Linear Programming MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Linear Programming - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

সঠিক উত্তর হল কলকাতা

Key Points

• ভারতীয় রেল 18টি জোন এবং 73টি বিভাগে বিভক্ত।
• একজন বিভাগীয় রেলওয়ে ম্যানেজার (DRM) বিভাগটির প্রধান হন এবং তিনি জেনারেল ম্যানেজারকে (GM) রিপোর্ট করেন।
• একটি রেলওয়ে বিভাগ রেলওয়ের ক্ষুদ্রতম প্রশাসনিক ইউনিট।
• উত্তর জোন সবচেয়ে বড় জোন।

নীচে সমস্ত রেলওয়ে জোন এবং তাদের সদর দপ্তরের তালিকা দেওয়া হল:

ধারণা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা (LPP):

• লক্ষ্য অপেক্ষকের (যা অপ্টিমাইজ করতে হবে) আচরণ নিয়ন্ত্রণকারী 'n' সংখ্যক সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবল সনাক্ত করুন।
• সিদ্ধান্ত চলকগুলির উপর সীমাবদ্ধতাগুলির সেট সনাক্ত করুন এবং সেগুলিকে রৈখিক সমীকরণ/অসমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন। এটি n-মাত্রিক স্থানে আমাদের অঞ্চল নির্ধারণ করবে যার মধ্যে লক্ষ্য অপেক্ষকটি অপ্টিমাইজ করতে হবে।
• সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে অ-নেতিবাচকতার শর্ত আরোপ করতে ভুলবেন না অর্থাৎ, সেগুলির সবগুলিই ধনাত্মক হতে হবে কারণ সমস্যাটি একটি ভৌত ​​দৃশ্যপটকে উপস্থাপন করতে পারে এবং এই ধরনের চলক নেতিবাচক হতে পারে না।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে একটি রৈখিক সমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে গ্রাফিকভাবে (কোণ পদ্ধতি) বা গাণিতিকভাবে অপ্টিমাইজ করুন।

গণনা:

লক্ষ্য অপেক্ষক হল লাভ Z = 3x + 4y।

সীমাবদ্ধতা:

2x + y ≤ 4 ...... (1)

x + 2y ≥ 12...... (2)

x, y ≥ 0... ... (3)

গ্রাফ:

সমীকরণ (1) এবং (2) এর রেখাগুলি একসাথে সমাধান করে:

সমীকরণ (2) কে 2 দ্বারা গুণ করলে পাই, 2x + 4y ≥ 24 ..... (4)

সমীকরণ 1 থেকে সমীকরণ 4 বিয়োগ করে

-3y = -20

⇒ y = \(\frac{20}{3}\)

এটি সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করে পাই:

x = \(\frac{-4}{3}\)

∴ রেখাগুলি x = \(\frac{-4}{3}\), y = \(\frac{20}{3}\) বিন্দুতে ছেদ করে।

সমস্ত বিন্দু নিচে গ্রাফে দেখানো হয়েছে:

যেমনটি আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কোনো সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চল নেই, তাই প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সম্ভাব্য সমাধান থাকবে না।

ব্যাখ্যা:

প্রতিটি সীমাবদ্ধতাকে শূন্য (0) এ সমান করার পর আমরা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের রেখার সমীকরণ পাই।

(0,0) এর সাথে বৈষম্যের তুলনা করে এবং সাধারণ ক্ষেত্রকে ছায়া দিলে আমরা নিম্নরূপ সম্ভাব্য অঞ্চলটি পাই,

তাই আমরা সহজেই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে বিন্দু (60,0) এবং (0,100) সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরে।

Additional Information

সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরের বিন্দুগুলি উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনে অবদান রাখে না।

ধারণা:

পরিবহন সমস্যা হল রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা চাহিদার সংশ্লিষ্ট গন্তব্যে সরবরাহের প্রয়োজনীয় উত্সগুলির জন্য সংযুক্ত করা যেতে পারে, চূড়ান্ত লক্ষ্য হল সমষ্টিগত পরিবহন ব্যয় সীমিত করা।

ব্যাখ্যা:

যেকোনো পরিবহন সমস্যার অপরিহার্য পর্যায় হল প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান।

• প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অবশ্যই কার্যকর হতে হবে অর্থাৎ এটি অবশ্যই সমস্ত সরবরাহ এবং চাহিদার সীমাবদ্ধতা পূরণ করবে।
• ধনাত্মক বরাদ্দের সংখ্যা m+n-1 এর সমান হতে হবে যেখানে m হল সারি সংখ্যা এবং n হল কলাম সংখ্যা।

অ-ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান: একটি মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অ-ডিজেনারেট হয় যদি এতে পৃথক অবস্থানে ঠিক m+n-1 ধনাত্মক বরাদ্দ থাকে। যদি বরাদ্দকৃত সংখ্যা প্রয়োজনীয় সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে তাকে ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান বলা হয়। এই সমাধানটি পরিবর্তন করা সহজ নয়, কারণ প্রতিটি দখলকৃত কোষের জন্য একটি বন্ধ লুপ আঁকা অসম্ভব।

ব্যাখ্যা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং এর লেখচিত্র পদ্ধতি:

• উদ্দেশ্য ফাংশন: এটি এমন একটি ফাংশন যা আমাদের অপ্টিমাইজ করতে হবে অর্থাৎ হয় সর্বাধিক বা ছোট করতে হবে।
• সীমাবদ্ধতা: এগুলি হল সীমিত সংস্থান যার মধ্যে আমাদের উদ্দেশ্য ফাংশন অপ্টিমাইজ করতে হবে।
• সম্ভাব্য সমাধান: প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার অধীনে কাজ করা যেতে পারে এমন সমস্ত সমাধানকে "সম্ভাব্য সমাধান" বলা হয় এবং এই জাতীয় সমাধান সমন্বিত একটি অঞ্চলকে "সম্ভাব্য অঞ্চল" বলা হয়।
• সর্বোত্তম সমাধান: সর্বোত্তম মানে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন। সব সম্ভাব্য সমাধানের মধ্যে সর্বোত্তম সমাধান হল সর্বোত্তম।

লেখচিত্র পদ্ধতির ধাপ:

• সমস্যা চিহ্নিত করুন এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তনশীল, উদ্দেশ্য ফাংশন এবং সীমাবদ্ধতা সংজ্ঞায়িত করুন।
• একটি লেখচিত্র আঁকুন যাতে সমস্ত সীমাবদ্ধতা আছে এবং সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চল চিহ্নিত করুন।
• সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চলের প্রতিটি কোণ বিন্দু একটি সম্ভাব্য সমাধান উপস্থাপন করে ।
• একটি সম্ভাব্য অঞ্চলের মধ্যে বিন্দুটি খুঁজে বের করুন যা উদ্দেশ্য ফাংশনটিকে অপ্টিমাইজ করে। এই বিন্দুটি সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান।

উদাহরণ:

সর্বাধিক করুন z = 6x + 10y

x ≤ 4 সাপেক্ষে

y ≤ 6

3x + 2y ≤ 18

x ≥ 0, y ≥ 0

Z(0) = 0 + 0 = 0 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(A) = Z(4, 0) = 6 × 4 + 0 = 24 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(B) = Z(4, 3) = 6 × 4 + 10 × 3 = 54 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(C) = Z(2, 6) = 2 × 6 + 6 × 10 = 72 ⇒ সর্বোত্তম সমাধান

Z(D) = Z(0, 6) = 0 + 6 × 10 = 60 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

