Algebra MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Algebra - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Algebra MCQ Objective Questions
Algebra Question 1:
ℤ/99ℤ-এ 139 + 239 + 339 + ... + 9839 এর সমান কোনটি?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
যেহেতু a + b ≡ 0 (mod a + b) তাই, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) যেখানে m হল যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
ব্যাখ্যা:
139 + 239 + 339 + ... + 9839
এখানে 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)
সুতরাং, 139+ 9839 ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)
যোগ করে আমরা পাই
139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)
সুতরাং 139 + 239 + 339 + ... + 9839 ℤ/99ℤ-এ 0-এর সমান
(3) সঠিক
Algebra Question 2:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 x 4 ম্যাট্রিক্সের শ্রেণীতে, যেকোনো 3-সিলো উপগ্রুপের কার্ডিনালিটি আছে।
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 2 Detailed Solution
প্রদত্ত:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 x 4 ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ
ধারণা:
p উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল n × n ম্যাট্রিক্সের শ্রেণী হলে p-SSG-এর কার্ডিনালিটি p∑(n-1)
গণনা:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 × 4 ম্যাট্রিক্সের শ্রেণী
তাহলে 3-SSG-এর ক্রম হলো \(\rm 3^{\frac{4(4-1)}{2}}=3^6=729\)
সুতরাং বিকল্প (4) সঠিক।
Algebra Question 3:
যে কোনো পূর্ণসংখ্যা n ≥ 1 এর জন্য,
d(n) = n-এর ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা
v(n) = n-এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা
ω(n) = n-এর মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা (গুণনীয়ক সহ গণনা করা হয়)
[উদাহরণস্বরূপ: যদি p মৌলিক হয়, তাহলে d(p) = 2, v(p) = v(p2) = 1, \(ω\)(p2) = 2]
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
d(n) = n-এর ধনাত্মক উৎপাদকের সংখ্যা
v(n) = n-এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা
ω(n) = n-এর মৌলিক উৎপাদকের সংখ্যা (গুণনীয়ক সহ গণনা করা হয়)
n = p1r1p2r2........pkrk
তাহলে d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)
ω (n) = r1+ r2+........+ rk
v(n) = k
ব্যাখ্যা:
(1) n = (37)2
তাহলে ω(n) = 2
d(n) = 3
এবং log n = log (37)2 = 2log (37) > 3
অতএব, অপশন (1) সঠিক নয়।
(2) n = p1r1p2r2........pkrk
d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)
3√ n = 3\(p_1^{\frac{r_1}{2}}p_2^{\frac{r_2}{2}}........p_k^{\frac{r_k}{2}}\)
স্পষ্টতই d(n) ≤ 3√ n ∀ n ∈ N
অতএব, এমন কোনো n ∈ N এর অস্তিত্ব নেই যেখানে d(n) > 3√ n
অতএব, অপশন (2) সঠিক নয়।
(3) ধরা যাক n = p1r1p2r2........pkrk
d(n) = (r1+1)(r2+1)........(rk+k)
v(n) = k
ω (n) = r1+ r2+........+ rk
2v(n) = 2k, 2ω (n)= 2r1+r2+.....+rk
⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2r1+r2+.....+rk
⇒2v(n) ≤ d(n) ≤ 2ω(n)
অতএব, অপশন (3) সঠিক।
(4) n = 9 = 32
m = 3x7 = 21
ω(n) = ω(m) = 2
d(n) = 3
d(m) = 4
অতএব, d(n) ≠ d(m)
অতএব, অপশন (4) সঠিক নয়।
Algebra Question 4:
\(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা হল:
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 4 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
ফলাফল -
\(\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা = k
যেখানে k = \( \mathbb{Z}_{n} \)-তে m ক্রমের উপাদান সংখ্যা
এখন প্রশ্ন অনুযায়ী আমরা \(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা গণনা করতে চাই
এবং আমরা জানি যে \( \mathbb{Z}_{8} \)-তে 16 ক্রমের কোন উপাদান নেই
অতএব উত্তর হল 0।
অতএব বিকল্প (1) সত্য।
Algebra Question 5:
ধরা যাক (G, * ) এবং (G', o) দুটি গ্রুপ এবং \(f : G \to G'\) একটি হোমোমরফিজম, তাহলে ভুল বিকল্পটি চয়ন করুন?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 5 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
