Analytic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analytic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

f(z) = (z4 - 2z2) cos(z2) जहाँ z ∈ ℂ

(z4 - 2z2) z का एक बहुपदीय फलन है और इसलिए सर्वत्र है।

cos(z2) भी सर्वत्र है।

इसलिए f(z) सर्वत्र है।

इसलिए, f(z) के वास्तविक और काल्पनिक भाग सर्वत्र हैं।

इसलिए u और v दोनों सर्वत्र हैं और इसलिए अवकलनीय हैं।

विकल्प (1) सत्य है, (2) असत्य है।

(z4 - 2z2) अपरिबद्ध है इसलिए, f(z) अपरिबद्ध है।

(3) सत्य है।

चूँकि f(z) विश्लेषणात्मक है।

∴ f को एक पूर्णतः अभिसारी घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n\) द्वारा सभी z ∈ ℂ के लिए निरूपित किया जा सकता है

विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय के अनुसार, सम्मिश्र समतल के किसी संहत उपसमुच्चय पर कोई भी सतत फलन जिसमें कोई विलक्षणता नहीं होती है, बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट किया जा सकता है।

रूंजे प्रमेय इसे और आगे बढ़ाता है, यह बताते हुए कि यदि f(z) एक बंद समुच्चय K युक्त क्षेत्र में विश्लेषणात्मक है,

तो f को K पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट किया जा सकता है।

व्याख्या:

इकाई वृत्त S¹ पर सन्निकटन के लिए, फलन S¹ के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक होना चाहिए, क्योंकि

S¹ पर या उसके अंदर किसी भी विचित्रता की उपस्थिति एकसमान बहुपद सन्निकटन को रोक देगी।

\(f(z) = \overline{z} : \)

यह फलन \(\overline{z}\) (z का सम्मिश्र संयुग्मी) S¹ (या ℂ में कहीं भी, वास्तविक मान वाले फलनों को छोड़कर) पर विश्लेषणात्मक नहीं है।

संयुग्मन एक प्रति-विश्लेषणात्मक संक्रिया है, जिसका अर्थ है कि यह सम्मिश्र अर्थ में बहुपद सन्निकटन के लिए आवश्यक गुणों को संरक्षित नहीं करता है।

इसलिए, \(f(z) = \overline{z} : \) को S¹ पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट नहीं किया जा सकता है।

\( f(z) = \operatorname{Re}(z) :\)

\(\operatorname{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}\) भी विश्लेषणात्मक नहीं है क्योंकि यह {z} पर निर्भर करता है।

चूँकि,.इसे केवल z में विश्लेषणात्मक फलन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे S¹ पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट नहीं किया जा सकता है।

\(f(z) = e^z :\)

घातीय फलन \(e^z\) संपूर्ण है, जिसका अर्थ है कि यह \(\mathbb{C}\) में हर जगह विश्लेषणात्मक है।

चूँकि यह S¹ पर और उसके अंदर विश्लेषणात्मक है, यह इकाई डिस्क के अंदर बहुपदों द्वारा सन्निकटन के लिए शर्तों को पूरा करता है, जिससे e^z को S¹ पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट करना संभव हो जाता है।

इसलिए, f(z) =ez को S¹ पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट किया जा सकता है।

\(f(z) = |z + 1|^2 :\)

यह फलन z + 1 के वर्ग माड्यूल को निरूपित करता है, जो z और \(\overline{z} \) दोनों पर निर्भर करता है (यह \(|z + 1|^2 = (z + 1)(\overline{z} + 1) = z\overline{z} + z + \overline{z} + 1\) में विस्तारित होता है)।

चूँकि इसमें \(\overline{z} \) शामिल है, यह विश्लेषणात्मक नहीं है और इसे केवल z में बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, \(f(z) = |z + 1|^2\) को S¹ पर बहुपदों द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट नहीं किया जा सकता है।

केवल वह फलन जिसे S¹ पर बहुपदों के एक क्रम द्वारा एकसमान रूप से सन्निकट किया जा सकता है, वह है