সঠিক উত্তর হল কলকাতা

Key Points

• ভারতীয় রেল 18টি জোন এবং 73টি বিভাগে বিভক্ত।
• একজন বিভাগীয় রেলওয়ে ম্যানেজার (DRM) বিভাগটির প্রধান হন এবং তিনি জেনারেল ম্যানেজারকে (GM) রিপোর্ট করেন।
• একটি রেলওয়ে বিভাগ রেলওয়ের ক্ষুদ্রতম প্রশাসনিক ইউনিট।
• উত্তর জোন সবচেয়ে বড় জোন।

নীচে সমস্ত রেলওয়ে জোন এবং তাদের সদর দপ্তরের তালিকা দেওয়া হল:

ব্যাখ্যা:

প্রতিটি সীমাবদ্ধতাকে শূন্য (0) এ সমান করার পর আমরা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের রেখার সমীকরণ পাই।

(0,0) এর সাথে বৈষম্যের তুলনা করে এবং সাধারণ ক্ষেত্রকে ছায়া দিলে আমরা নিম্নরূপ সম্ভাব্য অঞ্চলটি পাই,

তাই আমরা সহজেই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে বিন্দু (60,0) এবং (0,100) সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরে।

Additional Information

সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরের বিন্দুগুলি উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনে অবদান রাখে না।

ধারণা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা (LPP):

• লক্ষ্য অপেক্ষকের (যা অপ্টিমাইজ করতে হবে) আচরণ নিয়ন্ত্রণকারী 'n' সংখ্যক সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবল সনাক্ত করুন।
• সিদ্ধান্ত চলকগুলির উপর সীমাবদ্ধতাগুলির সেট সনাক্ত করুন এবং সেগুলিকে রৈখিক সমীকরণ/অসমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন। এটি n-মাত্রিক স্থানে আমাদের অঞ্চল নির্ধারণ করবে যার মধ্যে লক্ষ্য অপেক্ষকটি অপ্টিমাইজ করতে হবে।
• সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে অ-নেতিবাচকতার শর্ত আরোপ করতে ভুলবেন না অর্থাৎ, সেগুলির সবগুলিই ধনাত্মক হতে হবে কারণ সমস্যাটি একটি ভৌত ​​দৃশ্যপটকে উপস্থাপন করতে পারে এবং এই ধরনের চলক নেতিবাচক হতে পারে না।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে একটি রৈখিক সমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে গ্রাফিকভাবে (কোণ পদ্ধতি) বা গাণিতিকভাবে অপ্টিমাইজ করুন।

গণনা:

লক্ষ্য অপেক্ষক হল লাভ Z = 3x + 4y।

সীমাবদ্ধতা:

2x + y ≤ 4 ...... (1)

x + 2y ≥ 12...... (2)

x, y ≥ 0... ... (3)

গ্রাফ:

সমীকরণ (1) এবং (2) এর রেখাগুলি একসাথে সমাধান করে:

সমীকরণ (2) কে 2 দ্বারা গুণ করলে পাই, 2x + 4y ≥ 24 ..... (4)

সমীকরণ 1 থেকে সমীকরণ 4 বিয়োগ করে

-3y = -20

⇒ y = \(\frac{20}{3}\)

এটি সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করে পাই:

x = \(\frac{-4}{3}\)

∴ রেখাগুলি x = \(\frac{-4}{3}\), y = \(\frac{20}{3}\) বিন্দুতে ছেদ করে।

সমস্ত বিন্দু নিচে গ্রাফে দেখানো হয়েছে:

যেমনটি আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কোনো সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চল নেই, তাই প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সম্ভাব্য সমাধান থাকবে না।

গণনা:

চিত্র থেকে, দুটি বিন্দু সম্ভাব্য অঞ্চল A এবং B-তে আছে,

A (0, 1.33) এবং B (2, 0)-তে

Z_{সর্বোচ্চ} = 3x + 7y

সুতরাং, Z_A = 3 x 0 + 7 x 1.33 = 9.33 এবং

Z_B = 3 x 2 + 7 x 0 = 6

∴ Zসর্বোচ্চ = Z_A = 9.33

সুতরাং শুধুমাত্র একটির সর্বোচ্চ মান আছে। সুতরাং, এটির ঠিক একটি অনুকূল সমাধান আছে।

