Three Dimensional Geometry MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Three Dimensional Geometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

समतल बिंदु \(P(1, 1, 1)\) से गुजरता है और दिक् अनुपात \( (3, 2, 1) \) वाली रेखा के लंबवत है।

समतल की सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

\(Ax + By + Cz = D\), जहाँ \( (A, B, C) \) समतल के अभिलम्ब के दिशा अनुपात हैं।

चूँकि समतल रेखा के लंबवत है, इसलिए समतल का अभिलम्ब सदिश \( (3, 2, 1) \) है।

इस प्रकार, समतल की समीकरण बन जाता है:

\( 3x + 2y + z = D \).

\( D \) ज्ञात करने के लिए, बिंदु \( (1, 1, 1) \) को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\( 3(1) + 2(1) + 1 = D \), जो सरल होकर निम्नवत हो जाता है:

\( 3 + 2 + 1 = D \),

\( D = 6 \).

इसलिए, समतल का समीकरण \( 3x + 2y + z = 6 \) है।

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

रेखा समीकरण है: \( \frac{x+1}{p} = \frac{y-1}{q} = \frac{z-2}{r} \), जहाँ p = 2q = 3r है।

रेखा y-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण θ बनाती है।

दिक् कोज्याओं के बीच निम्न संबंध का उपयोग करते हुए

\( l = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}}, m = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}}, n = \frac{r}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}} \),

हम p = 3r और q = \(\frac{3r}{2} \) प्रतिस्थापित करते हैं।

y-अक्ष के साथ दिशांक कोज्या \( m = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}} \) द्वारा दी गई है।

\( m = \frac{\frac{3r}{2}}{\sqrt{(3r)^2 + \left(\frac{3r}{2}\right)^2 + r^2}} = \frac{\frac{3r}{2}}{\sqrt{9r^2 + \frac{9r^2}{4} + r^2}} = \frac{\frac{3r}{2}}{\sqrt{\frac{49r^2}{4}}} = \frac{3}{7} \).

अब, कोज्या के द्वि-कोण सर्वसमिका \( \cos 2θ = 2 \cos^2 θ - 1 \) का उपयोग करने पर:

\( \cos 2θ = 2 \left( \frac{3}{7} \right)^2 - 1 = 2 \times \frac{9}{49} - 1 = \frac{18}{49} - 1 = \frac{-31}{49} \).

इसलिए, \( \cos 2θ \) का मान \( -\frac{31}{49} \) है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

हम जानते हैं कि \( \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1 \) ... (i)

और \( \cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta) = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \beta \)

प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर:

\( = \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta - 1 = 1 - \cos^{2} \gamma \quad \Rightarrow \quad - \cos^{2} \gamma \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

समतल का समीकरण है 

(x - 2y - z - 5) + b(x + y + 3z - 5) = 0 

\(\left|\begin{array}{lll} 1+b & -2+b & -1+3 b \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|=0\)

⇒ b = 12

∴ समतल 13x + 10y + 35z = 65

दिए गए बिंदु से समतल की दूरी = 9 

इसलिए, सही उत्तर 9 है। 

गणना:

सदिश \(\vec{PQ} \) है:

\( \vec{PQ} = (4 - (-3), 6 - 2, -2 - 3) = (7, 4, -5) \)

रेखा का दिक् सदिश \(\vec{d} \) (3, 3, -1) है।

तिर्यक गुणनफल \(\vec{PQ} \times \vec{d} \) है:

\( \vec{PQ} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 4 & -5 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = (11, -8, 9) \)

तिर्यक गुणनफल का परिमाण है:

\( |\vec{PQ} \times \vec{d}| = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + 9^2} = \sqrt{266} \)

दिक् सदिश \(\vec{d}\) = (3, 3, -1) का परिमाण है:

\( |\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{19} \)

अब, दूरी d है:

\( d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} = \frac{\sqrt{266}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{266}{19}} = \sqrt{14} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

सदिश का दिशा कोसाइन कोणों का वह कोसाइन होता है जो निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश रूप बनाता है। 

गणना:

Z - अक्ष X - अक्ष के साथ एक कोण 90°, Y - अक्ष के साथ 90°, और Z - अक्ष के साथ 0° बनाता है। 