\(f(z) = e^z\)

अतः विकल्प 3) सही है।

संप्रत्यय:

ल्यूवेल प्रमेय और सर्वत्र फलनों के गुण

ल्यूवेल प्रमेय कहता है कि एक परिबद्ध सर्वत्र फलन स्थिरांक होना चाहिए।

यदि एक सर्वत्र फलन एक समुच्चय पर अनंत मान लेता है, तो यह या तो स्थिरांक होना चाहिए या सम्मिश्र समतल पर अनंत बार मान लेना चाहिए।

यह शर्त कि सभी k के लिए एक अनंत समुच्चय \(X_k\) पर \( f(z) = \frac{1}{k}\) है, यह सुझाव देता है कि f स्थिरांक नहीं हो सकता है जब तक कि यह हर जगह किसी \(\frac{1}{k}\) के बराबर न हो।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह कथन सुझाव देता है कि f के अनंत शून्य हैं, जिसका अर्थ है कि f शून्य फलन हो सकता है

यदि यह f(z) = 0 को एक अनंत समुच्चय पर संतुष्ट करता है। हालाँकि, समस्या इस तरह के शून्य समुच्चय की गारंटी नहीं देती है; इसके बजाय,

यह बताता है कि प्रत्येक k के लिए कुछ अनंत समुच्चयों पर \(f(z) = \frac{1}{k}\) है, आवश्यक नहीं कि f(z) = 0 के लिए।

इस प्रकार, विकल्प 1 असत्य है।

विकल्प 2: विकल्प 1 के समान, यह कथन सुझाव देता है कि f किसी संवृत समुच्चय पर शून्य है। हालाँकि, कोई भी जानकारी यह सुझाव नहीं देती है कि f(z) = 0 किसी ऐसे संवृत समुच्चय पर है, और दी गई शर्त \(f(z) = \frac{1}{k}\) पर केंद्रित है, 0 पर नहीं।

इस प्रकार, विकल्प 2 असत्य है।

विकल्प 3: यदि समुच्चय \(X_k\) परिबद्ध था, तो f, एक सर्वत्र फलन होने के नाते, लेने की आवश्यकता होगी।  एक परिबद्ध समुच्चय पर अनंत बार \(\frac{1}{k}\) मान लेने की आवश्यकता होगी , जिसका अर्थ हो सकता है कि f अचर है। हालाँकि, चूँकि f अचर नहीं है। 

(यह k के विभिन्न मानों के लिए \(\frac{1}{k}\) मान लेता है), समुच्चय \(X_k\) अपरिबद्ध होना चाहिए।

इस प्रकार, विकल्प 3 सत्य है।

विकल्प 4: यदि एक परिबद्ध अनुक्रम \(\{z_k\}_{k \geq 1}\) का अस्तित्व है जिसके लिए \(z_k \in X_k\) है, तो f का एक शून्य है

यदि एक परिबद्ध अनुक्रम \(\{z_k\}\) है, और चूँकि f प्रत्येक k के लिए \(X_k\) पर \(\frac{1}{k}\) मान लेता है, मानों का अनुक्रम

\(f(z_k) \to 0\) चूँकि \(k \to \infty\) है। सर्वत्र फलनों के लिए तत्समक प्रमेय (या f की सांतत्य) द्वारा, यदि फलन

इस तरह के अनुक्रम पर शून्य के निकट पहुँचता है, तो इसका एक शून्य होना चाहिए।

इस प्रकार, विकल्प 4 सत्य है।

इसलिए, सही विकल्प 3) और 4) हैं।

स्पष्टीकरण:

(1) यदि f ऐकैकी है तो f ∶ U → f(U) इस प्रकार आच्छादक है कि g ∶ f(U) → U एक वैश्लेषिक फलन है।

⇒ g सतत है और U विवृत है इसलिए U का व्युत्क्रम प्रतिबिंब विवृत होना चाहिए।

⇒ f(U) विवृत है।

अतः विकल्प (4) गलत है और विकल्प (1) सही है।

(2) f(z) = sin z, U = {z ∶ 0 < Im z < 4π}

(3) f और U को (b) के रूप में लेने पर, तब  \(\rm f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{5\pi}{2}\right)\)   

