लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for LCM and HCF - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

a = 2³ x 3

b = 2 x 3² x 5

c = 3 x 5ⁿ

LCM(a, b, c) = 2³ x 3² x 5

प्रयुक्त सूत्र:

LCM दी गई संख्याओं में आने वाले प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर निर्धारित किया जाता है।

गणना:

अभाज्य गुणनखंडन:

a = 2³ x 3

b = 2¹ x 3² x 5¹

c = 3¹ x 5ⁿ

LCM प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर प्राप्त किया जाता है:

2 के लिए: अधिकतम घात = 2³

3 के लिए: अधिकतम घात = 3²

5 के लिए: अधिकतम घात = 5ⁿ

चूँकि दिया गया LCM 2³ x 3² x 5¹ है, हम तुलना करते हैं:

5ⁿ = 5¹

घातांक की तुलना करने पर, n = 1.

∴ n का मान 1 है।

दिया गया है:

नीम के पेड़ = 52

ओक के पेड़ = 78

बरगद के पेड़ = 104

प्रयुक्त सूत्र:

पंक्तियों की संख्या = कुल पेड़ / पेड़ों का महत्तम समापवर्तक (GCD)

गणना:

52, 78 और 104 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए:

52 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 13

78 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 13

104 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 13

उभयनिष्ठ गुणनखंड = 2 × 13 = 26

⇒ HCF = 26

नीम के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 52 / 26 = 2

ओक के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 78 / 26 = 3

बरगद के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 104 / 26 = 4

कुल पंक्तियाँ = 2 + 3 + 4 = 9

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल 1500 है और उनका महत्तम समापवर्तक 10 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

1. यदि A और B का महत्तम समापवर्तक P है, तो A = P × m और B = P × n होगा। (जहाँ m और n स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक हैं और वे एक-दूसरे के सह-अभाज्य हैं)

2. लघुत्तम समापवर्त्य × महत्तम समापवर्तक = दो संख्याओं का गुणनफल

3. लघुत्तम समापवर्त्य दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज होता है।

गणना:

मान लीजिए, संख्याएँ क्रमशः 10p और 10q हैं। (जहाँ p और q एक दूसरे के सह-अभाज्य हैं)

मान लीजिए कि इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य K है।

अवधारणा के अनुसार,

K × 10 = 1500

⇒ K = 150

इसलिए,

(10p, 10q) का लघुत्तम समापवर्त्य = 150

⇒ 10 × p × q = 150

⇒ pq = 15

चूँकि p और q एक-दूसरे के सह-अभाज्य हैं, इसलिए संभावित युग्म हैं: p = 5, q = 3 और p = 1, q = 15

∴ ऐसे संभावित युग्मों की संख्या 2 है।

दिया गया है:

भिन्न: 1/3, 7/6, 5/9, 4/27, 8/15

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों के LCM की गणना निम्नानुसार की जाती है:

भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

गणना:

चरण 1: अंश और हरों की पहचान कीजिए:

अंश: 1, 7, 5, 4, 8

हर: 3, 6, 9, 27, 15

चरण 2: अंशों के LCM की गणना कीजिए:

(1, 7, 5, 4, 8) का LCM = 280

चरण 3: हरों के HCF की गणना कीजिए:

(3, 6, 9, 27, 15) का HCF = 3

चरण 4: भिन्नों के LCM की गणना कीजिए:

LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

LCM = 280 / 3

दी गई भिन्नों का LCM 280/3 है।

दिया गया है:

पाँच घंटियों के बजने के अंतराल: 6, 5, 7, 10 और 12 सेकंड

प्रयुक्त सूत्र:

घंटियों के एक साथ बजने की संख्या, दिए गए समय सीमा में उनके अंतराल के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा निर्धारित की जाती है।

LCM = लघुत्तम समापवर्त्य

गणना:

6, 5, 7, 10 और 12 का LCM

अभाज्य गुणनखंड:

6 = 2 × 3

5 = 5

7 = 7

10 = 2 × 5

12 = 22 × 3

LCM = 22 × 3 × 5 × 7

⇒ LCM = 4 × 3 × 5 × 7

⇒ LCM = 420 सेकंड

1 घंटा = 3600 सेकंड

1 घंटे में वे एक साथ कितनी बार बजेंगे:

शुरुआत को छोड़कर:

3600 / 420 = 8.57

⇒ 8 बार

सही उत्तर विकल्प 2 है। 

दिया गया है:

लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

दिया गया है:

चार घंटियाँ शुरुआत में एक साथ बजती हैं और क्रमशः 6 सेकंड, 12 सेकंड, 15 सेकंड और 20 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं।

अवधारणा:

ल.स.प.: यह एक संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं की गुणज होती है।

गणना:

(6, 12, 15, 20) का ल.स.प. = 60

सभी 4 घंटियाँ हर 60 सेकंड के बाद पुनः एक साथ बजती हैं

अब,

2 घंटे में, वे एक साथ बजती हैं = [(2 × 60 × 60) / 60] बार + 1 (शुरुआत में) = 121 बार

∴   2 घंटे में वे 121 बार एक साथ बजती हैं

Mistake Points

इस प्रकार के प्रश्न में हम मान लेते हैं कि हमने पहली घंटी बजने के बाद गिनना शुरू किया है। इसके कारण जब हम ल.स.प. की गणना करते हैं तो यह हमें दूसरी बार घंटी बजना देता है पहली बार की नहीं। इसलिए, हमें 1 जोड़ने की आवश्यकता होती है।
  

दिया गया है:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

गणना:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

अब हमें समय अंतराल पर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना होगा।

⇒ (12, 15, 20, 30) का LCM = 60

8 घंटे में कुल सेकंड = 8 × 3600 = 28800

घंटी के बजने की संख्या = 28800/60

⇒ घंटी के बजने की संख्या = 480

यदि प्रारंभ में चार घंटियाँ एक साथ बजती हैं।

⇒ 480 + 1 

∴ घंटियां 8 घंटे में 481 बार बजतीं है।

Mistake Pointsएक साथ घंटियाँ बजने लगती हैं, पहली बार घंटी के बजने को भी गिनना पड़ता है, पहली बार के बाद से घंटी के बजने की संख्या है।

हम जानते हैं कि,

दो संख्याओं का गुणनफल = ल.स. × उन संख्याओं का म.स.

माना कि दूसरी संख्या x है।

24 × x = 168 × 6

x = 6 × 7

दिया गया है:

24 आम के पेड़, 56 सेब के पेड़ और 72 संतरे के पेड़ पंक्तियों में इस तरह लगाए जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में केवल एक ही किस्म के पेड़ों की संख्या समान हो।

गणना:

24 आम के पेड़, 56 सेब के पेड़ और 72 संतरे के पेड़ हैं।

पंक्तियों की न्यूनतम संख्या प्राप्त करने के लिए, हमें प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम पेड़ चाहिए।

प्रत्येक पंक्ति में, हमें समान संख्या में वृक्षों की आवश्यकता होती है।

तो हमें महत्तम समापवर्तक की गणना करने की जरूरत है।

24, 56 और 72 का महत्तम समापवर्तक

⇒ 24 = 2³ × 3

⇒ 56 = 2³ × 7

⇒ 72 = 2³ × 3²

महत्तम समापवर्तक = 2³ = 8

न्यूनतम पंक्तियों की संख्या = (24 + 56 + 72)/8 = 152/8

⇒ 19

∴ सही चुनाव विकल्प 3 होगा।

दिया है:

म.स.प. = 24

ल.स.प. = 168

संख्याओं का अनुपात = 1 ∶ 7.

सूत्र:

संख्याओं का गुणनफल = ल.स.प. × म.स.प.