∴ Z - अक्ष का दिशा कोसाइन: cos 90, cos 90, cos 0

अर्थात् 0, 0, 1 

अब z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग = 0 +  0 + 1 = 1 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

3. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

 l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4. दिशा अनुपात: कोई भी संख्याएँ जो किसी रेखा के दिशा कोसाइन के आनुपातिक होती है, उसे दिशा अनुपात कहा जाता है। इसे ’a’, 'b' और 'C' द्वारा दर्शाया जाता है।
5. a ∝ l, b ∝ m और c ∝ n ⇔ a = kl, b = km और c = kn जहां k एक स्थिरांक है।

गणना:

हमें sin2 α + sin2 β + sin2 γ का मूल्य खोजना होगा

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = 1

⇒ 1 - sin² α + 1 - sin² β + 1 - sin² γ = 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

⇒ 3 – (sin² α + sin² β + sin² γ) = 1

⇒ 3 – 1 = sin² α + sin² β + sin² γ

संकल्पना:

• माना कि A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A₁, B₁, C₁ और A₂, B₂, C₂ तल के लंब के दिशा अनुपात हैं, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(cos\theta = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|\)

गणना:

दिए गए तल x + 2y + z = 7 और 2x – y + z = 13 हैं। 

\(cos\theta = \left| {\frac{{1.2 - 2.1 + 1.1}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}} \right| = \frac{1}{6}\)

संकल्पना:

मान लीजिए θ ढलान वाली दो रेखाओं m₁ और m₂ के बीच का कोण है, तो रेखाओं के बीच का न्यून कोण निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(\tan θ = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot \ {m_2}}}} \right|\)

गणना:

मान लीजिए, रेखा (x - 2 = 0) का ढलान m1 है

तो,  m1 = ∞ 

और, रेखा  (√3x - y - 2 = 0) का ढलान m₂  है

तो, m2 = √3.

अब, दी गई रेखाओं के बीच का कोण θ है।

⇒ \(\tan θ = \left| {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{1 + {m_1} \cdot \ {m_2}}}} \right|\)

⇒ \(\tan θ = \left| {\frac{{\frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} - 1}}{{\frac{1}{{{m_1}}} + {m_2}}}} \right|\)

⇒ \(tan \ θ = \frac{1}{\sqrt 3}\)

⇒ θ = 30°

अत: सही विकल्प 2 है।

Alternate Method

रेखा 1 के लिए: x - 2 = 0 इसलिए, x = 2

चूंकि यह एक लंबवत रेखा है, ढलान अपरिभाषित है।

अत: θ1 = 90°

रेखा 2 के लिए:

√3x - y - 2 = 0

इस समीकरण की तुलना y = mx + c से करें

यह y = √3x + 2 हो जाता है,

इसलिए, m = √3 = tan θ2

अत: θ₂ = \(tan^{-1}{\sqrt 3}\) = 60°

अब, दो रेखाओं के बीच प्रतिच्छेदन का आलेख इस प्रकार खींचा जा सकता है

अत: रेखाओं के बीच न्यून कोण = θ1 – θ2 = 90° – 60° = 30°

अवधारणा:

माना दो पंक्तियाँ क्रमशः a1, b1, c1 और a2, b2, c2 वाली।

लम्बवत्त रेखाओं के लिए शर्त: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त: \(\rm \frac {a_1}{a_2} = \frac {b_1}{b_2} = \frac {c_1}{c_2}\)

गणना:

दी गई पंक्तियाँ निम्न हैं \(\frac{{{\rm{x}} - 2}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{ {{\rm{y}-3}}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\) और \(\frac{{{\rm{x}} - 2}}{8} = \frac{ {{\rm{y}-3}}}{6} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 2}}\)

पहली पंक्ति का दिशा अनुपात (2k, 3, -1) है और दूसरी पंक्ति का दिशा अनुपात (8, 6, -2) है

लाइनें समानांतर हैं;

इसलिए, \(\rm \frac {2k}{8} = \frac {3}{6} = \frac {-1}{-2}\)

⇒ \(\rm \frac {k}{4} = \frac {1}{2} = \frac {1}{2}\)

∴ k = 2

अवधारणा:

दिशा अनुपात के साथ एक रेखा का समीकरण जो बिंदु (x1, y1, z1) से होकर गुजरता है, जो निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