सही उत्तर विकल्प (1) है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = (z4 + 10) sin z3 for z ∈ ℂ है। माना f(z) = u(x, y) + iv (x, y),

     = ((x + iy)4 + 10) sin (x + iy)3 

    = ((x2 - y² + 2ixy)(x2 - y2 + 2ixy) + 10) sin(x3 + 3x2yi - 3xy2 - iy3 )

   = (x⁴ + y⁴ + 4ix³y - 4ixy³ - 6x²y² + 10)(sin(x3 + 3x2yi - 3xy2 - iy3 ))

व्यंजक को हल करने के बाद, वास्तविक और काल्पनिक भागों को पृथक करने पर हमें प्राप्त होता है

u बहुपद और त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल है इसलिए u अपरिमित रूप से अवकलनीय है और u परिबद्ध नहीं हो सकता है

अतः विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और विकल्प (3) असत्य हैं

चूँकि u और v वैश्लेषिक हैं इसलिए f(z) वैश्लेषिक है।

अतः विकल्प (4) सही नहीं है

व्याख्या:

f एक पूर्ण फलन हो जो |f(z)| ≤ ey को सभी z = x + iy ∈ ℂ के लिए संतुष्ट करता है

(1): f(z) = ce−iz

इसलिए |f(z)| = |ce−iz| = |ce^{-i(x + iy)}| = |ce-ix ey| ≤ |c|ey ≤ ey कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (1) सही है।

(2): f(z) = ceiz

इसलिए |f(z)| = |ceiz| = |cei(x + iy)| = |ceix e-y| ≤ e-y कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (2) गलत है।

(3): f(z) = e−ciz

इसलिए |f(z)| = |e−ciz | = |e-ci(x + iy)| = |e-cix ecy| ≤ ecy ≤ ey केवल c = 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (3) गलत है।

(4): f(z) = eciz

इसलिए |f(z)| = |eciz | = |eci(x + iy)| = |ecix e-cy| ≤ e-cy ≤ ey केवल c = - 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (4) गलत है।

संकल्पना:

एक सम्मिश्र फलन f(z) अवकलनीय है, तब \(\frac{\partial f}{\partial \bar z}\) = 0

स्पष्टीकरण:

f(z) = |z|2, z ∈ ℂ

इसलिए f(z) = x² + y²

तब f(z) सर्वत्र सतत है

अब, f(z) = |z|2 = \(z\bar z\)

इसलिए, \(\frac{\partial f}{\partial \bar z}\) = z 

इसलिए केवल z = 0 पर \(\frac{\partial f}{\partial \bar z}\) = 0

अर्थात, f(z) केवल मूल बिंदु पर अवकलनीय है

अतः, f(z) सर्वत्र सतत है लेकिन मूल बिंदु को छोड़कर कहीं भी अवकलनीय नहीं है।

(3) सही है

स्पष्टीकरण:

f(z) = (z4 + 10) sin z3 for z ∈ ℂ है। माना f(z) = u(x, y) + iv (x, y),

     = ((x + iy)4 + 10) sin (x + iy)3 

    = ((x2 - y² + 2ixy)(x2 - y2 + 2ixy) + 10) sin(x3 + 3x2yi - 3xy2 - iy3 )

   = (x⁴ + y⁴ + 4ix³y - 4ixy³ - 6x²y² + 10)(sin(x3 + 3x2yi - 3xy2 - iy3 ))

व्यंजक को हल करने के बाद, वास्तविक और काल्पनिक भागों को पृथक करने पर हमें प्राप्त होता है

u बहुपद और त्रिकोणमितीय फलनों का गुणनफल है इसलिए u अपरिमित रूप से अवकलनीय है और u परिबद्ध नहीं हो सकता है

अतः विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और विकल्प (3) असत्य हैं

