Factorial and its Properties MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Factorial and its Properties - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

संख्या, n = 50

अभाज्य संख्या, p = 3

50! में 3 का घातांक निम्नवत दिया गया है,

\(B = \left\lfloor \frac{50}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{3^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{3^4} \right\rfloor\)

\(B = \left\lfloor \frac{50}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{9} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{27} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{81} \right\rfloor\)

\(B = 16 + 5 + 1 + 0 = 22\)

∴ n का अधिकतम मान 22 है।

दिया गया है:

एक ताक पर पांच अलग-अलग किताबें (A, B, C, D और E) रखी जानी हैं।

किताबों C और D को पहले और दूसरे ताक के दायें से शुरू करके व्यवस्थित किया जाना है।

गणना:

चूँकि पुस्तकें C और D को स्वयं के दायें से शुरू करते हुए पहले और दूसरे स्थान पर व्यवस्थित किया गया है,

∴ केवल पुस्तकें A, B और E ही क्रम बदल देंगी।

इस प्रकार, एक व्यवस्था समस्या में 3 गुना शामिल है और विभिन्न क्रमों की संख्या 3 द्वारा दी गई है!

इसलिए, पुस्तकों A, B और E को जिन विभिन्न आदेशों में व्यवस्थित किया जा सकता है, उनकी संख्या 3 है!

∴ विकल्प 2 सही है।

व्याख्या:

दी गई स्थिति से,

\({{\frac{(2 n) !}{3 !(2 n-3) !}}\over{\frac{n !}{2 !(n-2) !}}}={44\over 3}\)

⇒ \({{\frac{(2 n) (2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3 .2.1.(2 n-3) !}}\over{\frac{n(n-1)(n-2) !}{2.1.(n-2) !}}}={44\over 3}\)

⇒ \({{\frac{(2 n) (2n-1)(2n-2)}{3 .2.1}}\over{\frac{n(n-1)}{2.1}}}={44\over 3}\)

⇒ \({\frac{2n(2n-1).2(n-1)}{6}\times{2\over n(n-1)}}={44\over 3}\)

⇒ 2n - 1 = 11

⇒ 2n = 12 ⇒ n = 6  

अतः विकल्प (2) सही है। 

गणना:

(n+2) ! = 2550 × n !

(n + 2).(n + 1).n ! = 2550 n!

(n + 2).(n + 1) = 51 × 50

दोनों पक्षों की तुलना करने पर

n + 1 = 50

∴ n = 49

गणना:

n+1Cr+1 ∶ nCr ∶ n-1Cr-1 = 11 ∶ 6 ∶ 3

माना, n+1Cr+1 : ⁿC_r = 11 : 6

⇒ \(\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}×\frac{(n-r)!r!}{n!}= \frac{11}{6}\) 

⇒ \(\frac{n+1}{r+1}=\frac{11}{6}\)

⇒ 6n + 6 = 11r + 11

⇒ 6n = 11r + 5 ...(i)

अब, nCr ∶ n-1Cr-1 = 6 ∶ 3

⇒ \(\frac{n!}{r!(n-r)!}×\frac{(n-r)!(r-1)!}{(n-1)!}= \frac{6}{3}\)

⇒ \(\frac{n}{r}=\frac{6}{3}\)

⇒ n = 2r ...(ii)

समीकरण (i) में n का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

12r = 11r + 5

⇒ r = 5

⇒ n = 2(5) = 10

∴ nr = 5×10 = 50

∴ nr का मान 50 है। 

संकल्पना:

n! = n × (n - 1) × ...... × 1

गणना:

यहाँ, हमें n का मान इस प्रकार ज्ञात करना है जिससे (n + 2)! = 60 × (n - 1)! हो। 

चूँकि हम जानते हैं कि, n! = n × (n - 1) × ...... × 1

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n × (n - 1)! = 60 × (n - 1)!

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n = 60

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n = 5 × 4 × 3

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n = (3 + 2) × (3 + 1) × n

⇒ n = 3

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

n! = n × (n - 1) × ...... × 1

गणना:

यहाँ, हमें n का मान इस प्रकार ज्ञात करना है जिससे (n + 2)! = 2550 × n! हो। 

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n! = 2550 × n!

⇒ n2 + 3n + 2 = 2550

⇒ n2 + 3n - 2548 = 0

⇒ n2 + 52n - 49n - 2548 = 0

⇒ n( n + 52) - 49 × (n + 52) = 0

⇒ (n + 52) × (n - 49)  = 0

⇒ n = - 52 या 49

∵ n ∈ N ⇒ n = 49

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

n! = n × (n - 1) × ...... × 1

गणना:

यहाँ, हमें n का मान इस प्रकार ज्ञात करना है जिससे (n + 2)! = 30 × n! हो। 

⇒ (n + 2) × (n + 1) × n! = 30 × n!

