Numerical Analysis MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Numerical Analysis - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যাখ্যা:

f(x) = \(\rm \frac{1}{x}\)

1ম বিভক্ত পার্থক্য

f[x₀, x₁] = \(f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0\)

= \({1\over x_1}-{1\over x_0}\over x_1-x_0\) = \(-\frac1{x_0x_1}\)

2য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x₂] = \(f[x_1, x_2]-f[x_0, x_1]\over x_2-x_0\)

= \({-1\over x_1x_2}+{1\over x_0x_1}\over x_2-x_0\) = \(\frac1{x_0x_1x_2}\)

3য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x2, x₃] = \(f[x_1, x_2, x_2]-f[x_0, x_1, x_0]\over x_3-x_0\)

= \({1\over x_1x_2x_3}-{1\over x_0x_1x_2}\over x_3-x_0\) = \(\rm \frac{-1}{x_0x_1x_2x_3}\)

বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ব্যাখ্যা:

x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40

প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে

AX = b যেখানে

A = \(\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&4\\3&4&5\end{bmatrix}\), X = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), b = \(\begin{bmatrix}9\\13\\40\end{bmatrix}\)

[A: b] = \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\2&-3&4&13\\3&4&5&40\end{bmatrix}\) \(\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&1&2&13\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{5R_3}\)\(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&5&10&65\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{R_3+R_2}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&0&12&60\end{bmatrix}\)

সুতরাং আমরা পাই

x + y + z = 9....(i)

-5y + 2z = -5....(ii)

12z = 60....(iii)

(iii) থেকে

z = 5

(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই

-5y + 10 = - 5

⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3

(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই

x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1

সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5

(4) সঠিক

ধারণা:

রাঞ্জি-কুট্টা চতুর্থ ক্রম পদ্ধতি সূত্র:

ধরা যাক \(\frac{dy}{dx}=f(x, y)\), y(x₀) = y₀ এবং h হল ধাপ দৈর্ঘ্য, তাহলে

y₁ = y₀ + \(\frac16\)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

এখানে,

k₁ = hf(x₀, y₀), k₂ = hf[x₀ + (½)h, y₀ + (½)k₁], k₃ = hf[x₀ + (½)h, y₀ + (½)k₂] এবং k₄ = hf(x₀ + h, y₀ + k₃)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে x0 = 0, y(x0) = 1, h = 0.5, ধরা যাক f(x, y) = \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}\)

f(x₀, y₀) = \(\frac{1}{x_0+y_0}\) = \(\frac{1}{0+1}\) = 1 সুতরাং k₁ = hf(x0, y0) = 0.5 × 1 = 0.5

k₂ = h\(f(x_0+\frac h2, y_0+\frac{k_1}2)\) = 0.5 x f(0.25, 1.25) = \(0.5\times\frac1{1.50}\) = 0.333

সুতরাং বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

ধরা যাক f(x) = 0 একটি সমীকরণ। তাহলে একটি মূল a এবং b-এর মধ্যে থাকবে যদি f(a)f(b) < 0 হয়।

ব্যাখ্যা:

ধরা যাক f(x) = x4 - x - 10

f(0) = -10 < 0

f(1) = 1 - 1 - 10 = -10 < 0

f(2) = 16 - 2 - 10 = 4 > 0

f(3) = 81 - 3 - 10 = 68 > 0

এখানে f(0)f(1) > 0

সুতরাং মূল 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে না।

f(1)f(2) < 0

সুতরাং মূল 1 এবং 2-এর মধ্যে থাকে না।

f(2)f(3) > 0

সুতরাং মূল 2 এবং 3-এর মধ্যে থাকে না।

(2) সঠিক।

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ধারণা:

রাঞ্জি-কুট্টা চতুর্থ ক্রম পদ্ধতি সূত্র:

ধরা যাক \(\frac{dy}{dx}=f(x, y)\), y(x₀) = y₀ এবং h হল ধাপ দৈর্ঘ্য, তাহলে

y₁ = y₀ + \(\frac16\)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

এখানে,

k₁ = hf(x₀, y₀), k₂ = hf[x₀ + (½)h, y₀ + (½)k₁], k₃ = hf[x₀ + (½)h, y₀ + (½)k₂] এবং k₄ = hf(x₀ + h, y₀ + k₃)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে x0 = 0, y(x0) = 1, h = 0.5, ধরা যাক f(x, y) = \(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+y}\)

f(x₀, y₀) = \(\frac{1}{x_0+y_0}\) = \(\frac{1}{0+1}\) = 1 সুতরাং k₁ = hf(x0, y0) = 0.5 × 1 = 0.5

k₂ = h\(f(x_0+\frac h2, y_0+\frac{k_1}2)\) = 0.5 x f(0.25, 1.25) = \(0.5\times\frac1{1.50}\) = 0.333

সুতরাং বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

ধরা যাক f(x) = 0 একটি সমীকরণ। তাহলে একটি মূল a এবং b-এর মধ্যে থাকবে যদি f(a)f(b) < 0 হয়।

ব্যাখ্যা:

ধরা যাক f(x) = x4 - x - 10

f(0) = -10 < 0

f(1) = 1 - 1 - 10 = -10 < 0

f(2) = 16 - 2 - 10 = 4 > 0

f(3) = 81 - 3 - 10 = 68 > 0

এখানে f(0)f(1) > 0

সুতরাং মূল 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে না।

f(1)f(2) < 0

সুতরাং মূল 1 এবং 2-এর মধ্যে থাকে না।

f(2)f(3) > 0

সুতরাং মূল 2 এবং 3-এর মধ্যে থাকে না।

(2) সঠিক।

ব্যাখ্যা:

f(x) = \(\rm \frac{1}{x}\)

1ম বিভক্ত পার্থক্য

f[x₀, x₁] = \(f(x_1)-f(x_0)\over x_1-x_0\)

= \({1\over x_1}-{1\over x_0}\over x_1-x_0\) = \(-\frac1{x_0x_1}\)

2য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x₂] = \(f[x_1, x_2]-f[x_0, x_1]\over x_2-x_0\)

= \({-1\over x_1x_2}+{1\over x_0x_1}\over x_2-x_0\) = \(\frac1{x_0x_1x_2}\)

3য় বিভক্ত পার্থক্য

f[x0, x1, x2, x₃] = \(f[x_1, x_2, x_2]-f[x_0, x_1, x_0]\over x_3-x_0\)

= \({1\over x_1x_2x_3}-{1\over x_0x_1x_2}\over x_3-x_0\) = \(\rm \frac{-1}{x_0x_1x_2x_3}\)

বিকল্প (2) সঠিক।

ব্যাখ্যা:

x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40

প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে

AX = b যেখানে

A = \(\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&4\\3&4&5\end{bmatrix}\), X = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), b = \(\begin{bmatrix}9\\13\\40\end{bmatrix}\)

[A: b] = \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\2&-3&4&13\\3&4&5&40\end{bmatrix}\) \(\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&1&2&13\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{5R_3}\)\(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&5&10&65\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{R_3+R_2}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&0&12&60\end{bmatrix}\)

সুতরাং আমরা পাই

x + y + z = 9....(i)

-5y + 2z = -5....(ii)

12z = 60....(iii)

(iii) থেকে

z = 5

(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই

-5y + 10 = - 5

⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3

(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই

x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1

সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5

(4) সঠিক