Riemann Sums and Riemann Integral MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Riemann Sums and Riemann Integral - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 4, 2025
Latest Riemann Sums and Riemann Integral MCQ Objective Questions
Riemann Sums and Riemann Integral Question 1:
f:[0,1] → [0,1] को \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } x=0, \\ \frac{1}{n} & \text { if } x=\frac{m}{n} \text { for some } m, n \in \mathbb{N} \text { with } m \leq n \text { and } \operatorname{gcd}(m, n)=1, \\ 0 & \text { if } x \in[0,1] \text { is irrational. } \end{array}\right.\) द्वारा परिभाषित करें और g:[0,1] → [0,1] को \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } x=0 \\ 1 & \text { if } x \in(0,1] \end{array}\right.\) द्वारा परिभाषित करें। तब निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
1. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } x=0, \\ \frac{1}{n} & \text { if } x=\frac{m}{n} \text { for some } m, n ∈ \mathbb{N} \text { with } m \leq n \text { and } \operatorname{gcd}(m, n)=1, \\ 0 & \text { if } x ∈[0,1] \text { is irrational. } \end{array}\right.\)
चूँकि, f सभी परिमेय संख्याओं पर असंतत है।
⇒ f की असंतताएँ गणनीय हैं।
⇒ f रीमान समाकलनीय है।
⇒ विकल्प (1) सही है।
2. \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } x=0 \\ 1 & \text { if } x ∈(0,1] \end{array}\right.\)
g केवल x = 0 पर असंतत है।
⇒ g भी रीमान समाकलनीय है।
⇒ विकल्प (2) सही है।
3. चूँकि f(g(x)) = 1
f(g(x)) = f ∘ g (x) भी रीमान समाकलनीय है।
⇒ विकल्प (3) सही है।
4. g ∘ f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } f(x) =0 \\ 1 & \text { if } f(x) ∈(0,1] \end{array}\right. \) = \(\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } x ∈ \mathbb{Q}^c∩ [0, 1] \\ 1 & \text { if } x ∈ \mathbb{Q}∩ [0, 1] \end{array}\right. \)
⇒ g ∘ f की असंतताएँ अगणनीय हैं।
⇒ g ∘ f रीमान समाकलनीय नहीं है।
⇒ विकल्प (4) सही नहीं है।
इसलिए विकल्प (1), विकल्प (2) और विकल्प (3) सही हैं।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 2:
दिया गया है: \( ∫_{0}^{∞} e^{-x} x^{n-1} dx \)
n के विभिन्न मानों के लिए समाकल के अभिसरण या अपसरण का निर्धारण करें:
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
यह समाकलन गामा फलन Γ(n) के रूप में जाना जाता है:
Γ(n) = \( ∫_{0}^{∞} e^{-x} x^{n-1} dx \)
गामा फलन n > 0 के लिए अभिसरित होता है
इसलिए, समाकलन n ≥ 1 होने पर अभिसारी है
इसके अलावा, जब n > 0, समाकलन अभिसरित होता है
जब n ≤ 0, समाकलन अपसारी होता है
इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 3:
[0, 1] पर निम्नलिखित में से कौन सा फलन रीमान समाकलनीय नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) प्रत्येक सतत फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(ii) यदि किसी फलन में [a, b] पर असांतत्य की गणनीय संख्या हो, तो f(x), [a, b] पर रीमान समाकलनीय है।
व्याख्या:
(1): \(\rm f(x)= \begin{cases}1 & \text { if } x \in \mathbb{Q} \cap[0,1] \\ -1 & \text { otherwise }\end{cases} \)
f(x) में असांतत्य की अनंत संख्या है,
