Elementary Set Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Elementary Set Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक एकैक आच्छादन दो समुच्चयों के बीच एक एकैक और आच्छादक प्रतिचित्रण होता है, जिसका अर्थ है कि एक समुच्चय में प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय में एक अवयव के साथ अद्वितीय रूप से संगत होता है, और इसके विपरीत।

चूँकि \(S \) एक अनंत और अगणनीय समुच्चय है, इसलिए इसका गणनीयता \(\mathbb{R}\) (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के समान है।

इसलिए, \(S \) और \(\mathbb{R}\) के बीच एकैक आच्छादन का अस्तित्व है।   .

व्याख्या:

\(\frac{1 - x^4}{1 - x^3} > 22.\)

आइए इस व्यंजक को सरल करें, \( \frac{1 - x^4}{1 - x^3} = \frac{1 - (x^3 \cdot x)}{1 - x^3} = \frac{1 - x^3 - x^3(x - 1)}{1 - x^3}.\)

अब गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है, \(\frac{(1 - x^3)}{(1 - x^3)} - \frac{x(x - 1)}{(1 - x^3)}. \)

= \(1 - \frac{x(x - 1)}{(1 - x^3)}.\)

इस असमिका का सटीक बीजगणितीय जोड़-तोड़ जटिल है, लेकिन हम \(x > 1\) के आधार पर इसके व्यवहार को समझ सकते हैं। \( x\) के बड़े मानों के लिए, अंश हर की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए पर्याप्त रूप से बड़े \(x\) के लिए व्यंजक अंततः 22 से बड़ा हो जाता है।

\(x > 1\) के लिए, \( x\) के ऐसे मान मौजूद हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, और असमिका पर्याप्त रूप से बड़े \( x\) के लिए सत्य है। इसका तात्पर्य है कि \(S \) एक अनंत समुच्चय है, और इसकी कोई ऊपरी सीमा नहीं है।

विकल्प 1: "S रिक्त है" — यह गलत है क्योंकि असमिका बड़े \(x > 1\) के लिए मान्य है।

विकल्प 2: "S और \(\mathbb{N}\) के बीच एक द्विभाजन है" — यह गलत है। \(S \) एक अनंत समुच्चय है, लेकिन यह \(\mathbb{R}\) की तरह अगणनीय है, इसलिए यह \(\mathbb{N}\) (प्राकृत संख्याएँ, जो गणनीय हैं) के साथ एकैक आच्छादन में नहीं हो सकता।

विकल्प 3: "S और \(\mathbb{R}\) के बीच एक द्विभाजन है" — यह सही है। \(x > 1 \) के लिए अनंत और अगणनीय होने के कारण समुच्चय \(S \) की गणनीयता ​\(\mathbb{R}\) के समान है, इसलिए \(S \) और \(\mathbb{R}\) के बीच एक द्विभाजन मौजूद है
विकल्प 4: "S और एक अरिक्त परिमित समुच्चय के बीच एक एकैक आच्छादन है" — यह गलत है। S अनंत है।

सही उत्तर विकल्प 3) है।

$$\text{S और } \mathbb{N} \text{ के बीच एक द्विभाजन है।}$$

दिया गया है:

A = {1, 2}

B = {0, 1}

गणना:

A × B = {1, 2} × {0, 1}

= {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)}

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा-

n कोटि के समुच्चय A के उपसमुच्चय की संख्या 2n है.

स्पष्टीकरण-

हमारे पास S = {1,2, .....100},  A = { 1, 2 ....15 } और B = {46, 47, 48, 49, 50} है।

अब S के उपसमुच्चय की कुल संख्या = 2¹⁰⁰

A के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय  = 285

B के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय = 2⁹⁵

A और B दोनों के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय हैं = 2⁸⁰

या तो A या B के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय हैं = 285 + 295 - 280 = 280(25 + 215 - 1)

स्पष्टीकरण:

{A n } n ≥ 1 ℤ के अरिक्त उपसमुच्चयों का संग्रह इस प्रकार है कि A n ∩ A m = Ø जहाँ m ≠ n हो। 

साथ ही ℤ = U n ≥ 1 A n ,

(1): यदि हम A₁ = सम पूर्णांकों का समुच्चय तथा A2 = विषम पूर्णांकों का समुच्चय मानें तो

A n ∩ A m = Ø जहाँ m ≠ n.