\(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\)

गणना:

दिया गया है कि: रेखा का समीकरण 2x = 3y = 5 - 4z है

हम पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को तुलना के लिए मानक रूप में परिवर्तित करेंगे, अर्थात हमें क्रमशः x, y, और z, अर्थात् 2, 3 और 4 के गुणांक से समाप्त करने की आवश्यकता है।

2, 3, और 4 का LCM 12 

उपरोक्त समीकरण को 12 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(⇒ \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{12}} = \frac{{5\ -\ 4z}}{{12}}\;\)

\(⇒ \frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{{z - \frac{5}{4}}}{{ - 3}}\;\)

उपरोक्त समीकरण के साथ \(\rm \frac{{x - {x_1}}}{a} = \frac{{y - {y_1}}}{b} = \frac{{z - {z_1}}}{c}\) की तुलना करने पर हमें मिलता है

⇒ a = 6, b = 4 और c = -3

तो, दी गई पंक्ति की दिशा अनुपात <6, 4, - 3> है

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः  a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं \(\frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{4 - {\rm{y}}}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\) और \(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)  हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

\( \Rightarrow \frac{{2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{ - \left( {{\rm{y}} - 4} \right)}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{y}} - 4}}{{ - 3}} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\)

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (k, -3, -1) है। 

\(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (1, k, 4) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (k × 1) + (-3 × k) + (-1 × 4) = 0

⇒ k – 3k – 4 = 0

⇒ -2k – 4 = 0

∴ k = -2

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण:

रेखाओं के बीच का कोण \(\rm \frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\) निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \cos θ = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\), जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ और c₂ दिशा अनुपात हैं। 

गणना:

दिया गया है:  \(\frac {x + 1}{2} = \frac {y - 2}{5} = \frac {z + 3}{4}\) और \(\frac {x - 1}{1} = \frac {y + 2}{2} = \frac {z - 3}{-3}\)

रेखाओं के दिशा अनुपात a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 4 और a₂ = 1, b₂ = 2 , c₂ = -3 हैं। 

चूँकि हम जानते हैं, रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है \(\rm \cos θ = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right)}}\)

\(\Rightarrow \rm \cos θ = \frac{{{2} \times {1} + {5}\times{2} + {4}\times{-3}}}{{\left( {\sqrt {2^2 + 5^2 + 4^2} } \right) ⋅ \left( {\sqrt {1^2 + 2^2 + (-3)^2} } \right)}} = 0\)

∴ θ = 90° 

धारणा:

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल

और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब, दूरी = \(\left| {\frac{{A{x_1}\; + \;B{y_1}\; + \;C{z_1} - \;d}}{{\sqrt {{A^2}\; + \;\;{B^2}\; + \;{C^2}} }}} \right|\)

गणना:

हमें समतल x – 3y + 2z + 13 = 0 से बिंदु (1, 2, 3) की दूरी ज्ञात करनी है

दूरी \(= \left| {\frac{{1\; \times \;1\; + \left( { - 3} \right)\; \times \;2\; + \;2\; \times \;3\; + \;13}}{{\sqrt {{1^2}\; + \;\;{{\left( { - 3} \right)}^2}\; + \;{{\left( 2 \right)}^2}} }}} \right|\)

\(= \left| {\frac{{1\; - 6\; + \;6\; + \;13}}{{\sqrt {1\; + \;\;9\; + \;4} }}} \right|\)

\(= \;\left| {\frac{14}{{\sqrt {14} }}} \right|\) = √14

धारणा:

• समतल का अन्तःखंड रूप निम्न द्वारा दिया जाता है ⇔ \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

जहाँ ‘a’ x- अन्तःखंड है, 'b' y- अन्तःखंड है और 'c' z- अन्तःखंड है।

गणना:

दिया हुआ:

समतल का समीकरण 5x + 2y + z – 13 = 0

⇒ 5x + 2y + z = 13

\(\Rightarrow \frac{{5{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}2{\rm{y\;}} + {\rm{\;z\;}}}}{{13}} = 1\)

\(\Rightarrow \frac{x}{{\frac{{13}}{5}}} + \frac{y}{{\frac{{13}}{2}}} + \frac{z}{{\frac{{13}}{1}}} = 1\)