हूक संधि से जुड़े परिचालक और परिचालित शाफ्ट एक दूसरे से α कोण पर झुके होते हैं। वह कोण जिससे परिचालक शाफ्ट घूमता है, वह θ है। दो शाफ्टों की समान चाल होने की शर्त निम्नलिखित में से क्या है?

संकल्पना:

• हूक संधि का उपयोग दो गैर-समानांतर और प्रतिच्छेदी शाफ्ट को जोड़ने के लिए किया जाता है।
• इसे सार्व संयुग्मन भी कहा जाता है।
• हूक संधि का उपयोग जिसका कोणीय असंरेखण है, उसके लिए गति और शक्ति संचारित करने के लिए किया जाता है।

नीचे दिए गए आरेख के संदर्भ में, एक सार्व संधि को दो असंरेखित शाफ्ट को α कोण पर जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है 

गणना:

ΔOC₁M से, 

\(\tan {\rm{\theta }} = \frac{{OM}}{{M{C_1}}}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

ΔOC₂­N से,

\(\tan \phi = \frac{{ON}}{{N{C_2}}}\)

∵ NC₂ = MC₁ 

\( ⇒ tan\phi = \frac{{ON}}{{M{C_1}}}\;\;\;\;\; \ldots \left( 2 \right)\)

OM = ON₁ × cosα      … (3)

∵ ON, AB के साथ प्रक्षेपित है,

⇒ ON₁ = ON

समीकरण (1), (2), and (3) द्वारा,

tanθ = tanϕ × cosα      … (4)

अब समीकरण (1) को समय के सापेक्ष अवकलित करके,

⇒ Sec²θ × ω₁ = cosα × sec²ϕ × ω₂

जहाँ,

\({{{\omega }}_1} = \frac{{{{d\theta }}}}{{{{dt}}}} = {{Angular\;velocity\;of\;the\;Driver\;shaft}}\)

\({\omega _2} = \frac{{d\phi }}{{dt}} = {{Angular\;velocity\;of\;the\;Driven\;shaft}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\theta \; \times \;cos\alpha \; \times \;{{\sec }^2}\phi }}\;\;\;\;\; \ldots \left( 5 \right)\)

समीकरण (4) का उपयोग करके,

\(\Rightarrow{\sec ^2}\phi = 1 + \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

\( \Rightarrow {\sec ^2}\phi = \frac{{1 - {{\cos }^2}\theta \times {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\theta \times {{\cos }^2}\alpha }}\;\;\;\;\; \ldots \left( 6 \right)\)

समीकरण (5) और (6) का उपयोग करके ϕ को विलुप्त करने के लिए, 

\(\frac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}} = \frac{{cos\alpha }}{{1 - {{\cos }^2}\theta \times {{\sin }^2}\alpha }}\;\;\;\;\; \ldots \left( 7 \right)\)

दो शाफ्टों की समान चाल होने की स्थिति,

⇒ ω₁ = ω₂

∴ समीकरण (7) का उपयोग करके,

\({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\theta = \frac{{1 - cos\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)      ...(8)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\theta = 1 - \frac{{1 - cos\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\theta = \frac{{cos\alpha }}{{1 + cos\alpha }}\)      ...(9)

समीकरण (8) और (9) का उपयोग करके,

\( \Rightarrow \;{\tan ^2}\theta = \frac{{cos\alpha \times {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

\( \Rightarrow tan\theta = \pm \sqrt {\left( {cos\alpha } \right)} \)

ध्यान दें:

हूक संधि में जब निवेश परिचालन शाफ्ट धुरी एक स्थिर गति से घूमती है तब निर्गत परिचालन शाफ्ट धुरी एक चर चाल से घूमती है, जिससे कंपन और घिसाव होता है। यह आरेख से ही समझा जा सकता है, कि परिचालक शाफ्ट का कोणीय घूर्णन (ϕ) परिचालित शाफ्ट के घूर्णन (θ) के समान नहीं है।