⇒ n² + 3n + 2 = 30

⇒ n2 + 3n - 28 = 0

⇒ n² + 7n - 4n - 28 = 0

⇒ n( n + 7) - 4(n + 7) = 0

⇒ (n - 4) × (n + 7) = 0

⇒ n = 4 या - 7

∵ n ∈ N ⇒ n = 4

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

प्रयुक्त सूत्र:

• C(n,r) = \(\rm \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

• यदि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं तो 2b = a + c

​गणना:

प्रश्न के अनुसार C(n, 4), C(n, 5) और C(n, 6) समान्तर श्रेणी में हैं

2 C(n, 5) = C(n, 4) + C(n, 6) 

⇒ 2 × \(\rm \frac{n!}{5!(n-5)!}\) = \(\rm \frac{n!}{4!(n-4)!}\) + \(\rm \frac{n!}{6!(n-6)!}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{60(n-5)(n - 6)!} = \frac{1}{24(n-4)(n - 5)(n - 6)!} + \frac{1}{720(n - 6)!}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{5} - \frac{1}{2(n-4)} = \frac{n - 5}{60}\)

⇒ 6(2n - 13) = n2 + 20 - 9n

⇒ n2 - 21n + 98 = 0

⇒ n = 14, 7

∴ n का मान 7 है।

अवधारणा:

n! = n × (n - 1) × ...... × 1

गणना:

दिया हुआ: \(\frac{1}{{5!}} + \frac{1}{{6!}} = \frac{x}{{7!}}\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, n! = n × (n - 1) × ...... × 1

⇒ \(\frac{1}{{5!}} + \frac{1}{{6\; \times \;5!}} = \frac{x}{{7 \;\times\; 6\; \times\; 5!}}\)

⇒ \(\frac{1}{{5!}} \times \left( {1 + \frac{1}{{6}}} \right) = \frac{1}{{5!}} \times \frac{x}{{42}}\)

⇒ \(1 + \frac{1}{{6}} = \frac{x}{{42}}\)

⇒ x = 49

अत: विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

n! = n × (n - 1) × ...... × 1

गणना:

यहाँ, हमें n का मान इस प्रकार ज्ञात करना है जिससे (n + 1)! = 12 × (n - 1)! हो। 

चूँकि हम जानते हैं कि, n! = n × (n - 1) × ...... × 1

⇒ (n + 1) × n × (n - 1)! = 12 × (n - 1)!

⇒ n × (n + 1) = 12

⇒ n2 + n - 12 = 0

⇒ n2 + 4n - 3n - 12 = 0

⇒ n(n + 4) - 3(n + 4) = 0

⇒ (n - 3) × (n + 4) = 0

⇒ n = 3 या -4

∵ n ∈ N ⇒ n = 3

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

• एक प्राकृतिक संख्या n के क्रमगुणित को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n।
• 0! = 1।

गणना:

हमारे पास है:

(n + 1)! = 12 × (n – 1)!

⇒ (n + 1) × n × (n - 1)! = 12 × (n - 1)!

⇒ (n + 1) × n = 12

⇒ n2 + n - 12 = 0n

⇒ n2 + 4n - 3n - 12 = 0

⇒ n(n + 4) - 3(n + 4) = 0

⇒ (n + 4)(n - 3) = 0

⇒ n + 4 = 0 या n - 3 = 0

⇒ n = -4 या n = 3

चूंकि n को एक प्राकृतिक संख्या होना चाहिए, n = 3 ।

संकल्पना:

nC_r = \(\rm \frac{n!}{r! (n-r)!}\)

nCr = nCn- r

गणना

चूँकि हम जानते हैं nCr = \(\rm \frac{n!}{r! (n-r)!}\)

इसलिए, nCn = \(\rm \frac{n!}{n! (n-n)!} = \frac {1}{0!} = 1\)

संकल्पना:

• क्रमगुणित (n!) को पहली n प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है। 
• n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1.

गणना:

हम जानते हैं कि (n + 1)! = (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1 = (n + 1) × n!

\(\rm \therefore \dfrac{n!(n-1)!}{(n+1)!}=\dfrac{n!\times (n-1)!}{(n+1)\times n!}=\dfrac{(n-1)!}{n+1}\)

गणना:

(n+2) ! = 2550 × n !

(n + 2).(n + 1).n ! = 2550 n!

(n + 2).(n + 1) = 51 × 50

दोनों पक्षों की तुलना करने पर

n + 1 = 50

∴ n = 49