{5}{7} \ne \dfrac{-3}{4}\), প্রদত্ত রৈখিক সমীকরণ জোড়ার ঠিক একটি সমাধান আছে।

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (1)।

প্রদত্ত:

রৈখিক সমীকরণ:

1) 2x - y + z = 8

2) x + y - z = 10

3) x + y + 2z = 12

ব্যবহৃত সূত্র:

প্রতিস্থাপন বা অপনয়ন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান।

গণনা:

z অপনয়ন করতে (1) এবং (2) যোগ করুন:

(2x - y + z) + (x + y - z) = 8 + 10

⇒ 3x = 18

⇒ x = 6

(2) এ x = 6 প্রতিস্থাপন করুন:

6 + y - z = 10

⇒ y - z = 4 ...(i)

(3) এ x = 6 প্রতিস্থাপন করুন:

6 + y + 2z = 12

⇒ y + 2z = 6 ...(ii)

(ii) থেকে (i) বিয়োগ করুন:

(y + 2z) - (y - z) = 6 - 4

⇒ 3z = 2

⇒ z = 2/3

(i) এ z = 2/3 প্রতিস্থাপন করুন:

y - 2/3 = 4

⇒ y = 4 + 2/3

⇒ y = 14/3

∴ সমাধান হল x = 6, y = 14/3, z = 2/3।

প্রদত্ত:

x + y + z = 6

2x - y + 3z = 14

-x + 2y - z = -2

গণনা:

প্রথম সমীকরণ থেকে, আমরা একটি চলককে অন্য চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি। z এর জন্য সমাধান করি:

x + y + z = 6

⇒ z = 6 - x - y

z = 6 - x - y অন্য দুটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:

দ্বিতীয় সমীকরণের জন্য:

2x - y + 3(6 - x - y) = 14

⇒ x + 4y = 4

তৃতীয় সমীকরণের জন্য:

-x + 2y - (6 - x - y) = -2

⇒ -x + 2y - 6 + x + y = -2

⇒ 3y = 4

⇒ y = 4/3

এখন y = 4/3 কে x + 4y = 4 এ বসিয়ে পাই:

x + 4(4/3) = 4

⇒ x + 16/3 = 4

⇒ x = 4 - 16/3

⇒ x = 12/3 - 16/3

⇒ x = -4/3

এখন x = -4/3 এবং y = 4/3 কে z = 6 - x - y তে বসিয়ে পাই:

z = 6 - (-4/3) - 4/3

⇒ z = 6 + 4/3 - 4/3

⇒ z = 6

সমাধান হল x = -4/3, y = 4/3, z = 6।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4।

প্রদত্ত:

13x - z থেকে 2x - 3y + 7z এবং 4z - 5x এর যোগফল বিয়োগ করতে হবে।

ব্যবহৃত সূত্র:

(13x - z) - [(2x - 3y + 7z) + (4z - 5x)]

গণনা:

(13x - z) - [(2x - 3y + 7z + 4z - 5x)]

⇒ (13x - z) - [2x + 4z - 5x - 3y + 7z]

⇒ (13x - z) - [-3x - 3y + 11z]

⇒ 13x - z + 3x + 3y - 11z

⇒ 16x + 3y - 12z

∴ সঠিক উত্তরটি বিকল্প 4

ধরি, আমার বর্তমান বয়স = x বছর এবং আমার তুতোবোনের বয়স = y বছর

আমার বর্তমান বয়সের তিন-পঞ্চমাংশ আমার এক তুতোবোনের বয়সের পাঁচ-ষষ্ঠাংশের সমান,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

দশ বছর আগের আমার বয়স চার বছর পরে তার বয়সের সমান হবে।

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 বছর

প্রদত্ত  

2টি মিক্সার + 1টি টিভি = 700 টাকা 

2টি টিভি + 1 মিক্সার = 980 টাকা 

ধারণা:

এই প্রশ্নটি সমীকরণের একটি পদ্ধতি প্রয়োগ করার মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

সমাধান:

2M + T = 700

2T + M = 980

উভয় সমীকরণকে যুক্ত করার পর:

2T + M + (2M + T) = 980 + 700 ⇒ T + M = 1680/3 = 560

2T + M = 980

T + T + M = 980

T + 560 = 980

T = 420

অতএব, একটি টিভির মূল্য হল 420 টাকা ।

প্রদত্ত:

(x + y) : (y + z) : (z + x) = 11 : 13 : 16, এবং x + y + z = 200

গণনা:

(x + y) = 11x এর মান

(y + z) = 13x এর মান

(z + x) = 16x এর মান

তিনটি সমীকরণ যোগ করুন।

⇒ x + y + y + z + z + x = 40x

⇒ 2(x + y + z) = 40x

⇒ (x + y + z) = 20x

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ 20x = 200

⇒ x = 10

এখন,

(x + y) = 11 × 10 = 110 এর মান

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ (x + y + z) - (x + y) = 200 - 110

⇒ z = 90

∴ 'z' চলরাশির মান 90

মনেকরি, প্রতিটি আইসক্রিম, বার্গার এবং নরম পানীয়ের মূল্য যথাক্রমে x, y এবং z টাকা 

3x + 2y + 4z = 128 ---- (i)

2x + y + 2z = 74 ---- (ii)

3 × (ii) এবং 2 × (i) গুণ করে, আমরা পাই

6x + 3y + 6z = 222 ----(iii)

6x + 4y + 8z = 256 ----(iv)

সমীকরণ (iv) থেকে সমীকরণ (iii) বিয়োগ করে পাই,

y + 2z = 34

উপরের সমীকরণটিকে 5 দ্বারা গুণ করে

আমরা পাই,

5 (y + 2z) = 5 × 34

5y + 10z = 170

⇒ সমীকরণের ঢাল সমান হলে তাদের কোনও সমাধান থাকে না

⇒ 1ম সমীকরণের ঢাল = - 14/8 = - 7/4

⇒ 2য় সমীকরণের ঢাল = 21/k

⇒ ফলে, 21/k = - 7/4

দুটি সমীকরণের সমাধান না থাকলে সমীকরণের সমান্তরাল পদ্ধতি ব্যবহার করতে  হয়,

অতএব,

⇒ 6/15 = -5/k

⇒ k = -25/2

⇒ k = -12.5

প্রদত্ত:

3 টি সমীকরণ, a(a + b + c) = 126, b(a + b + c) = 147 এবং c (a + b + c) = 168

গণনা:

সবগুলি যোগ করে, আমরা পাই (a + b + c) (a + b + c) = 126 + 147 + 168 

⇒ (a + b + c) ² = 441

⇒ (a + b + c) = 21

গণনা:

x + 1/y = 3      ----(1) 

y + 1/z = 2      ----(2) 

z + 1/x = 4      ----(3)

সমীকরণটিকে যোগ করুন। (1), (2) এবং (3)

⇒ x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z = 9      ----(4)

এখন সমীকরণটিকে গুণ করুন। (1), (2) এবং (3)

⇒ (x + 1/y) × (y + 1/z) × (z + 1/x) = 3 × 2 × 4

⇒ (xy + x/z + 1 + 1/zy)(z + 1/x) = 24

⇒ (xyz + y + x + 1/z + z + 1/x + 1/y + 1/xyz) = 24

⇒ [xyz + (1/xyz) + x + y + z + 1/x + 1/y + 1/z] = 24

⇒ xyz + 1/xyz + 9 = 24 

⇒ xyz + 1/xyz = 24 – 9 = 15

∴ উত্তর হল 15

ধরা যাক সংখ্যাগুলি হ'ল x এবং y 

প্রদত্ত তথ্য থেকে, আমরা পাই

⇒ 2 (x - y) = x + y

প্রদত্ত একটি সংখ্যা  x = 15

⇒ 2 (15 - y) = 15 + y

⇒ 30 - 2y = 15 + y

⇒ 15 = 3y

প্রদত্ত:

kx + 3y - (k - 3) = 0

12x + ky - k = 0

ব্যবহৃত সূত্র:

রৈখিক সমীকরণ জোড়ার অসীম সংখ্যক সমাধান থাকার জন্য:

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\)

গণনা:

kx + 3y - (k - 3) = 0 এবং 12x + ky - k = 0 সমীকরণের জন্য:

\(\dfrac{k}{12} = \dfrac{3}{k} = \dfrac{k-3}{k}\)

প্রথমে, \(\dfrac{k}{12} = \dfrac{3}{k} \) সমাধান করুন

⇒ k² = 36

⇒ k = 6 (যেহেতু k > 0)

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।