আমরা কিছু ফলাফল জানি -
ধরা যাক (G, * ) এবং (G', o) দুটি গ্রুপ এবং \(f : G \to G'\) একটি হোমোমরফিজম, তাহলে
(i) আইসোমরফিজমের সম্পর্ক একটি সমতুল্য সম্পর্ক।
(ii) হোমোমরফিজমের অধীনে অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের চিত্র অ্যাবেলিয়ান।
(iii) যদি a এর ক্রম সসীম হয় তবে এর অর্থ হল f(a) এর ক্রমও সসীম। যেখানে a হল G এর সদস্য।
(iv) যদি f(a) এর ক্রম সসীম হয় তবে a এর ক্রম সসীম নাও হতে পারে। যেখানে a হল G এর সদস্য।
(v) হোমোমরফিজমের অধীনে সাইক্লিক গ্রুপের চিত্র সাইক্লিক।
অতএব বিকল্প (4) সঠিক।
Top Algebra MCQ Objective Questions
ধরা যাক p একটি মৌলিক সংখ্যা। ধরা যাক G একটি গোষ্ঠী যেমন প্রতিটি g ∈ G-এর জন্য একটি n ∈ ℕ বিদ্যমান থাকে, যেমন gpn = 1। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি মিথ্যা?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
ধরা যাক φ(n) হলো সেট {a | 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1}-এর কার্ডিনালিটি, যেখানে (a, n) হলো a এবং n এর গসাগু। নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কোনটি সত্য নয়?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
একটি ম্যাপিং ϕ: \(\mathbb N\) → \(\mathbb N\), যা ϕ(n) = {x ∈ \(\mathbb N\) | 1 ≤ x
ϕ (pn) = pn - pn-1
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) যদি gcd(m, n) = 1 হয়
ব্যাখ্যা:
ϕ(n) সারণী:
| n+1 | ϕ(n+1) | n | ϕ(n) |
| 5 | 4 | 4 | 2 |
| 7 | 6 | 6 | 2 |
| 11 | 10 | 10 | 4 |
| 13 | 12 | 12 | 4 |
| 17 | 16 | 16 | 8 |
| 19 | 18 | 18 | 6 |
| 23 | 22 | 22 | 10 |
| 29 | 28 | 28 | 12 |
| 31 | 30 | 30 | 8 |
ϕ(n)-এর সারণী থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যদি আমরা n কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) > ϕ(n+1) এবং যদি আমরা n + 1 কে 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নিই, তাহলে ϕ(n) < ϕ(n+1)
∴ বিকল্প (1) এবং (2) সঠিক।
ϕ(n) সারণী:
| N | ϕ(N) | n | ϕ(n) |
| 6 | 2 | 7 | 6 |
| 6 | 2 | 8 | 4 |
| 6 | 2 | 9 | 6 |
| 6 | 2 | 10 | 4 |
| 6 | 2 | 11 | 10 |
| 6 | 2 | 12 | 4 |
| 6 | 2 | 13 | 12 |
| 6 | 2 | 14 | 6 |
| 6 | 2 | 15 | 8 |
সুতরাং, যদি আমরা N = 6 নিই, তাহলে সমস্ত n > 6 এর জন্য, আমরা ϕ(N) < ϕ(n) পাই।
সুতরাং বিকল্প (3) সঠিক।
সুতরাং, যে বিকল্পটি সত্য নয় সেটি হল (4)
Algebra Question 8:
ধরা যাক S = {n : 1 ≤ n ≤ 999; 3|n অথবা 37|n}. সেট Sc = {n : 1 ≤ n ≤ 999; n ∉ S}-এ কতগুলি পূর্ণসংখ্যা আছে?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 8 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে 1 ≤ n ≤ 999
পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{3}\right]\) = 333
পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 37 দ্বারা বিভাজ্য তা হলো
\(\left[\frac{999}{37}\right]\) = 27
3 এবং 37 এর LCM = 3 x 37 = 111
সুতরাং পূর্ণসংখ্যা n এর সংখ্যা যেমন 1 ≤ n ≤ 999 এবং 3 ও 37 উভয় দ্বারা বিভাজ্য তা হলো \(\left[\frac{999}{111}\right]\) = 9
সুতরাং S এ থাকা পূর্ণসংখ্যা = 333 + 27 - 9 = 351
অতএব Sc তে থাকা পূর্ণসংখ্যা = 999 - 351 = 648
∴ সেট Sc-এ পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা হলো 648।
Algebra Question 9:
ধরা যাক G একটি সসীম গ্রুপ। তাহলে G একটি চক্রাকার গ্রুপ হবে যদি G এর ক্রম হয়
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 9 Detailed Solution
ধারণা:
মৌলিক ক্রমের প্রতিটি গ্রুপ চক্রাকার হয়
অর্থাৎ, যদি G একটি গ্রুপ হয় যার ক্রম p, যেখানে p মৌলিক সংখ্যা, তাহলে G চক্রাকার হবে
ব্যাখ্যা:
দেওয়া বিকল্পগুলির মধ্যে,
7 একটি মৌলিক সংখ্যা
সুতরাং, যদি O(G) = 7 হয় তাহলে G চক্রাকার হবে।
অতএব, সঠিক বিকল্প হল বিকল্প (2)
Algebra Question 10:
\(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা হল:
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 10 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
ফলাফল -
\(\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা = k
যেখানে k = \( \mathbb{Z}_{n} \)-তে m ক্রমের উপাদান সংখ্যা
এখন প্রশ্ন অনুযায়ী আমরা \(\mathbb{Z}_{16} \to \mathbb{Z}_{8} \) থেকে এক-এক হোমোমরফিজমের সংখ্যা গণনা করতে চাই
এবং আমরা জানি যে \( \mathbb{Z}_{8} \)-তে 16 ক্রমের কোন উপাদান নেই
অতএব উত্তর হল 0।
অতএব বিকল্প (1) সত্য।
Algebra Question 11:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 x 4 ম্যাট্রিক্সের শ্রেণীতে, যেকোনো 3-সিলো উপগ্রুপের কার্ডিনালিটি আছে।
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 11 Detailed Solution
প্রদত্ত:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 x 4 ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ
ধারণা:
p উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল n × n ম্যাট্রিক্সের শ্রেণী হলে p-SSG-এর কার্ডিনালিটি p∑(n-1)
গণনা:
3টি উপাদানের ফিল্ডে এন্ট্রিসহ সমস্ত ইনভার্টেবল 4 × 4 ম্যাট্রিক্সের শ্রেণী
তাহলে 3-SSG-এর ক্রম হলো \(\rm 3^{\frac{4(4-1)}{2}}=3^6=729\)
সুতরাং বিকল্প (4) সঠিক।
Algebra Question 12:
ধরা যাক (G, * ) এবং (G', o) দুটি গ্রুপ এবং \(f : G \to G'\) একটি হোমোমরফিজম, তাহলে ভুল বিকল্পটি চয়ন করুন?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 12 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
আমরা কিছু ফলাফল জানি -
ধরা যাক (G, * ) এবং (G', o) দুটি গ্রুপ এবং \(f : G \to G'\) একটি হোমোমরফিজম, তাহলে
(i) আইসোমরফিজমের সম্পর্ক একটি সমতুল্য সম্পর্ক।
(ii) হোমোমরফিজমের অধীনে অ্যাবেলিয়ান গ্রুপের চিত্র অ্যাবেলিয়ান।
(iii) যদি a এর ক্রম সসীম হয় তবে এর অর্থ হল f(a) এর ক্রমও সসীম। যেখানে a হল G এর সদস্য।
(iv) যদি f(a) এর ক্রম সসীম হয় তবে a এর ক্রম সসীম নাও হতে পারে। যেখানে a হল G এর সদস্য।
(v) হোমোমরফিজমের অধীনে সাইক্লিক গ্রুপের চিত্র সাইক্লিক।
অতএব বিকল্প (4) সঠিক।
Algebra Question 13:
ধরা যাক p একটি মৌলিক সংখ্যা। ধরা যাক G একটি গোষ্ঠী যেমন প্রতিটি g ∈ G-এর জন্য একটি n ∈ ℕ বিদ্যমান থাকে, যেমন gpn = 1। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি মিথ্যা?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 13 Detailed Solution
ধারণা:
Algebra Question 14:
কোনটি প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যা যার জন্য একটি নন-অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ বিদ্যমান?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 14 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
আমাদেরকে প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য একটি নন-অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ বিদ্যমান-
আমরা 21 কে 7 × 3 হিসাবে লিখতে পারি যা মৌলিক সংখ্যার গুণিতক
এবং 3|6, তাই এটি একটি চক্রীয় গ্রুপের সাথে আইসোমরফিক হওয়ার সম্ভাবনা আছে
এবং একটি নন-অ্যাবেলিয়ান শ্রেণী
কিন্তু 23 এর ক্ষেত্রে, এটি একটি মৌলিক সংখ্যা যা শুধুমাত্র
\(Z_{23}\) এর সাথে আইসোমরফিক
এবং 27 এ এটি \(3^3\) যা অ্যাবেলিয়ান
এবং 33 এর জন্য আমরা 3.11 লিখতে পারি যেখানে (3-1) 11 কে ভাগ করে না
অতএব, সঠিক বিকল্পটি হল বিকল্প 3)।
Algebra Question 15:
ℤ/99ℤ-এ 139 + 239 + 339 + ... + 9839 এর সমান কোনটি?
Answer (Detailed Solution Below)
Algebra Question 15 Detailed Solution
ধারণা:
যেহেতু a + b ≡ 0 (mod a + b) তাই, \(a^{2m-1}+b^{2m-1}≡ 0\) (mod a+b) যেখানে m হল যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
ব্যাখ্যা:
139 + 239 + 339 + ... + 9839
এখানে 1 + 98 ≡ 0 (mod 99), 2 + 97 ≡ 0 (mod 99), 3 + 96 ≡ 0 (mod 99), ....49 + 50 ≡ 0 (mod 99)
সুতরাং, 139+ 9839 ≡ 0 (mod 99), 239+ 9739 ≡ 0 (mod 99), 339+ 9639 ≡ 0 (mod 99), ...., 4939+ 5039 ≡ 0 (mod 9)
যোগ করে আমরা পাই
139 + 239 + 339 + ... + 9839 ≡ 0 (mod 99)
সুতরাং 139 + 239 + 339 + ... + 9839 ℤ/99ℤ-এ 0-এর সমান
(3) সঠিক