Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

(पहली प्राकृतिक संख्या - दूसरी प्राकृतिक संख्या)3 = 1728

पहली प्राकृतिक संख्या × दूसरी प्राकृतिक संख्या = 108

प्रयुक्त सूत्र:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

गणना:

माना पहली प्राकृतिक संख्या = A

दूसरी प्राकृतिक संख्या = B

(A - B)3 = 1728

⇒ (A - B) = 3√1728 = 12

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 

⇒ (A - B)2 = 144

⇒ A2 + B2 - 2AB = 144

⇒ A2 + B2 = 144 + 216 = 360

अब,

(A + B) = √(A2 + B2 + 2AB)

⇒ √(360 + 216) = √576 = 24

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

⇒ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB × (A + B)

⇒ (24)3 - 3 × 108 × 24

⇒ 13824 - 7776

⇒ 6048 

∴ सही उत्तर 6048 है।

दी गई जानकारी:

a + b + c = 0

प्रयुक्त सूत्र:

a3+ b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)( a2+ b2+c2 −ab−bc–ca)

गणना:

सूत्र के अनुसार,

a3+ b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 − ab − bc – ca)

लेकिन, (a + b + c) = 0

⇒ a3+ b3 + c3 – 3abc = 0

⇒ a3+ b3 + c3 = 3abc 

∴ a³ + b³ + c³ का मान 3abc है।

a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

8x3 + 27y3

⇒ (2x)3 + (3y)3

⇒ (2x + 3y)3 - 3 × 2x × 3y (2x + 3y)

⇒ (2x + 3y)3 - 18xy (2x + 3y)

⇒ 163 - 18 × 9 × 16

⇒ 4096 - 2592

⇒ 1504

दिया गया है:

X + Y = 23

XY = 126

प्रयुक्त सूत्र:

(X + Y)² = X² + Y² + 2XY

गणना:

23² = X² + Y² + 2 x 126

⇒ 529 = X² + Y² + 252

⇒ X² + Y² = 529 - 252

⇒ X² + Y² = 277

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

\(\frac{(232)^3+(140)^3+(353)^3-3\times232\times140\times353}{(232)^2+(140)^2+(353)^2-232\times140-140\times353-353\times232}\)

प्रयुक्त सूत्र:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

गणना:

\(\frac{(232)^3+(140)^3+(353)^3-3\times232\times140\times353}{(232)^2+(140)^2+(353)^2-232\times140-140\times353-353\times232}\)

सूत्र का उपयोग करते हुए:

a = 232, b = 140, c = 353

अंश: (232)3 + (140)3 + (353)3 - 3×232×140×353

हर: (232)2 + (140)2 + (353)2 - 232×140 - 140×353 - 353×232

सूत्र का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

अंश: (232 + 140 + 353)( (232)2 + (140)2 + (353)2 - 232×140 - 140×353 - 353×232)

⇒ (232 + 140 + 353) = 725

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

x - (1/x) = (- 6)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - (1/x) = P है, तो

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

यदि x + (1/x) = P है, तो

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

इसलिए, x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

और x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

अब,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ सही उत्तर - 8886 है।  

दिया गया है:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

प्रयुक्त सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तब

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ सही उत्तर 15127 है। 

दिया गया है:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

प्रयुक्त सूत्र:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

अब,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ सही उत्तर 104 है।

दिया गया है:

x2 + (1/x2) = 7

प्रयुक्त सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तब x + (1/x) = √(P + 2)

और x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = -√(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5  {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ सही उत्तर - 3√5 है।

Mistake Point

कृपया ध्यान दीजिए कि

0 < x < 1

इसलिए,

1/x > 1

इसलिए,

x + 1/x > 1

और

x - 1/x < 0 (क्योंकि 0 < x < 1 और 1/x > 1 इसलिए x - 1/x < 0)

इसलिए,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0

प्रयुक्त सूत्र

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

गणना

व्यंजक को 4/7 से गुणा करने पर 

⇒  4/7 × (7b - 1/4b) = 7 × 4/7

⇒  4b - 1/7b = 4

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

⇒ (4b - 1/7b)2 = 42

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\)- 2 × 4 × 1/7 = 16

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 16 + 8/7

⇒ \(16 b^2+\frac{1}{49 b^2}\) = 120/7

मान 120/7 है।

दिया गया है:

x - (1/x) = √6

प्रयुक्त सूत्र:

x⁸ - (1/x⁸) = {x⁴ + (1/x⁴)} × {x² + (1/x²)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

यदि x - (1/x) = a है, तब x + (1/x) = √(a2 + 4)

गणना:

x - (1/x) = √6

x² + (1/x²) = (√6)² + 2 = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

x⁴ + (1/x⁴) = (8)² - 2 = 62

यदि x - (1/x) = a है, तब x + (1/x) = √{(√a)2 + 4}, इस सूत्र का उपयोग करने पर,

x + (1/x) = √{(√6)² + 4} = √10

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x8 - (1/x8) = {x4 + (1/x4)} × {x2 + (1/x2)} × {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 62 × 8 × √10 × √6 = 496 × 2 × √15 = 992√15

∴ सही उत्तर 992√15 है।

दिया गया है: 

(a + b + c) = 12, (a2 + b2 + c2) = 50

प्रयुक्त सूत्र: 

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc +ac)

(a3 + b3 + c3 - 3abc) = (a² + b² + c² - ab - bc - ca)(a + b + c)

गणना: 

⇒ 144 = 50 + 2(ab + bc +ac)

⇒ (ab + bc +ac) = 94/2 = 47

अब,

⇒ (a3 + b3 + c3 - 3abc) = (50 - 47)(12)

⇒ (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)(a + b + c) = (50 - 47)(12)

⇒ 3 × 12 = 36

∴ सही उत्तर 36 है।

गणना

माना A के पास टॉफी की संख्या x और B के पास टॉफी की संख्या y है।

यदि A, B को एक टॉफी देता है, तो:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2 .........(1)

अब जब B, A को एक टॉफी देता है, तो  A के पास B से दोगुनी टॉफियाँ हो जाती हैं:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1) ......(2)

समीकरण (1) का मान समीकरण (2) में रखने पर

⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

यदि y = 5 तब x = 7

⇒ x + y = 12

A और B के पास टॉफियों की कुल संख्या 12 है।

माना संख्याएँ X और Y हैं

दिया गया:

(X + Y)2 = 784 और XY = 192

गणना:

(X + Y)2 = 784 ⇒ (X + Y) = 28

⇒  X2 + Y2 + 2XY = 784

⇒ X2 + Y2 + 2 × 192 = 784

⇒ X2 + Y2 = 400

इसलिए,

⇒ X2 + Y2 - 2XY = 400 - 2 × 192

⇒  X2 + Y2 - 2XY = 16

⇒ (X - Y)2 = 16

⇒ X - Y = 4

अब,

X2 - Y2 = (X + Y)(X - Y)

⇒ 28 × 4 = 112

∴ सही विकल्प 4 है