ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Trigonometric Ratios and Identities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

সূত্র ব্যবহৃত:

sec θ = 1/cos θ

tan θ = sin θ/cos θ

cot θ = cos θ/sin θ

cosec θ = 1/sin θ

sin² θ + cos² θ = 1

প্রদত্ত:

\(\rm \frac{(\sec θ+\tan θ)(1-\sin θ)}{\cot θ(1+\tan θ+\sec θ)(1+\cot θ-cosec θ)}\)

⇒ \(\rm \frac{(\frac{1}{\cos θ}+\frac{\sin θ}{\cos θ})(1-\sin θ)}{\frac{\cos θ}{\sin θ}(1+\frac{\sin θ}{\cos θ}+\frac{1}{\cos θ})(1+\frac{\cos θ}{\sin θ}-\frac{1}{\sin θ})}\)

⇒ \(\rm \frac{(\frac{1+\sin θ}{\cos θ})(1-\sin θ)}{\frac{\cos θ}{\sin θ}(\frac{\cos θ+\sin θ+1}{\cos θ})(\frac{\sin θ+\cos θ-1}{\sin θ})}\)

⇒ \(\rm \frac{1-\sin^2 θ}{\cos θ} \times \frac{1}{(\frac{\cos θ+\sin θ+1}{\sin θ})(\frac{\sin θ+\cos θ-1}{\sin θ})}\)

⇒ \(\rm \frac{\cos^2 θ}{\cos θ} \times \frac{\sin^2 θ}{(\cos θ+\sin θ)^2-1}\)

⇒ \(\rm \cos θ \times \frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ+2\sin θ\cos θ+\sin^2 θ-1}\)

⇒ \(\rm \cos θ \times \frac{\sin^2 θ}{2\sin θ\cos θ}\) = \(\rm \frac{\sin θ}{2}\)

∴ রাশিটির মান হল 1/2sin θ.

প্রদত্ত:

\(\rm \frac{1}{cosec^2\theta-cot^2\theta} + \frac{1}{sec^2 - tan^2\theta}\) = 2sinθ

অনুসৃত সূত্র:

\(cosec^2\theta - \cot^2\theta = 1\)

\(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\)

গণনা:

\(\dfrac{1}{cosec^2\theta - \cot^2\theta} + \dfrac{1}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} = 2\sin\theta\)

⇒ \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\sin\theta\)

⇒ 1 + 1 = \(2\sin\theta\)

⇒ \(2 = 2\sin\theta\)

⇒ \(\sin\theta = 1\)

⇒ \(\theta = 90^\circ\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (4)

প্রদত্ত:

\(\frac{\secθ - \tanθ}{\secθ + \tanθ} = \frac{1}{9}\)

θ প্রথম পাদে অবস্থিত।

ব্যবহৃত সূত্র:

sec θ = 1/cos θ

tan θ = sin θ/cos θ

1 - sin²θ = cos²θ

গণনা:

\(\frac{\secθ - \tanθ}{\secθ + \tanθ} = \frac{1}{9}\)

⇒ \(\frac{\frac{1}{\cosθ} - \frac{\sinθ}{\cosθ}}{\frac{1}{\cosθ} + \frac{\sinθ}{\cosθ}} = \frac{1}{9}\)

⇒ \(\frac{1 - \sinθ}{1 + \sinθ} = \frac{1}{9}\)

⇒ 9 - 9sinθ = 1 + sinθ

⇒ 8 = 10sinθ

⇒ sinθ = 8/10 = 4/5

⇒ cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = 9/25

⇒ cosθ = 3/5 (যেহেতু θ প্রথম পাদে আছে)

⇒ tanθ = sinθ/cosθ = (4/5)/(3/5) = 4/3

⇒ tan²θ = (4/3)² = 16/9

⇒ \(\frac{\sinθ - \tan^2θ}{\sinθ + \tan^2θ} = \frac{\frac{4}{5} - \frac{16}{9}}{\frac{4}{5} + \frac{16}{9}}\)

⇒ \(\frac{\frac{36 - 80}{45}}{\frac{36 + 80}{45}}\)

⇒ \(\frac{-44}{116}\) = -11/29

∴ \(\frac{\sinθ - \tan^2θ}{\sinθ + \tan^2θ}\) এর মান হল -11/29.