ধারণা:

পরিবহন সমস্যা হল রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা চাহিদার সংশ্লিষ্ট গন্তব্যে সরবরাহের প্রয়োজনীয় উত্সগুলির জন্য সংযুক্ত করা যেতে পারে, চূড়ান্ত লক্ষ্য হল সমষ্টিগত পরিবহন ব্যয় সীমিত করা।

ব্যাখ্যা:

যেকোনো পরিবহন সমস্যার অপরিহার্য পর্যায় হল প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান।

• প্রাথমিক মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অবশ্যই কার্যকর হতে হবে অর্থাৎ এটি অবশ্যই সমস্ত সরবরাহ এবং চাহিদার সীমাবদ্ধতা পূরণ করবে।
• ধনাত্মক বরাদ্দের সংখ্যা m+n-1 এর সমান হতে হবে যেখানে m হল সারি সংখ্যা এবং n হল কলাম সংখ্যা।

অ-ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান: একটি মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান অ-ডিজেনারেট হয় যদি এতে পৃথক অবস্থানে ঠিক m+n-1 ধনাত্মক বরাদ্দ থাকে। যদি বরাদ্দকৃত সংখ্যা প্রয়োজনীয় সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে তাকে ডিজেনারেট মৌলিক সম্ভাব্য সমাধান বলা হয়। এই সমাধানটি পরিবর্তন করা সহজ নয়, কারণ প্রতিটি দখলকৃত কোষের জন্য একটি বন্ধ লুপ আঁকা অসম্ভব।

ধারণা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার বৈশিষ্ট্য:

সমানুপাতিকতা → দুটি চলরাশির মধ্যে সম্পর্ক রৈখিক (বা) সমানুপাতিক বলে ধরে নেওয়া হয়।

অ-ঋণাত্মকতা → সমস্ত সিদ্ধান্তের চলরাশি এবং ডানপক্ষ মান প্রকৃতিতে অ-ঋণাত্মক।

সংযোজন → দুটি পার্থক্য চলরাশি যোগ করা যেতে পারে।

নিশ্চিততা → সমস্ত পরামিতি প্রকৃতিতে নির্ধারক এবং সম্পদ সীমিত।

সুতরাং, যেখানে অ-ঋণাত্মকতা একটি বৈশিষ্ট্য সেখানে ঋণাত্মকতা একটি বৈশিষ্ট্য নয়।

সঠিক উত্তর হল কলকাতা

Key Points

• ভারতীয় রেল 18টি জোন এবং 73টি বিভাগে বিভক্ত।
• একজন বিভাগীয় রেলওয়ে ম্যানেজার (DRM) বিভাগটির প্রধান হন এবং তিনি জেনারেল ম্যানেজারকে (GM) রিপোর্ট করেন।
• একটি রেলওয়ে বিভাগ রেলওয়ের ক্ষুদ্রতম প্রশাসনিক ইউনিট।
• উত্তর জোন সবচেয়ে বড় জোন।

নীচে সমস্ত রেলওয়ে জোন এবং তাদের সদর দপ্তরের তালিকা দেওয়া হল:

ব্যাখ্যা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং এর লেখচিত্র পদ্ধতি:

• উদ্দেশ্য ফাংশন: এটি এমন একটি ফাংশন যা আমাদের অপ্টিমাইজ করতে হবে অর্থাৎ হয় সর্বাধিক বা ছোট করতে হবে।
• সীমাবদ্ধতা: এগুলি হল সীমিত সংস্থান যার মধ্যে আমাদের উদ্দেশ্য ফাংশন অপ্টিমাইজ করতে হবে।
• সম্ভাব্য সমাধান: প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার অধীনে কাজ করা যেতে পারে এমন সমস্ত সমাধানকে "সম্ভাব্য সমাধান" বলা হয় এবং এই জাতীয় সমাধান সমন্বিত একটি অঞ্চলকে "সম্ভাব্য অঞ্চল" বলা হয়।
• সর্বোত্তম সমাধান: সর্বোত্তম মানে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন। সব সম্ভাব্য সমাধানের মধ্যে সর্বোত্তম সমাধান হল সর্বোত্তম।

লেখচিত্র পদ্ধতির ধাপ:

• সমস্যা চিহ্নিত করুন এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তনশীল, উদ্দেশ্য ফাংশন এবং সীমাবদ্ধতা সংজ্ঞায়িত করুন।
• একটি লেখচিত্র আঁকুন যাতে সমস্ত সীমাবদ্ধতা আছে এবং সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চল চিহ্নিত করুন।
• সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চলের প্রতিটি কোণ বিন্দু একটি সম্ভাব্য সমাধান উপস্থাপন করে ।
• একটি সম্ভাব্য অঞ্চলের মধ্যে বিন্দুটি খুঁজে বের করুন যা উদ্দেশ্য ফাংশনটিকে অপ্টিমাইজ করে। এই বিন্দুটি সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান।

উদাহরণ:

সর্বাধিক করুন z = 6x + 10y

x ≤ 4 সাপেক্ষে

y ≤ 6

3x + 2y ≤ 18

x ≥ 0, y ≥ 0

Z(0) = 0 + 0 = 0 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(A) = Z(4, 0) = 6 × 4 + 0 = 24 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(B) = Z(4, 3) = 6 × 4 + 10 × 3 = 54 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

Z(C) = Z(2, 6) = 2 × 6 + 6 × 10 = 72 ⇒ সর্বোত্তম সমাধান

Z(D) = Z(0, 6) = 0 + 6 × 10 = 60 ⇒ সম্ভাব্য সমাধান

ধারণা:

প্রদত্ত সম্ভাব্য অঞ্চলের জন্য সীমাবদ্ধতাগুলি চয়ন করুন:

• প্রথমে, সমীকরণ আকারে সীমাবদ্ধতাগুলি বের করুন তারপর আপনার ইচ্ছামতো একটি এলোমেলো অসমতা নিন।
• আমরা সঠিক অসমতা নিয়েছি কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, উভয় সমীকরণে (0,0) বসান এবং এই অসমতাটি সন্তুষ্ট করছে কিনা তা পরীক্ষা করুন।
• যদি এটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে তবে নির্বাচিত অসমতাটি সঠিক অন্যথায় নির্বাচিত অসমতা পরিবর্তন করুন

গণনা:

প্রদত্ত:

প্রদত্ত তথ্য থেকে,

x = y রেখাটি নির্দেশ করে যে এর উপরের অঞ্চলটি x ≤ y এবং x ≥ 0।

এছাড়াও x + y = 4 রেখা থেকে, এর নীচের অঞ্চলটি x + y ≤ 0।

অতএব, ছায়াযুক্ত অঞ্চলটি অসমতা x + y ≤ 0, x ≤ y, এবং x ≥ 0 দেখায়।

ব্যাখ্যা:

প্রতিটি সীমাবদ্ধতাকে শূন্য (0) এ সমান করার পর আমরা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের রেখার সমীকরণ পাই।

(0,0) এর সাথে বৈষম্যের তুলনা করে এবং সাধারণ ক্ষেত্রকে ছায়া দিলে আমরা নিম্নরূপ সম্ভাব্য অঞ্চলটি পাই,

তাই আমরা সহজেই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে বিন্দু (60,0) এবং (0,100) সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরে।

Additional Information

সম্ভাব্য অঞ্চলের বাইরের বিন্দুগুলি উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনে অবদান রাখে না।