चूँकि u और v वैश्लेषिक हैं इसलिए f(z) वैश्लेषिक है।

अतः विकल्प (4) सही नहीं है

दिया गया ​है :- \(w=u(x,y)+iv(x,y)\), \(z=x+iy\) का एक विश्लेषिक फलन है।

प्रयुक्त संकल्पना :- यदि w एक विश्लेषिक फलन है, तो \(\dfrac{dw}{d\overline{z} }=0 \)

हल:- जैसा कि हम जानते हैं

\(\dfrac{\partial w}{\partial z}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial w}{\partial x}-i\dfrac{\partial w}{\partial y})\) और \(\dfrac{\partial w}{\partial \bar{z}}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial w}{\partial x}+i\dfrac{\partial w}{\partial y})\)

दोनों समीकरणों को घटाने पर और  \(\dfrac{dw}{d\overline{z} }=0\) रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

\(\dfrac{dw}{dz}=-i\dfrac{\partial w}{\partial y}\)

अवधारणा:

(i) एक जटिल फलन f(z) पूर्ण फलन होता है, यदि यह पूरे जटिल समतल में विश्लेषणात्मक होता है।

(ii) यदि एक जटिल फलन f(z) = u + iv पूर्ण है, तो यह C-R समीकरण को संतुष्ट करता है अर्थात, u_x = v_y, u_y = - v_x

व्याख्या:

f : ℂ → ℂ एक वास्तविक-अवकलनीय फलन है।

u, v : ℝ2 → ℝ को u(x, y) = Re f(x + i y) और v(x, y) = Im f(x + iy), x, y ∈ ℝ द्वारा परिभाषित कीजिए।

इसके अलावा, ∇u = (ux, uy)

(1): तब "c1, c2 ∈ ℂ के लिए, स्तरीय वक्र u = c1 और v = c2 जहाँ भी प्रतिच्छेद करते हैं, लंबकोणीय होते हैं।" यह कथन केवल तभी संतुष्ट होगा जब f(z) एक विश्लेषणात्मक फलन हो।

अतः (1) असत्य है। 

(3): f(z) एक पूर्ण फलन है इसलिए ux = vy, uy = - vx

तब प्रत्येक बिंदु पर ∇u . ∇v = (ux, uy) . (vx, vy) = uxvx + uyvy = uxvx - vxux = 0 

अतः (3) सत्य है और (2) असत्य है। 

(4): ∇u . ∇v = 0

⇒ (ux, uy) . (vx, vy) = 0

⇒ uxvx + uyvy = 0

⇒ uxvx = - uyvy

जो ux = vy, uy = - vx का अर्थ नहीं है। 

f एक पूर्ण फलन नहीं है।

अतः (4) असत्य है। 

व्याख्या:

f एक पूर्ण फलन हो जो |f(z)| ≤ ey को सभी z = x + iy ∈ ℂ के लिए संतुष्ट करता है

(1): f(z) = ce−iz

इसलिए |f(z)| = |ce−iz| = |ce^{-i(x + iy)}| = |ce-ix ey| ≤ |c|ey ≤ ey कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (1) सही है।

(2): f(z) = ceiz

इसलिए |f(z)| = |ceiz| = |cei(x + iy)| = |ceix e-y| ≤ e-y कुछ c ∈ ℂ के लिए जहाँ |c| ≤ 1 (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (2) गलत है।

(3): f(z) = e−ciz

इसलिए |f(z)| = |e−ciz | = |e-ci(x + iy)| = |e-cix ecy| ≤ ecy ≤ ey केवल c = 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (3) गलत है।

(4): f(z) = eciz

इसलिए |f(z)| = |eciz | = |eci(x + iy)| = |ecix e-cy| ≤ e-cy ≤ ey केवल c = - 1 के लिए (क्योंकि |e-ix| ≤ 1 सभी x ∈ \(\mathbb R\) के लिए)

विकल्प (4) गलत है।

व्याख्या:

यदि {fn} डोमेन W पर विश्लेषिक (या होलोमोर्फिक) फलन का एक क्रम होता है, जो फलन f में परिवर्तित होता है, तो सम्मिश्र विश्लेषण के सिद्धांत के अनुसार, सीमा फलन f भी W पर विश्लेषिक होता है।