প্রদত্ত:

\(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\) এর মান

অনুসৃত সূত্র:

\(\cot A = \dfrac{1}{\tan A}\)

গণনা:

প্রদত্ত রাশি: \(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(1+\cot^2A)}{25(1+\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(cosec^2A)}{25(\sec^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{2(\dfrac{1}{\sin^2A})}{(\dfrac{1}{\cos^2A})}\)

⇒ \(\dfrac{2\cos^2A}{\sin^2A}\)

⇒ 2 cot2 A

∴ সঠিক উত্তর হলো বিকল্প (1).

প্রদত্ত:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
 

অনুসৃত ধারণা:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

গণনা:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ নির্ণেয় উত্তর -2 

Shortcut Trick 

এই প্রশ্নটি সমাধান করতে মান নির্ণয় পদ্ধতি ব্যবহার করুন, 

Use θ = 45° 

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ প্রশ্নের সঠিক উত্তর হল -2 

প্রদত্ত:

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

অনুসৃত সূত্র:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (90 - a) = cos a

গণনা:

⇒ sin[90 - (36 - A)]sin[90 - (36 + A)] + cos (54° - A) cos (54° + A)

⇒ sin(54^º + A)sin(54^º - A) + cos (54° - A)cos (54° + A)

⇒ cos(A - B) ব্যবহার করে,

⇒ cos(54 + A - 54 + A) = cos(2A)

সুতরাং, cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) এর মান হল cos(2A) 

প্রদত্ত:

tanθ + cotθ = √3

অনুসৃত সূত্র:

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

গণনা:

tanθ + cotθ = √3

উভয়দিকে ঘন নিলে, আমরা পাই যে,

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

উভয়দিকে বর্গ নেওয়া হলে,

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ -এর মান হল - 2

প্রদত্ত:

sec θ + tan θ = 5

অনুসৃত ধারণা:

যদি sec θ + tan θ = y হয়,

তাহলে sec θ - tan θ = 1/y

গণনা:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

তাহলে,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

সমীকরণ (1) এবং (2) কে বিয়োগ করার পর

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ সঠিক উত্তর হল 12/5

যেমন,

⇒ sec2θ = 1 + tan2θ

প্রদত্ত,

⇒ (sec2θ)2 – sec2θ = 3

⇒ (1 + tan2θ)2 – (1 + tan2θ) = 3

⇒ (1 + tan4θ + 2tan2θ) – (1 + tan2θ) = 3

⇒ 1 + tan4θ + 2tan2θ – 1 – tan2θ = 3

⇒ tan4θ + tan2θ = 3

প্রদত্ত:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

অনুসৃত ধারণা:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

গণনা:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ প্রয়োজনীয় উত্তর হল cos (2A + 2B) 

অনুসৃত সূত্র:

1/Cosec Ø = Sin Ø 

Sin2Ø + Cos2Ø = 1

গণনা:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x2 = 324

∴ x2 -এর মান 324

প্রদত্ত:

secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x

অনুসৃত ধারণা:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\) ----( \(sec²\theta-1=tan^2\theta\) )

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x এর মান হল \(tan²\theta\) 

গণনা:

cot4θ + cot2θ = 3

⇒ cos4θ/sin4θ + cos 2θ/sin 2θ = 3

⇒ cos 2θ(cos 2θ+ sin 2θ )/sin4θ = 3 (ল.সা.গু ধরে)

⇒ cos 2θ/sin4θ = 3

⇒ cot2θ . cosec2θ = 3

এখন,

cosec4θ – cosec2θ

⇒ cosec2θ(cosec2θ – 1)

⇒ cosec2θcot2θ = 3

∴ cosec4θ – cosec2θ = 3