इसलिए यह [0, 1] पर रीमान समाकलनीय नहीं है।
(2): \(\rm f(x)= \begin{cases}x & \text { if } x \in[0,1) \\ 0 & \text { if } x=1\end{cases} \)
\(\lim_{x\to1}f(x)\) = \(\lim_{x\to1}x\) = 1 ≠ f(1)
f(x) x = 1 पर सतत नहीं है।
f में [0, 1] पर असांतत्य की गणनीय संख्या है।
f(x), [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है।
(3): \(\rm f(x)=\displaystyle\int_0^x\left|\frac{1}{2}-t\right| d t\)
= \(\displaystyle-\int_0^{\frac12}(\frac{1}{2}-t)d t+\displaystyle\int_{\frac12}^x(\frac{1}{2}-t)d t\) जो एक सतत फलन देगा।
इसलिए f(x), [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है।
(4): \(\rm f(x)= \begin{cases}x^2 \sin (1 / x) & \text { if } x ≠ 0 \\ 0 & \text { if } x=0\end{cases} \)
\(\lim_{x\to0}f(x)\) = \(\lim_{x\to0}x^2 \sin(1/x)\) = 0 = f(0)
इसलिए f(x) सतत है और इसलिए [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है।
अतः, विकल्प (1) सही उत्तर है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 4:
मान लीजिए \( f: [0, 1] \to \mathbb{R} \) एक परिबद्ध फलन है ऐसा कि अंतराल [0, 1] के किसी भी विभाजन \( P = \{ x_0, x_1, \dots, x_n \} \) के लिए, निम्नलिखित शर्त लागू होती है:
\(\sum_{i=1}^{n} \left( \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) \right) \to 0 \quad {as} \quad \|P\| \to 0, \)
जहाँ \( \|P\| \) विभाजन का जाल है।
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 4 Detailed Solution
अवधारणा:
रीमान समाकलनीयता के लिए डार्बॉक्स कसौटी:
एक बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित एक परिबद्ध फलन f रीमान समाकलनीय है यदि और केवल यदि, प्रत्येक \( \epsilon > 0 \) के लिए,
[a, b] का एक ऐसा विभाजन P मौजूद है जिसके लिए:
U(f, P) - L(f, P) < \(\epsilon \) ,
जहाँ U(f, P) और L(f, P), P के संबंध में f के ऊपरी और निचले योग हैं।
तो f वास्तव में अंतराल पर रीमान समाकलनीय है और समाकल का अस्तित्व है और यह परिमित है।
व्याख्या:
दी गई शर्त अनिवार्य रूप से बताती है कि किसी भी विभाजन के प्रत्येक उप-अंतराल पर फलन के उच्चतम और निम्नतम मान के बीच का अंतर शून्य की ओर जाता है क्योंकि विभाजन का जाल \(\|P\| \) शून्य की ओर जाता है।
यह शर्त रीमान समाकलनीयता की परिभाषा है,
जिसका अर्थ है कि f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है।
रीमान समाकलनीयता के लिए डार्बॉक्स कसौटी द्वारा,
यदि उपरोक्त शर्त लागू होती है, तो f वास्तव में अंतराल पर रीमान समाकलनीय है, और समाकल का अस्तित्व है और यह परिमित है।
⇒ f, [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है और समाकल \(\int_0^1 f(x) \, dx \) का अस्तित्व है और यह परिमित है।
अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 5:
यदि फ़ंक्शन \(f: R \to R\) को f(x) = [x] के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां [.] सबसे बड़े पूर्णांक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है तो सही विकल्प चुनें?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 5 Detailed Solution
अवधारणा -
(1) प्रत्येक मोनोटोन फ़ंक्शन में अधिकतम गणनीय असंतत बिंदु होते हैं।
(2) यदि फ़ंक्शन f(x) में गणनीय असंतत बिंदु हैं तो f(x) रीमैन इंटीग्रेबल है।
स्पष्टीकरण -
