Power Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Power Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 26, 2025
Latest Power Series MCQ Objective Questions
Power Series Question 1:
सम्मिश्र संख्याओं की श्रेणी \(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{z-1}{z+1})^n\) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
कौशी मूल परीक्षण: मान लीजिए कि ∑ un धनात्मक पदों की श्रेणी है और \(\lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}=l\) है। तब श्रेणी
(i) अभिसारी है यदि l < 1 है।
(ii) अपसारी है यदि l > 1 है।
व्याख्या:
∑ un = \(∑_{n=1}^{\infty}(\frac{z-1}{z+1})^n\) अभिसारी है यदि
\(\lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}\) = \(|{z-1\over z+1}|\) < 1
⇒ \(|z-1|\over |z+1|\) < 1
⇒ |z - 1| < |z + 1|
⇒ \((z-1)(\bar z-1)<(z+1)(\bar z+1)\)
⇒ \(z\bar z-z-\bar z+1
⇒ \(z+\bar z>0\)
⇒ Re(z) > 0
यदि Re(z) > 0 है तो श्रेणी अभिसारी है और यदि Re(z) < 0 है तो अपसारी है।
विकल्प (2) और (4) सही हैं।
Power Series Question 2:
घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}z^{2n}\) किसके लिए अभिसारित होती है?
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
(i) अभिसरण त्रिज्या (ROC): एक ऋणेतर संख्या R को घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{n}\) की अभिसरण त्रिज्या कहा जाता है यदि घात श्रेणी |z| < R के लिए अभिसारित होती है और |z| > R के लिए अपसारित होती है।
(ii) डी'एलेम्बर्ट अनुपात परीक्षण द्वारा \(\frac1R=\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}\)
(iii) यदि \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{n}\) की अभिसरण त्रिज्या R है, तो \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^{nk}\) की अभिसरण त्रिज्या R1/k है।
व्याख्या:
श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}z^{2n}\) है,
यहाँ an = 3-n
इसलिए, \(\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}z^{n}\) की ROC दिया गया है:
\(\frac1R=\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}\) = \(\lim_{n\to\infty}{3^{n}\over 3^{n+1}}\) = \(\frac13\)
इसलिए, R = 3
तब \(\sum_{n=0}^{\infty}3^{-n}z^{2n}\) की ROC √3 है।
इसलिए, श्रेणी निम्न के लिए अभिसारित होती है,
|z| < √3
विकल्प (2) सही है।
Power Series Question 3:
सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिए।
|
सूची-I श्रेणी |
सूची-II अभिसरण त्रिज्या |
||
|
(A) |
\(\sum\left(\frac{i z-1}{2+i}\right)^n\) |
(I) |
0 |
|
(B) |
\(\sum\left(2^{-1} z^2\right)^n\) |
(II) |
√5 |
|
(C) |
\(\sum(n+2 i)^n z^n\) |
(III) |
1 |
|
(D) |
\(\sum\left(1+\frac{1}{n}\right)^n z^n\) |
(IV) |
√2 |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
D. दी गई श्रेणी \(\sum\left(1+\frac{1}{n}\right)^n z^n\) है।
\(a_n = (1+\frac{1}{n})^n \)
\((a_n)^\frac{1}{n} = (1+\frac{1}{n}) \)
\(lim_{n → ∞ } (a_n)^\frac{1}{n} = lim_{n → ∞ }(1+\frac{1}{n}) = 1 \)
ROC = 1
⇒ (D) → IV (जो केवल विकल्प 3 में है)
इसलिए, विकल्प (3) सही उत्तर है।
Power Series Question 4:
यदि ∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 7 है, तो ∑an(x + 2)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 4 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 7 है
इसलिए, ∑an(x + 2)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या
= max{0, R - |a|} = max{0, 7 - |2|} = max{0, 5} = 5
(4) सही है
Power Series Question 5:
माना R घात श्रेणी \(\rm \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k! x^{4k}\) के अभिसरण की त्रिज्या को दर्शाता है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 5 Detailed Solution
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Power Series Question 6:
यदि R किसी घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या है, तो अभिसरण अंतराल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
यदि R, \(\sum a_nx^n\) के अभिसरण की त्रिज्या है, तब श्रेणी अभिसरित हो जाती है, जब |x| < R हो
अर्थात जब - R < x < R
अतः अभिसरण का अंतराल (- R, R) है।
अतः (1) सही है।
Power Series Question 7:
माना R घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या को दर्शाता है। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 7 Detailed Solution
दिया गया है -
माना R घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या को दर्शाता है।
संकल्पना -
यदि घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}\) द्वारा दी गई है
तब घात श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या R है
\(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
और घात श्रेणी के लिए अभिसरण का अंतराल है
स्पष्टीकरण -
\(\frac{1}{R}= lim_{k \to \infty }\frac{{k+1}}{k}\)
⇒ R = 1
अतः विकल्प (iv) गलत है।
अब घात श्रेणी के लिए अभिसरण का अंतराल है
अब हम अंतिम बिंदुओं पर घात श्रेणी के अभिसरण की जाँच करते हैं -
अब x = 1 पर
इस मान को दी गई श्रेणी में रखने पर, हमें श्रेणी प्राप्त होती है -
\(\rm \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k \)
स्पष्टतः श्रेणी भिन्न है।
अब x = -1 पर
इस मान को दी गई श्रेणी में रखने पर, हमें श्रेणी प्राप्त होती है -
