समांतर श्रेणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Arithmetic Progression - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:  

समान्तर श्रेणी का सार्व अंतर = a_n - a_{n -1} 

पहला पद a है। 

a_n  = a + (n - 1)d

हल:

दी गई समान्तर श्रेणी के लिए

a = 1/p d = ((1 - p)/p) -(1/p) = -1 

समान्तर श्रेणी का चौथा पद = a + (4 -1) d = a + 3d = 1/p - 3 

अतः, सही विकल्प 4 है। 

दिया गया है:

• समांतर श्रेढ़ी का 12वाँ पद 19.75 है।
• समांतर श्रेढ़ी का 8वाँ पद 15.75 है।
• हमें पहले 16 पदों (n = 16) का योग ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

• समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद: Tn = a + (n - 1) × d
• समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग: Sn = (n/2) × [2a + (n - 1) × d]

गणना:

दी गई जानकारी से, हम दो समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

12वाँ पद: a + (12 - 1)d = 19.75

⇒ a + 11d = 19.75 ---- (1)

8वाँ पद: a + (8 - 1)d = 15.75

⇒ a + 7d = 15.75 ---- (2)

अब, 'd' ज्ञात करने के लिए समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाते हैं:

(a + 11d) - (a + 7d) = 19.75 - 15.75

a + 11d - a - 7d = 4

4d = 4

d = 4 / 4

d = 1

'a' ज्ञात करने के लिए समीकरण (2) में 'd' (d=1) का मान प्रतिस्थापित करते हैं:

a + 7(1) = 15.75

a + 7 = 15.75

a = 15.75 - 7

a = 8.75

अब हमारे पास पहला पद (a = 8.75) और सार्व अंतर (d = 1) है।

हमें पहले 16 पदों (n = 16) का योग ज्ञात करना है।

n पदों के योग के लिए सूत्र का प्रयोग करते हैं (Sn):

Sn = (n/2) × [2a + (n - 1) × d]

S16 = (16/2) × [2 × 8.75 + (16 - 1) × 1]

S16 = 8 × [17.5 + 15 × 1]

S16 = 8 × [17.5 + 15]

S16 = 8 × 32.5

S16 = 260

∴ समांतर श्रेढ़ी के पहले 16 पदों का योग 260 है।

दिया गया:

अनुक्रम a, a - b, a - 2b, a - 3b,......का 10वाँ पद 20 है। 20वाँ पद 10 है।

गणना:

10^वाँ पद = a - 9b = 20 --(1)

20^वाँ पद = a - 19b = 10 ---(2)

समीकरण (2) को (1) से घटाने पर:

a - 9b - (a - 19b) = 20 - 10

⇒ a - 9b - a + 19b = 10

⇒ 10b = 10

⇒ b = 1

समीकरण (1) से:

a - 9 (1) = 20

⇒ a = 20 + 9 = 29

अब, x^वां पद = a - (x - 1)b

⇒ 29 - (x - 1) (1) 

⇒ 29 - x + 1 = 30 - x

∴ अनुक्रम का xवाँ पद 30 - x है ।

दिया गया है:

दी गई श्रृंखला है: a, a + d, a + 2d, ....., a + 2md

प्रयुक्त अवधारणा:

1. A, A + D, A + 2D, ....., Nवां पद

उपरोक्त श्रृंखला के स्थिति में,

N पदों का योगफल  = (पहला पद + अंतिम पद)/2 × N

Nवां पद = A + (N - 1)D

2. कुल = माध्य × इकाईयों की संख्या

गणना:

दी गई श्रंखला एक समांतर श्रेणी है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।

दी गई श्रृंखला का(2m + 1) वां पद = a + (2m + 1 - 1)d = a + 2md

दी गई श्रंखला के (2m + 1) पदों का योगफल

⇒ [{a + (a + 2md)} ÷ 2] × (2m + 1)

⇒ (a + md)/(2m + 1)

दी गई श्रृंखला के (2m + 1) पदों का माध्य

⇒ (a + md)/(2m + 1) ÷ (2m + 1)

⇒ (a + md)

∴ प्रेक्षणों a, a + d, a + 2d, ....., a + 2md वाले आँकड़ो का समांतर माध्य  (a + md) है।

दिया गया है:

योग = - 6

गुणनफल = 24

गणना:

मान लीजिए, 3 संख्याएँ हैं (m - d), m, और  (m + d)