हमारे पास फ़ंक्शन f(x) = [x] है और हम सभी नीचे दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ जानते हैं
उपरोक्त ग्राफ से -
फ़ंक्शन f(x) पूर्णांक बिंदु पर स्पष्ट रूप से असंतत है क्योंकि ग्राफ़ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर टूटा हुआ है। और यह कार्य भी बढ़ा रहा है।
इसलिए f(x) रीमैन पूर्णांक है
अतः विकल्प (3) सही है।
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Riemann Sums and Riemann Integral Question 6:
यदि f: [a,b] → R, संतत है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 6 Detailed Solution
संकल्पना:
एक परिबद्ध फलन, एक संहत अंतराल [a, b] पर रीमैन समाकलनीय है, यदि और केवल यदि जब यह लगभग प्रत्येक स्थान पर संतत हो।
स्पष्टीकरण :
f: [a, b] → R, संतत है, तो f को [a, b] पर समाकलनीय होना चाहिए।
अतः (3) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 7:
नाम संख्या U(P, f) और L(P, f) क्या हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
रीमैन समाकल में, यदि f(x) एक फलन है और P एक बंद अंतराल पर एक विभाजन है तो U(P, f) को उच्चतम रीमैन योग कहा जाता है और L(P, f) को निम्नतम रीमैन योग कहा जाता है।
अतः (4) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 8:
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n}{k^2+n^2}\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n}{k^2+n^2}\)
= \(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{n}{n^2(1+\frac{k^2}{n^2})}\)
= \(\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^n\frac{1}{(1+\frac{k^2}{n^2})}\)
= \(\int_0^1\frac1{1+x^2}dx\)
= \([\tan^{-1}x]_0^1\)
= π/4
अतः विकल्प (4) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 9:
माना f(x), f(x) = \(\begin{cases}x^2, x \text{ is rational}\\x^3, x \text{ is irrational}\end{cases}\) , x ∈ [0, 1] द्वारा परिभाषित है
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
एक फलन f रीमैन समाकल है यदि और केवल यदि f(x) के असंततता के गणनीय बिंदु हैं।
स्पष्टीकरण:
f(x) = \(\begin{cases}x^2, x \text{ is rational}\\x^3, x \text{ is irrational}\end{cases}\) , x ∈ [0, 1]
इसलिए f केवल 0, 1 पर संतत है
इसलिए f के [0, 1] में असंततता के बिंदुओं की अगणनीय संख्या है
अतः, f, [0, 1] पर रीमैन समाकलनीय नहीं है
(3) सही है
Riemann Sums and Riemann Integral Question 10:
यदि फ़ंक्शन \(f(x) = \begin{cases} x & x \in [0,1] \cap Q \\ 1-x & x \in [0,1] \cap Q^c \\ \end{cases}\) फिर 
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 10 Detailed Solution
अवधारणा -
यदि फ़ंक्शन \(f(x) = \begin{cases} h(x) & x \in [0,1] \cap Q \\ g(x) & x \in [0,1] \cap Q^c \\ \end{cases}\) तो f(x) उन बिंदुओं पर निरंतर है जो समीकरण h(x) = g(x) को संतुष्ट करता है।
यदि फ़ंक्शन f(x) बेशुमार बिंदुओं पर निरंतर नहीं है तो f(x) रीमैन इंटीग्रेबल नहीं है।
स्पष्टीकरण -
हमारे \(f(x) = \begin{cases} x & x \in [0,1] \cap Q \\ 1-x & x \in [0,1] \cap Q^c \\ \end{cases}\)
अतः f(x) केवल x = 1 - x ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1/2 पर सतत है
इसलिए फलन केवल एक बिंदु पर निरंतर होता है और अनगिनत (अनंत बिंदुओं) पर असंतत होता है।