लेकिन प्रत्येक पूर्णांक n > 1 के लिए A n परिमित नहीं है।

और किसी पूर्णांक n ≥ 1 के लिए An परिमित नहीं है।

(1), (2) असत्य है। 

(3): A 0 = {0}, A n = {-n, n} सभी n ∈ ℤ के लिए

तो ℤ = U n ≥ 1 A n ,

लेकिन प्रत्येक समुच्चय परिमित है।

(3) असत्य है। 

(4) सत्य है। 

अवधारणा-

(i) यदि अनुक्रम x_n अभिसारी है, तो limsupn En = liminfn En

गणना:

मान लीजिये {En} R का एक उपसमुच्चयों का अनुक्रम है

\(\limsup _n E_n=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n\) और

\(\liminf _n E_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n\)

विकल्प 1 के लिए, यदि अभिसारी है तो limsupn En = liminfn En

विकल्प 1 गलत है।

x \(∈\) \(\ {\cap}\) A_i का अर्थ है x ∈ A_i

x \(∈\)\(\ {\cap}\)(\(\ {\cup}\)E_n )

x \(∈\)\(\ {\cup}\) E_n ( परिमित )

इसलिए विकल्प (2) और (4) गलत हैं।

इसलिए विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

प्रत्येक विषम घात बहुपद p(x) ∈ R(x) का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है

व्याख्या:

p(x) = x3 + 3x − 2023

p'(x) = 3x² + 3

चूँकि सभी x के लिए x2 ≥ 0 तो

3x2 + 3 > 0 ⇒ p'(x) > 0

इसलिए p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है

हम जानते हैं कि p(x) के दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के बीच p'(x) का एक वास्तविक मूल होता है।

चूँकि यहाँ p'(x) का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए p(x) का एक से अधिक वास्तविक मूल नहीं हो सकता है।

विकल्प (2) सही है।

अवधारणा​ -

वास्तविक संख्याओं का आर्किमिडीयन गुण:

माना a, b ∈ ℝ और a > 0 तो ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए na > b, ∀n ≥ N (स्थिर प्राकृतिक संख्या)

व्याख्या -

माना ε = a और b = |x - y|

⇒ ऐसा कोई N ∈ ℕ है जिसके लिए nε > b = |x - y| ∀n > N

→ 2n ε > nε > |x - y| ∀n ≥ N

⇒ 2n ε > |x - y| ∀n ≥ N

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है

विकल्प (2) के लिए:

माना x = 0, y = 1 और ε = \(\frac{1}{2}\)

⇒ |x - y| = 1

यदि संभव हो तो माना 2n ε < |x - y|

अर्थात 2n \(\frac{1}{2}\) < 1, एक विरोधाभास

इसलिए, विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (3) और (4) के लिए:

माना ε = 1, x = 0 और y = 1

⇒ |x - y| = 1 लेकिन 2-n ε = \(\rm \frac{1}{2^n}\) < 1 ∀n ∈ ℕ

इसलिए, |x - y| < 2-n ε किसी भी n ∈ ℕ के लिए सत्य नहीं है।

इसलिए, विकल्प (3) और (4) असत्य हैं।

व्याख्या:

मान लीजिए f: ℝ² → ℝ, f(x, y) = cx, c ∈ ℝ\{0} द्वारा परिभाषित है, तो f एक संतत फलन है।

(1) और (2) असत्य हैं।

यदि संभव हो तो मान लीजिए अपरिमित रूप से अनेक संतत एकैकी प्रतिचित्र f: ℝ² → ℝ हैं।