⇒ m - d + m + m + d = -6

⇒ 3m = - 6

⇒ m = - 2

⇒ (m - d)(m)(m + d) = 24

⇒ (-2 - d)(-2)(-2 + d) = 24

⇒ (4 + 2d)(d - 2) = 24

⇒ 4d - 8 + 2d² - 4d = 24

⇒ d² = 16

⇒ d = ± 4

d = 4 (d = धनात्मक) लेने पर

⇒ m - d = - 2 - 4 = - 6

⇒ m = - 2

⇒ m + d = -2 + 4 = 2

संख्या -6, -2 और 2 है।

∴ सबसे छोटी संख्या -6 है।

दिया गया है:

13 + 23 + …….. + 93

सूत्र:

S_n = n/2 [a + l]

T_n = a + (n – 1)d

n = पदों की संख्या

a = प्रथम पद

d = सार्व अंतर

l = अंतिम पद

गणना:

a = 13

d = 23 – 13 = 10

T_n = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S₉ = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

= 477

प्रयुक्त सूत्र:

a_n = a + (n – 1)d

यहाँ, a → पहला पद, n → कुल संख्या, d → सार्व अंतर, an → nवां पद

गणना:

6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की पहली संख्या, (a) = 102 

6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की अंतिम संख्या, (an) = 996

सार्व अंतर, (d) = 6  (चूंकि संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं)

अब, an = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴ 6 से विभाज्य होने वाली तीन अंकों की कुल संख्याएँ 150 हैं।

दिया गया प्रतिबंध: 

300 और 1000 के बीच की संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

अवधारणा:

समान्तर श्रेणी

an = a + (n - 1)d 

गणना:

7 (300 - 1000) से विभाज्य होने वाली पहली संख्या = 301 

इसी प्रकार: 301, 308, 315, 322...........994 

उपरोक्त श्रृंखला एक समान्तर श्रेणी बनाती है,

जहाँ a = 301, सार्व अंतर d = 308 - 301 = 7 तथा अंतिम पद (an) = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7 

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1 

⇒ 693/7 + 1 = n 

⇒ 99 + 1 = n 

⇒ n = 100 

∴ यहाँ 300 और 1000 के बीच 100 संख्याएँ हैं जो 7 से विभाज्य हैं।

दिया गया है:

प्रथम पद 'a' = 5, सार्व अंतर 'd' = 4

पदों की संख्या 'n' = 20

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी:

• समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक सूची है जिसमें प्रत्येक पद पहले पद को छोड़कर पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
• निश्चित संख्या को सार्व अंतर 'd' कहते हैं।
• यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद 

Tn = a + (n - 1)d

समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग इसके द्वारा दिया जाता है

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

जहाँ,

a = समांतर श्रेढ़ी का पहला पद, d = सार्व अंतर, l = अंतिम पद

गणना:

हम जानते हैं कि समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग इसके द्वारा दिया जाता है

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

अत:, दी गई समांतर श्रेढ़ी के 20 पदों का योग 860 होगा।

हम जानते हैं कि समांतर श्रेढ़ी का n^वाँ पद निम्न द्वारा दिया जाता है

Tn = a + (n - 1)d

यदि l, समांतर श्रेढ़ी का 20वाँ पद (अंतिम पद) है, तब

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

इसलिए समांतर श्रेढ़ी का योग

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

दिया गया है:

21 से 199 तक की सम संख्याओं का योग 11 प्रेक्षणों में जोड़ा जाता है जिनका माध्य मान n है।

संख्याओं के नए समुच्चय का माध्य = 99

प्रयुक्त सूत्र:

(1) समान्तर श्रेणी में n संख्याओं का योग

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

जहाँ,

a, पहले पद का मान है।

l, अंतिम पद का मान है।

n, पदों की संख्या है।

S, समान्तर श्रेणी में n संख्याओं का योग है।

(2) समान्तर श्रेणी में अंतिम पद का मान

l = a + (n - 1)d

जहाँ,

a, पहले पद का मान है।

d, दो पदों के बीच सार्वांतर है।

n, पदों की संख्या है।

l, अंतिम पद का मान है।

गणना:

माना n, 21 से 199 के बीच सम पदों की संख्या है।

पहली सम संख्या का मान (21 से 199 के बीच), a = 22

अंतिम सम संख्या का मान (21 से 199 के बीच), l = 198

दो सम संख्याओं के बीच सार्वांतर का मान, d = 2

अब,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

अब,

माना S, 21 से 199 के बीच की सभी सम संख्याओं का योग है।

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

अब,

11 प्रेक्षणों का औसत = n

सभी 11 प्रेक्षणों का योग = 11n

प्रश्न के अनुसार,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ अभीष्ट उत्तर 10 है।

Additional Informationपहला और अंतिम पद ज्ञात होने पर संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