\(\rm \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^kk \)
स्पष्टतः श्रेणी भी भिन्न है।
अतः घात श्रेणी (-1,1) या (-R,R) पर अभिसरित है
अतः विकल्प (iii) सत्य है।
Power Series Question 8:
यदि ∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 7 है, तो ∑an(x + 3)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 7 है
इसलिए, ∑an(x + 3)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या
= max{0, R - |a|} = max{0, 7 - |3|} = max{0, 4} = 4
(4) सही है
Power Series Question 9:
यदि ∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 5 है, तो ∑an(x + 2)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या है
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 9 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
∑ anxn के अभिबिंदुग की त्रिज्या 5 है
इसलिए, ∑an(x + 2)n के अभिबिंदुग की त्रिज्या
= max{0, R - |a|} = max{0, 5 - |2|} = max{0, 3} = 3
(4) सही है
Power Series Question 10:
निम्न घात श्रेणी पर विचार करें
\(f(z)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n)!}\)
निम्न में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 10 Detailed Solution
Power Series Question 11:
माना \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} z^{n} \) एक अभिसरण घात श्रेणी इस प्रकार है कि \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=R>0\) है। माना p घात d का एक बहुपद है। तब घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} p(n) z^{n}\) के अभिसरण की त्रिज्या बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 11 Detailed Solution
दिया गया है -
माना \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} z^{n} \) एक अभिसरण घात श्रेणी इस प्रकार है कि \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=R>0\) है। माना p घात d का एक बहुपद है।
अवधारणा -
यदि दी गई घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n Z^{n}\) है।
तब घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या R है,
\(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
स्पष्टीकरण -
माना \(u_n =p(n)a_n\)
और \(p(x) =b_0 + b_1x +.....+b_dx^d\)
⇒ \( lim_{n \to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}= lim_{n \to \infty }\frac{p(n+1)a_{n+1}}{p(n)a_n}\)
⇒ \( lim_{n \to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}= lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=R\)
अतः अभिसरण की त्रिज्या 1/R है।
अतः विकल्प (i) सही है।
Power Series Question 12:
माना k एक धनात्मक पूर्णांक है। श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n !)^{k}}{(k n) !} Z^{n}\) के अभिसरण की त्रिज्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 12 Detailed Solution
अवधारणा -
यदि दी गई घात श्रेणी \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n Z^{n}\) है,
तो घात श्रेणी की अभिसरण की त्रिज्या R है,
\(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
स्पष्टीकरण -
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n !)^{k}}{(k n) !} Z^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_n Z^{n}\)
अब, \(a_n = \frac{(n !)^{k}}{(k n) !}\)
अब अभिसरण की त्रिज्या -
\(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
⇒ \(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{((n+1)!)^k}{(k(n+1))!} \times \frac{(kn)!}{(n!)^k} \)
अब हल करने पर हमें प्राप्त होता है -
⇒ \(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{(n+1)^k}{(kn+k)......(nk+1)} \)
⇒ \(\frac{1}{R}= lim_{n \to \infty }\frac{(1+1/n)^k}{(k+k/n)......(k+1/n)} \)
⇒ \(\frac{1}{R}= \frac{1}{k^k} \)
⇒ \(R= k^k\)
अतः विकल्प (iii) सत्य है।
Power Series Question 13:
घात श्रेणी का विस्तार, जिसमे अभिसरण त्रिज्या के रूप में R और x, a R में कोई भी दो बिंदु हो, अभिसरित होता है, यदि ______ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 13 Detailed Solution
व्याख्या:
अभिसरण त्रिज्या के रूप में R और x, a, R के कोई भी दो बिंदु होने पर घात श्रेणी का विस्तार अभिसरित होता है यदि |x - a| < R होता है।
अतः विकल्प 4 अर्थात |x - a| < R सही है।
Power Series Question 14:
सम्मिश्र संख्याओं की श्रेणी \(\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{z-1}{z+1})^n\) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Power Series Question 14 Detailed Solution
संप्रत्यय:
कौशी मूल परीक्षण: मान लीजिए कि ∑ un धनात्मक पदों की श्रेणी है और \(\lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}=l\) है। तब श्रेणी
(i) अभिसारी है यदि l < 1 है।
(ii) अपसारी है यदि l > 1 है।
व्याख्या:
∑ un = \(∑_{n=1}^{\infty}(\frac{z-1}{z+1})^n\) अभिसारी है यदि
\(\lim_{n\to\infty}|u_n|^{1/n}\) = \(|{z-1\over z+1}|\) < 1
⇒ \(|z-1|\over |z+1|\) < 1
⇒ |z - 1| < |z + 1|
⇒ \((z-1)(\bar z-1)<(z+1)(\bar z+1)\)
⇒ \(z\bar z-z-\bar z+1
⇒ \(z+\bar z>0\)
⇒ Re(z) > 0
यदि Re(z) > 0 है तो श्रेणी अभिसारी है और यदि Re(z) < 0 है तो अपसारी है।
विकल्प (2) और (4) सही हैं।
Power Series Question 15:
माना R घात श्रेणी \(\rm \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k! x^{4k}\) के अभिसरण की त्रिज्या को दर्शाता है। तब