अतः फ़ंक्शन f(x) [0,1] पर रीमैन इंटीग्रेबल नहीं है।
अतः विकल्प (2) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 11:
यदि फ़ंक्शन \(f: R \to R\) को f(x) = [x] के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां [.] सबसे बड़े पूर्णांक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है तो सही विकल्प चुनें?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 11 Detailed Solution
अवधारणा -
(1) प्रत्येक मोनोटोन फ़ंक्शन में अधिकतम गणनीय असंतत बिंदु होते हैं।
(2) यदि फ़ंक्शन f(x) में गणनीय असंतत बिंदु हैं तो f(x) रीमैन इंटीग्रेबल है।
स्पष्टीकरण -
हमारे पास फ़ंक्शन f(x) = [x] है और हम सभी नीचे दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ जानते हैं
उपरोक्त ग्राफ से -
फ़ंक्शन f(x) पूर्णांक बिंदु पर स्पष्ट रूप से असंतत है क्योंकि ग्राफ़ सभी पूर्णांक बिंदुओं पर टूटा हुआ है। और यह कार्य भी बढ़ा रहा है।
इसलिए f(x) रीमैन पूर्णांक है
अतः विकल्प (3) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 12:
यदि f(x) को (0, 2) पर निम्नानुसार परिभाषित किया जाए,
f(x) = x + x2, जब x परिमेय है।
= x2 + x3, जब x अपरिमेय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 12 Detailed Solution
चूँकि, \((x+x^2)-(x^2+x^3)=x-x^3\)
\(=x(2-x^2)\)
इसलिए, (x + x2)-(x2+x3)\(\left\{\begin{matrix} >0, \ \text{if} \ 0 < x < 1 \\ < 0, \ \text{if} \ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.\)
यदि ir में M, और m, क्रमशः ir में दिए गए फलन f(x) की उपरि और निम्न सीमाएँ हैं, जहाँ ir का सामान्य अर्थ है, तो r के सभी मानों के लिए, हमें प्राप्त है:
Mr = \(\left\{\begin{matrix} {x + x^2}, \ \text{if} \ 0 < x < 1 \\ {x^2+x^3}, \ \text{if} \ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.\)
और माना \(ϕ(x)=\frac{1}{x^{1-m}}\)
इसलिए \(\frac{fx}{ϕ(x)\rightarrow1} \rm\) क्योंकि \(x \rightarrow 0\)
क्योंकि \(\int^{-1/2}_0ϕ (x)dx=\int^{1/2}_0\frac{1}{x^1-m}dx\)
0 पर अभिसारी है, यदि और केवल यदि,
1 - m < 1
⇔ 0 < m
⇒ \(\int^{1/2}_0x^{m-1}(1-x)^{(n-1)}dx\)
0 पर अभिसारी है, यदि और केवल यदि, m > 0
1 पर अभिसरण, हमें प्राप्त है,
f'(x) = xm-1(1-x)n-1
\(=\frac{x^{m-1}}{(1-x)^{1-n}}\)
और माना ϕ (x) = \(\frac{1}{1-x^{1-n}}\)
इसलिए \(\frac{f(x)}{ϕ(x)}\rightarrow1\) क्योंकि \(x \rightarrow 1\)
क्योंकि \(\int^1_{1/2} \phi (x) dx =\int^{1}_{1/2}\frac{1}{(1-x)^{1-n}}dx\)
अभिसारी है, यदि और केवल यदि,
1 - n < 1 ⇔ 0 < n
⇒ \(\int^1_{1/2}x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx\)
अभिसारी है, यदि और केवल यदि,
n > 0
इस प्रकार, \(\int^1_{x}x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx\) केवल m, n के धनात्मक मानों के लिए उपस्थित है।
और mr= \(\left\{\begin{matrix} x^2+x^3, \ \text{if} \ 0 < x < 1 \\ x+x^2, \ \text{if} \ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.\)
इसलिए, उपरि रीमान समाकल है,
\(= \int^1_0(x+x^2)dx+\int^2_1(x^2+x^3)dx\)
\(=\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})^1_0+(\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right)^2_1\)
\(=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+[\{\frac{8}{3}+\frac{16}{4}\}]- (\frac{1}{3}+\frac{1}{4})]\)