Alternate Method

किसी दिए गए डोमेन पर विश्लेषिक फलनों का समुच्चय, सम्मिश्र समुच्चय पर एक समान अभिसरण मानते हुए, सीमा प्रचलन के तहत संवृत होता है।

स्पष्टीकरण:

(1) यदि f ऐकैकी है तो f ∶ U → f(U) इस प्रकार आच्छादक है कि g ∶ f(U) → U एक वैश्लेषिक फलन है।

⇒ g सतत है और U विवृत है इसलिए U का व्युत्क्रम प्रतिबिंब विवृत होना चाहिए।

⇒ f(U) विवृत है।

अतः विकल्प (4) गलत है और विकल्प (1) सही है।

(2) f(z) = sin z, U = {z ∶ 0 < Im z < 4π}

(3) f और U को (b) के रूप में लेने पर, तब  \(\rm f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{5\pi}{2}\right)\)   

सही उत्तर विकल्प (1) है।

व्याख्या:

f(z) = (z4 - 2z2) cos(z2) जहाँ z ∈ ℂ

(z4 - 2z2) z का एक बहुपदीय फलन है और इसलिए सर्वत्र है।

cos(z2) भी सर्वत्र है।

इसलिए f(z) सर्वत्र है।

इसलिए, f(z) के वास्तविक और काल्पनिक भाग सर्वत्र हैं।

इसलिए u और v दोनों सर्वत्र हैं और इसलिए अवकलनीय हैं।

विकल्प (1) सत्य है, (2) असत्य है।

(z4 - 2z2) अपरिबद्ध है इसलिए, f(z) अपरिबद्ध है।

(3) सत्य है।

चूँकि f(z) विश्लेषणात्मक है।

∴ f को एक पूर्णतः अभिसारी घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n\) द्वारा सभी z ∈ ℂ के लिए निरूपित किया जा सकता है

विकल्प (4) सत्य है।

व्याख्या:

फलन f(z) \(\rm f(z)=\displaystyle\Sigma_{n=0}^{\infty}z^{4n}\) के रूप का होगा।

यहाँ, यह आसानी से देखा जा सकता है कि Roc = 1

माना w = z⁴ तब

f(z) → f(ω) = \(\rm \displaystyle\Sigma_{n=0}^{\infty}ω^n=\frac{1}{1-ω}=\frac{1}{1-z^4}\)

∴ f(z) = 1 + z⁴ + z⁸ + z¹² + ....= 1 + z⁴ + (z⁴)² + (z⁴)³ + ....)

z⁴ = ω रखने पर, = 1 + ω + ω² + ω³ + ....= \(\rm \displaystyle\Sigma_{n=0}^{\infty}ω^n\)

चूँकि, हमारा fⁿ f(z) \(\rm \frac{1}{1-z^4}\) में अभिसरित होता है, इसलिए हमारा विश्लेषण 1/1-z⁴ के लिए होगा, अर्थात जहाँ नहीं इस प्रकार fⁿ विश्लेषणात्मक होगा।

यहाँ \(\rm f(z)=\frac{1}{1-z^4}\) विश्लेषणात्मक नहीं होगा जब 1 - z⁴ = 0

अर्थात 1 - z⁴ = 0 ⇒ z = 1, -1, i, -i

इस प्रकार, हमें अपना उत्तर मिल गया।

अर्थात f(z) T के सभी बिंदुओं पर विश्लेषणात्मक है सिवाय z = 1, -1, i, -i

इसलिए, R = {|z| = 1 |z ≠ 1, -1, i, -i}

इसका अर्थ यह है कि f(z) T के अनंत बिंदुओं पर विश्लेषणात्मक है, साथ ही हम कह सकते हैं कि यह परिमित समुच्चय S = {1, -1, i, -i} से परे T के सभी बिंदुओं पर विश्लेषणात्मक है।

इस प्रकार, विकल्प (2) और विकल्प (3) सही हैं।