तब यह एक संयोजी समुच्चय को एक संबद्ध समुच्चय में प्रतिचित्रित करेगा।

यदि हम f पर विचार करें जहाँ f(0) = c, c ∈ ℝ\{0}, तो

f(ℝ\{0}) = (-∞, c) ∪ (c, ∞), जो संबद्ध नहीं है। इसलिए, हमें एक विरोधाभास प्राप्त होता है।

(3) असत्य है।

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

गणना

दिया गया है

f : \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) एक परिबद्ध फलन है।

माना f(n) = 1

एक स्थिरांक फलन लेने पर,

sup{f(n)} = 1 और inf{f(n)} = 1

विकल्प 1 और 2 सही हैं।

\(\lim_{x \to \infty } (1+n) \) = \(\ \infty\)

प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित नहीं है।

विकल्प 4 सही है।

प्रश्न के अनुसार

इसलिए सही विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

एक एकैक आच्छादन दो समुच्चयों के बीच एक एकैक और आच्छादक प्रतिचित्रण होता है, जिसका अर्थ है कि एक समुच्चय में प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय में एक अवयव के साथ अद्वितीय रूप से संगत होता है, और इसके विपरीत।

चूँकि \(S \) एक अनंत और अगणनीय समुच्चय है, इसलिए इसका गणनीयता \(\mathbb{R}\) (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) के समान है।

इसलिए, \(S \) और \(\mathbb{R}\) के बीच एकैक आच्छादन का अस्तित्व है।   .

व्याख्या:

\(\frac{1 - x^4}{1 - x^3} > 22.\)

आइए इस व्यंजक को सरल करें, \( \frac{1 - x^4}{1 - x^3} = \frac{1 - (x^3 \cdot x)}{1 - x^3} = \frac{1 - x^3 - x^3(x - 1)}{1 - x^3}.\)

अब गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है, \(\frac{(1 - x^3)}{(1 - x^3)} - \frac{x(x - 1)}{(1 - x^3)}. \)

= \(1 - \frac{x(x - 1)}{(1 - x^3)}.\)

इस असमिका का सटीक बीजगणितीय जोड़-तोड़ जटिल है, लेकिन हम \(x > 1\) के आधार पर इसके व्यवहार को समझ सकते हैं। \( x\) के बड़े मानों के लिए, अंश हर की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है, इसलिए पर्याप्त रूप से बड़े \(x\) के लिए व्यंजक अंततः 22 से बड़ा हो जाता है।

\(x > 1\) के लिए, \( x\) के ऐसे मान मौजूद हैं जो असमिका को संतुष्ट करते हैं, और असमिका पर्याप्त रूप से बड़े \( x\) के लिए सत्य है। इसका तात्पर्य है कि \(S \) एक अनंत समुच्चय है, और इसकी कोई ऊपरी सीमा नहीं है।

विकल्प 1: "S रिक्त है" — यह गलत है क्योंकि असमिका बड़े \(x > 1\) के लिए मान्य है।

विकल्प 2: "S और \(\mathbb{N}\) के बीच एक द्विभाजन है" — यह गलत है। \(S \) एक अनंत समुच्चय है, लेकिन यह \(\mathbb{R}\) की तरह अगणनीय है, इसलिए यह \(\mathbb{N}\) (प्राकृत संख्याएँ, जो गणनीय हैं) के साथ एकैक आच्छादन में नहीं हो सकता।

विकल्प 3: "S और \(\mathbb{R}\) के बीच एक द्विभाजन है" — यह सही है। \(x > 1 \) के लिए अनंत और अगणनीय होने के कारण समुच्चय \(S \) की गणनीयता ​\(\mathbb{R}\) के समान है, इसलिए \(S \) और \(\mathbb{R}\) के बीच एक द्विभाजन मौजूद है
विकल्प 4: "S और एक अरिक्त परिमित समुच्चय के बीच एक एकैक आच्छादन है" — यह गलत है। S अनंत है।

सही उत्तर विकल्प 3) है।

$$\text{S और } \mathbb{N} \text{ के बीच एक द्विभाजन है।}$$

व्याख्या:

मान लीजिये

h(x) = f(x) - g(x)

h(0) = f(0) - g(0) = -1 < 0 . . . . . . . . . 1

h(1/2) = f(1/2) - g(1/2) > 0 . . . . . . . . 2

h(1) = f(1) - g(1) = -1 < 0 . . . . . . . 3

समीकरण 1 और 2 से, एक t \(\in\) [0 , 1] है

समीकरण 2 और 3 से, एक t \(\in\) [ 0 ,1 ] है

इसलिए विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

यदि किसी समुच्चय S में "n" अवयव हैं, तो S के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।

यदि A और B, "S" के दो उपसमुच्चय हैं जिनमें क्रमशः "l" और "m" अवयव हैं, तो A से कम से कम एक अवयव चुनने के तरीकों की संख्या (2l - 1) और B के लिए (2m - 1) है।

A और B के अरिक्त प्रतिच्छेद वाले उपसमुच्चयों की संख्या है

(2l - 1) ×  (2m - 1)

S के उपसमुच्चयों की संख्या 2n है।

n अवयवों में से, n - (l + m) अवयव आवश्यक समुच्चय में होंगे।

तब S के उन उपसमुच्चयों की कुल संख्या जिनका A और B दोनों के साथ अरिक्त प्रतिच्छेद है।

2n-(l+m) (2l - 1)(2m - 1), जहाँ 1 ≤ l ≤ n और 1 ≤ m ≤ n

व्याख्या:

दिया गया है: S = {1, 2, ...,100}, A = {1, 2, ...,10} और B = {41, 42, ..., 50}.

S में "100" अवयव हैं, तो S के उपसमुच्चयों की संख्या 2¹⁰⁰ है।

A और B, "S" के 10-10 अवयवों वाले उपसमुच्चय हैं।

A से कम से कम एक अवयव चुनने के तरीकों की संख्या (210 - 1) और B के लिए (210 - 1) है।

A और B के अरिक्त प्रतिच्छेद वाले उपसमुच्चयों की संख्या है

(210 - 1) ×  (210 - 1)

100 अवयवों में से, 100 - (10 + 10) अवयव आवश्यक समुच्चय में होंगे क्योंकि A और B के अवयव आवश्यक समुच्चय में नहीं हो सकते हैं।

तब S के उन उपसमुच्चयों की कुल संख्या जिनका A और B दोनों के साथ अरिक्त प्रतिच्छेद है।

2100 - (10 + 10) (210 - 1)(210 - 1)

280 (210 - 1)2 

∴ आवश्यक उपसमुच्चयों की कुल संख्या 280 (210 - 1)2 है।

अवधारणा-

n कोटि के समुच्चय A के उपसमुच्चय की संख्या 2n है.

स्पष्टीकरण-

हमारे पास S = {1,2, .....100},  A = { 1, 2 ....15 } और B = {46, 47, 48, 49, 50} है।

अब S के उपसमुच्चय की कुल संख्या = 2¹⁰⁰

A के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय  = 285

B के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय = 2⁹⁵

A और B दोनों के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय हैं = 2⁸⁰

या तो A या B के साथ रिक्त प्रतिच्छेदन वाले उपसमुच्चय हैं = 285 + 295 - 280 = 280(25 + 215 - 1)

अवधारणा-

(i) यदि अनुक्रम x_n अभिसारी है, तो limsupn En = liminfn En

गणना:

मान लीजिये {En} R का एक उपसमुच्चयों का अनुक्रम है

\(\limsup _n E_n=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n\) और

\(\liminf _n E_n=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n\)

विकल्प 1 के लिए, यदि अभिसारी है तो limsupn En = liminfn En

विकल्प 1 गलत है।

x \(∈\) \(\ {\cap}\) A_i का अर्थ है x ∈ A_i

x \(∈\)\(\ {\cap}\)(\(\ {\cup}\)E_n )

x \(∈\)\(\ {\cup}\) E_n ( परिमित )

इसलिए विकल्प (2) और (4) गलत हैं।

इसलिए विकल्प (3) सही है।