=\(\left(\frac{83}{12}\right)\)
इसलिए, निम्न रीमान समाकल है,
\(=\int^1_0(x^2+x^3)dx + \int^2_1(x+x^2)dx\)
\(=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right)^1_0+\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)^2_1\)
\(=\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+[\{\frac{4}{2}+\frac{8}{3}\}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right]\)
\(=\frac{53}{12}\)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 13:
मान लीजिए \(\chi_A(x)\) वह फलन है जो 1 है यदि x ∈ A और अन्यथा 0 है। f(x) = \(\sum_{n=1}^{200}\frac{1}{n^6}\chi_{[0, \frac n{200}]}(x)\) पर विचार कीजिए, जहाँ x ∈ [0, 1] है। तब निम्नलिखित में से कौन-सा सही नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 13 Detailed Solution
अवधारणा:
एक फलन f(x) रीमान समाकलनीय होता है यदि और केवल यदि इसके असांतत्य के बिंदुओं की संख्या परिमित हो।
व्याख्या:
f(x) = \(\sum_{n=1}^{200}\frac{1}{n^6}\chi_{[0, \frac n{200}]}(x)\), \(\chi_A(x)\) वह फलन है जो 1 है यदि x ∈ A और अन्यथा 0 है।
इसलिए f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{1^6}+\frac{1}{2^6}+...+\frac{1}{200^6}, 0\leq x\leq \frac{1}{200}\\ \frac{1}{2^6}+...+\frac{1}{200^6}, \frac{1}{200}\leq x\leq \frac{2}{200}\\...........................\\ \frac{1}{200^6}, \frac{199}{200}\leq x\leq \frac{200}{200}\end{cases}\)................((i)
इसलिए यहाँ हम देख सकते हैं कि f(x) सभी बिंदुओं \(\frac{n}{200}\) पर संतत नहीं है, जहाँ n = 1, 2, ..., 200
(3) सही नहीं है।
इसलिए यहाँ हम देख सकते हैं कि f(x) में असांतत्य के परिमित बिंदु हैं।
अतः f(x) [0, 1] पर रीमान समाकलनीय है।
(1) सही है।
प्रत्येक रीमान समाकल, लेबेग समाकल होता है।
इसलिए (2) सही है।
इसके अलावा (i) से हम देख सकते हैं कि f(x) एकदिष्ट है।
(4) सही है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 14:
यदि किसी परिमेय संख्या x के लिए f(x) = 1/q और अन्यथा 0 है, तो निम्न समाकलन ज्ञात कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 14 Detailed Solution
हल-
मान लीजिए [a,b] दिया गया समाकलन A है, [a,b] का विभाजन P परिमित बिंदुओं का समुच्चय है।
\(a = x_o \leq x_1\leq x_2... 0= b\)
\(L(P,f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i\)
यहाँ x और 0 में इन्फ़िमम o है इसलिए \(\frac{1}{q} \ at \ infimum \ is \ 0\)
तब, \(L(P,f) = 0\)
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।
Riemann Sums and Riemann Integral Question 15:
सही कथन का चयन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Riemann Sums and Riemann Integral Question 15 Detailed Solution
अवधारणा -
(i) प्रत्येक सतत फलन रीमैन समाकलनीय है क्योंकि इसमें 0 असंतत बिंदु हैं।
(ii) प्रत्येक मोनोटोन फलन में अधिकतम गणनीय असंततता होती है।
(iii) यदि फलन में गणनीय असंततता है तो फलन रीमैन समाकलनीय है।
व्याख्या:
विकल्प (1) के लिए -
यदि फलन अंतराल में बढ़ रहा है तो यह उसके प्रत्येक उपअंतराल में भी बढ़ रहा है।
इसलिए, यह एक गलत विकल्प है।
अतः उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है -
विकल्प (4) सही है।