A = \(\frac{a+l}{2}\)

जहाँ,

a, समान्तर श्रेणी का पहला पद है।

l, समान्तर श्रेणी का अंतिम पद है।

A, a से l तक समान्तर श्रेणी का माध्य है।

टिप्पणी: उपरोक्त सूत्र केवल समान्तर श्रेणी के लिए लागू है।

यदि क्रमागत पदों में सार्वांतर शून्येतर नियतांक हो, तो उस अनुक्रम को समान्तर अनुक्रम कहा जा सकता है।

दिया गया है:

k के मान के लिए 2, 3 + k और 6 समांतर श्रेढ़ी में हैं। 

अवधारणा:

समांतर श्रेढ़ी के अनुसार, a2 - a1 = a3 - a2 

जहाँ a1, a2, a3  समांतर श्रेणी में प्रथम, द्वितीय और तृतीय पद हैं। 

गणना:

यहाँ a1 = 2, a2 = k + 3, a3 = 6 समांतर श्रेढ़ी की क्रमागत संख्याएँ हैं।

समांतर श्रेढ़ी के अनुसार, a₂ - a₁ = a₃ - a₂ 

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

हल करने पर, हमें प्राप्त होता है k = 1

दिया गया है,

2, 7, 12, ____________

प्रयुक्त संकल्पना

Tn = a + (n - 1)d

जहाँ a = पहला पद, n = पदों की संख्या और d = सार्वंतर

गणना

दी गई श्रेढ़ी में,

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T₁₀ = 2 + (10 - 1) 5

T₁₀ = 2 + 45

T₁₀ = 47

दसवां पद = 47

दिया गया है:

एक समान्तर श्रेढ़ी (AP) दी गई है, 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 पदों तक

प्रयुक्त सूत्र:

समान्तर श्रेढ़ी के nवें पद का योग

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}

जहाँ,

'n' पदों की संख्या है, 'a' प्रथम पद है, 'd' सार्व अंतर है। 

गणना:

प्रश्न के अनुसार, हमें प्राप्त है

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}      ----(1) 

जहाँ, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

इन मानों को (1) मेंरखने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ समान्तर श्रेढ़ी के 80 पदों का योग 12,880 है।

Alternate Method

nवां पद = a + (n - 1)d

यहाँ n = 80, a = 3 और d = 4

80वाँ पद = 3 + (80 - 1)4

80वाँ पद = 3 + 316

80वाँ पद = 319

अब, एक समान्तर श्रेढ़ी के nवें पदों का योग

Sn = (n/2) × (प्रथम पद + अंतिम पद)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ एक समान्तर श्रेढ़ी के 80 पदों का योग 12,880 है।

गणना:

माना कि a, b, c… और आगे भी इसी प्रकार हमारी शृंखला है।

जैसा की हम जानते है सार्व अंतर = b - a, c - b

समांतर श्रेढ़ी में सार्व अंतर समान है।

b - a = c - b

गणना:

b – a = c – b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तब 2b = a + c

Alternate Method

माना संख्या 1, 2, 3 है जो समान्तर श्रेढ़ी में हैं।

केवल एक विकल्प समीकरण को संतुष्ट करता है

2(2 ) 1 + 3 = इसलिए 2b = a + c सही विकल्प है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर सदैव समान होता है तो उन संख्याओं के अनुक्रम को समान्तर श्रेणी कहा जाता है ।

गणना:

विकल्प 1 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 1 - 1 = 0

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 2 - 1 = 1

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 1 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

विकल्प 2 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 0.33 - 0.3 = 0.03

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 0.333 - 0.33 = 0.003

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 2 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

अब, विकल्प 3 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = 2 - √2 

⇒ 2 - 1.414

⇒ 0.586

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = 2√2 - 2

⇒ 2(1.414 - 1)

⇒ 2 × 0.414

⇒ 0.825

यहाँ, किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है। 

इसलिए, विकल्प 3 समान्तर श्रेणी में नहीं है। 

विकल्प 4 में, हमारे पास है

पहले और दूसरे पद के बीच का अंतर = (3 + √2) - 3

⇒ √2

और, दूसरे और तीसरे पद के बीच का अंतर = (3 + 2√2) - (3 + √2) 

⇒ √2

और, तीसरे और चौथे पद के बीच का अंतर = (3 + 3√2) - (3 + 2√2) 

⇒ √2

∴ विकल्प 4 समान्तर श्रेणी में है। 

Mistake Points

इस प्रश्न में सभी विकल्पों का अध्ययन कीजिए और प्रत्येक पद की जांच कीजिए। केवल पहले तीन विकल्पों की जाँच मत कीजिए।