गणना:

माना कि संख्याएं x और 7x हैं।

x × 7x = 24 × 168

⇒ x² = 24 × 24

⇒ x = 24

∴ बड़ी संख्या = 7x = 24 × 7 = 168

दिया गया है

संख्या का महत्तम समापवर्त्य = 13

संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य = 585

गणना:

संख्या 13a और 13b है जहां a और b सह अभाज्य हैं।

13a और 13b का लघुत्तम समापवर्त्य = 13ab

प्रश्न के अनुसार, 13ab = 585

⇒ ab = 45

⇒ ab = 5 × 9

⇒ a = 5 और b = 9 या a = 9 और b = 5

⇒ पहली संख्या = 13a

⇒ पहली संख्या = 13 × 5

⇒ पहली संख्या = 65

⇒ दूसरी संख्या = 13b

⇒ दूसरी संख्या = 13 × 9

⇒ दूसरी संख्या = 117

अभीष्ट अंतर = 117 - 65 = 52

∴ अभीष्ट अंतर = 52

दिया है:

550 और 700 के बीच की संख्या इस प्रकार है कि जब उन्हें 12, 16 और 24 से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक दशा में शेष 5 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

LCM लघुतम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधि है।

गणना:

⇒ 12, 16 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य = 48

550 से बड़े 48 के गुणज जिनका शेषफल 5 है।

⇒ पहली संख्या = 48 x 12 + 5 = 581

⇒ दूसरी संख्या = 48 x 13 + 5 = 629

⇒ तीसरी संख्या = 48 x 14 + 5 = 677

⇒ इन संख्याओं का योग = 581 + 629 + 677 = 1887

⇒ अतः, संख्याओं का योग 1887 है।

Shortcut Trick विकल्प विलोपन विधि: शेषफल 5 को हर संख्या से घटाने का तात्पर्य है कि विकल्प 15 में हमें घटाना है क्योंकि तीनों संख्याओं का योग दिया हुआ है।

इस स्थिति में केवल 3, कोई संभावित स्थिति नहीं है।

इसलिए हमें 15 घटाना है और फिर 16 और 3 की विभाज्यता की जांच करनी है।

इस्तेमाल किया फॉर्मूला:

एन (ए∪बी) = एन (ए) + एन (बी) - एन (ए∩बी)

गणना:

100 को 3 से भाग देने पर हमें 33 . का भागफल प्राप्त होता है

3 के गुणजों की संख्या, n(A) = 33

100 को 4 से भाग देने पर हमें 25 . का भागफल प्राप्त होता है

4 के गुणजों की संख्या, n(B) = 25

3 और 4 का एलसीएम 12 . है

100 को 12 से भाग देने पर 8 . का भागफल प्राप्त होता है

12 के गुणजों की संख्या, n(A∩B) = 8

वह संख्या जो 3 या 4 का गुणज है = n(A∪B)

अब, n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

33 + 25 - 8

50

3 या 4 की कुल संख्या 50 है

प्रयुक्त अवधारणा:

भिन्न का लघुत्तम समापवर्त्य = अंश का लघुत्तम समापवर्त्य/हर का महत्तम समापवर्तक

गणना:

\(\frac{2}{4}, \frac{5}{6}, \frac{10}{8}\)=  \(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{5}{4}\)

⇒ (1, 5, 5) का लघुत्तम समापवर्त्य = 5

⇒ (2, 6, 4) का महत्तम समापवर्तक = 2

⇒ \(\dfrac{LCM\; of\;(1,5,5)}{HCF\;of\;(2,4,6)}\) = 5/2

∴ सही उत्तर 5/2 है।

Mistake Points कृपया ध्यान दें कि लघुत्तम समापवर्त्य का मतलब न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज होता है। लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं (2/4, 5/6, 10/8) से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

इस प्रकार के प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप उनके सूत्रों का उपयोग करने से पहले भिन्नों को उनके न्यूनतम रूपों में लिख दें, अन्यथा, आपको गलत उत्तर मिल सकता है।

यदि हम भिन्नों को उनके निम्नतम रूपों में नहीं लिखते हैं तो लघुत्तम समापवर्त्य 5 है लेकिन इन 3 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 5/2 है।