Analysis MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Analysis - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যাখ্যা:

সিরিজটি হল

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\) , যেখানে x > 0

অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে

যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

\(|\frac{ a_{n+1}}{ a_n } | = | \frac{x^{n+1} }{ (x + n + 1)) } \frac{(x + n)}{x^n} |\)

\(= | x \frac{(x + n) }{ (x + n + 1)} |\)

\(lim_{n→∞} | x \frac{ (x + n) }{ (x + n + 1)} | = lim_{n→∞} | x \frac{ (1 + x/n)}{ (1 + x/n + 1/n)} | \)

= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

যদি |x| < 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।

⇒ (A) সঠিক

যদি |x| > 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।

⇒ (B) সঠিক

অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।

⇒ বিকল্প (1) সঠিক

যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।

(C) এবং (D) ভুল।

ধারণা:

1. \(\ln(1+ t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4} \cdots \)

2. \( \ln(1- t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3 } -\frac{t^4}{4} \cdots \)

ব্যাখ্যা:

\(f(x) = x + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots + \frac{x^n}{n^2} + \dots \)

\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \)

আমরা জানি \(\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}, \quad {for } |x| \leq 1 \)

দেওয়া হয়েছে যে f(x) শ্রেণীটির সাথে মিলে যায় \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \) ,

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :

\(f(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা \(\ln(1 - t) \) জড়িত

\( x = \frac{1}{2} \) প্রতিস্থাপন করে পাই

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \) = \(-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।

ধারণা:

লাইবনিজের পরীক্ষা

\(\sum(-1)^{n-1}\)b_n আকারের একটি বিকল্প শ্রেণী বিবেচনা করুন।

যদি (i) bn ≥ 0, bn ক্রমহ্রাসমান হয়।

(ii) n → ∞ হলে bn → 0 হয়।

তাহলে বিকল্প শ্রেণী \(\sum(-1)^{n-1}\)bn অভিসারী হয়।

ব্যাখ্যা:

\(\sum(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}\)

(i) \(\frac{1}{n^p}\) ≥ 0, \(\frac{1}{n^p}\) ক্রমহ্রাসমান হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।

(ii) n → ∞ হলে \(\frac{1}{n^p}\) → 0 হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।

⇒ \(\sum(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}\) অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।

ধারণা:

একটি অপেক্ষক y = f(x) একটি মুক্ত ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।

ব্যাখ্যা:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (1) মিথ্যা

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (3) মিথ্যা

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (4) মিথ্যা

(2): f(x) = e−1/x2

(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান

তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন

বিকল্প (2) সঠিক

ব্যাখ্যা:

f(x) = x|x|

অবকলনযোগ্যতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে,

f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0

f অবকলনযোগ্য

g(x) = x | cos x |

|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)

এখন x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)

সুতরাং, LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\)

RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1

যেহেতু x = 0 তে বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই g(x) x = 0 তে অবকলনযোগ্য।

(3) সঠিক

ধারণা:

একটি ফাংশন y = f(x) একটি খোলা ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।

ব্যাখ্যা:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (1) মিথ্যা

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (3) মিথ্যা

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (4) মিথ্যা

(2): f(x) = e−1/x2

(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান

তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন

বিকল্প (2) সঠিক

ধারণা:

যদি f(x,y) একটি ফাংশন হয়, যেখানে f আংশিকভাবে x এবং y এর উপর নির্ভর করে এবং যদি আমরা x এবং y এর সাপেক্ষে f কে ডেরিভেটিভ করি তবে এই ডেরিভেটিভগুলিকে f-এর আংশিক ডেরিভেটিভ বলা হয়। y কে ধ্রুবক ধরে x এর সাপেক্ষে f-এর আংশিক ডেরিভেটিভের সূত্রটি হল:

\(f_x =\frac{df}{dx}= \lim_{h=0}\frac{f(x+ h, y)-f(x,y)}{h}\)

⇒ \(f_y =\frac{df}{dy}= \lim_{h=0}\frac{f(x,y +h)-f(x,y)}{h}\)

প্রদত্ত: \(\rm{ f(x, y) = { \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} & যদি (x, y) \ne (0, 0) \\\ 0 & যদি (x, y) = (0, 0) \end{matrix} \right.}}\)

গণনা:

আংশিক ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুযায়ী

⇒ f_x(0, 0) = \(\lim_{h=0}\frac{f(0 + h, 0)-f(0,0)}{h}=0\)

⇒ f_y(0, 0) \(\lim_{k=0}\frac{f(0 + k, 0)-f(0,0)}{k}=0\)

যদি আমরা বক্ররেখা v = mx² বরাবর চলি

⇒ \(\lim_{(x, y)=(0,0)}m\frac{x^4}{x^4+ x^4m^2}=\frac{1}{2}\frac{m}{(1+m^2)}\)

⇒ f(x, y) সন্তত নয়।

f-এর উভয় আংশিক ডেরিভেটিভ (0, 0) বিন্দুতে বিদ্যমান এবং f (0, 0) বিন্দুতে সন্তত নয়।

ব্যাখ্যা:

f(x) = x|x|

অবকলনযোগ্যতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে,

f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0

f অবকলনযোগ্য

g(x) = x | cos x |

|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)

এখন x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)

সুতরাং, LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\)

RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1

যেহেতু x = 0 তে LHD = RHD, তাই g(x) x = 0 তে অবকলনযোগ্য।

(3) সঠিক

ধারণা:

• শর্তসাপেক্ষে অভিসারী: যদি \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটি অভিসারী হয় এবং \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) অপসারী হয় তবে \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটিকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
• পরমভাবে অভিসারী: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটি যার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় পদ আছে (বিকল্প না হলেও চলে) তাকে পরমভাবে অভিসারী বলা হয় যদি সংশ্লিষ্ট \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) সিরিজটি ধনাত্মক পদগুলির সাথে অভিসারী হয়।
• যদি একটি সিরিজ অভিসারী হয় কিন্তু পরমভাবে অভিসারী না হয়, তবে তাকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
• একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের উদাহরণ হল অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ।

সুতরাং, একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজ হল একটি সিরিজ যা অভিসারী কিন্তু পরমভাবে নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2)।

ধারণা:

একটি ফাংশন y = f(x) একটি খোলা ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।

ব্যাখ্যা:

(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (1) মিথ্যা

(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (3) মিথ্যা

(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)

\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়

বিকল্প (4) মিথ্যা

(2): f(x) = e−1/x2

(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান

তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন

বিকল্প (2) সঠিক

ধারণা -

সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য -

ধরা যাক \(lim_{n → \infty }a_n = l\) এবং a_n > 0

তাহলে \(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)

ব্যাখ্যা -

আমাদের আছে \(a_n = \frac{n+1}{n}\)

এবং a_n → 1

সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য ব্যবহার করে -

\(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)

⇒ lim n →∞ \((\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}........\frac{n + 1}{n})^{1/n}\) 1 এর সমান।

ব্যাখ্যা:

সিরিজটি হল

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\) , যেখানে x > 0

অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে

যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে সিরিজটি অভিসারী হয়।

যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে সিরিজটি অপসারী হয়।

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

\(|\frac{ a_{n+1}}{ a_n } | = | \frac{x^{n+1} }{ (x + n + 1)) } \frac{(x + n)}{x^n} |\)

\(= | x \frac{(x + n) }{ (x + n + 1)} |\)

\(lim_{n→∞} | x \frac{ (x + n) }{ (x + n + 1)} | = lim_{n→∞} | x \frac{ (1 + x/n)}{ (1 + x/n + 1/n)} | \)

= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |

অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:

যদি |x| < 1 হয়, তাহলে সিরিজটি অভিসারী হয়।

⇒ (A) সঠিক

যদি |x| > 1 হয়, তাহলে সিরিজটি অপসারী হয়।

⇒ (B) সঠিক

অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।

⇒ বিকল্প (1) সঠিক

যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।

(C) এবং (D) ভুল।

ধারণা:

1. \(\ln(1+ t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4} \cdots \)

2. \( \ln(1- t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3 } -\frac{t^4}{4} \cdots \)

ব্যাখ্যা:

\(f(x) = x + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots + \frac{x^n}{n^2} + \dots \)

\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \)

আমরা জানি \(\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}, \quad {for } |x| \leq 1 \)

দেওয়া হয়েছে যে f(x) সিরিজটির সাথে মিলে যায় \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \) ,

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :

\(f(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা \(\ln(1 - t) \) জড়িত

\( x = \frac{1}{2} \) প্রতিস্থাপন করে পাই

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \) = \(-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।