Sequences & Series (Convergence) MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Sequences & Series (Convergence) - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Sequences & Series (Convergence) MCQ Objective Questions
Sequences & Series (Convergence) Question 1:
শ্রেণীটি, \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\), (x > 0)
(A). x < 1 হলে অভিসারী হয়
(B). x > 1 হলে অপসারী হয়
(C). x ≥ 1 হলে অপসারী হয়
(D). x ≤ 1 হলে অভিসারী হয়
নীচে দেওয়া বিকল্পগুলি থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নিন:
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 1 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
সিরিজটি হল
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\) , যেখানে x > 0
অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে
যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।
যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।
অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:
\(|\frac{ a_{n+1}}{ a_n } | = | \frac{x^{n+1} }{ (x + n + 1)) } \frac{(x + n)}{x^n} |\)
\(= | x \frac{(x + n) }{ (x + n + 1)} |\)
\(lim_{n→∞} | x \frac{ (x + n) }{ (x + n + 1)} | = lim_{n→∞} | x \frac{ (1 + x/n)}{ (1 + x/n + 1/n)} | \)
= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |
অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:
যদি |x| < 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অভিসারী হয়।
⇒ (A) সঠিক
যদি |x| > 1 হয়, তাহলে শ্রেণীটি অপসারী হয়।
⇒ (B) সঠিক
অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।
⇒ বিকল্প (1) সঠিক
যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।
(C) এবং (D) ভুল।
Sequences & Series (Convergence) Question 2:
যখন −1 ≤ x ≤ 1, যদি f(x) হল অভিসারী ঘাত শ্রেণীর যোগফল \(x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\cdots+\frac{x^{n}}{n^{2}}+\cdots\) তাহলে \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) এর সমান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
1. \(\ln(1+ t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4} \cdots \)
2. \( \ln(1- t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3 } -\frac{t^4}{4} \cdots \)
ব্যাখ্যা:
\(f(x) = x + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots + \frac{x^n}{n^2} + \dots \)
\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \)
আমরা জানি \(\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}, \quad {for } |x| \leq 1 \)
দেওয়া হয়েছে যে f(x) শ্রেণীটির সাথে মিলে যায় \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \) ,
এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :
\(f(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)
সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা \(\ln(1 - t) \) জড়িত
\( x = \frac{1}{2} \) প্রতিস্থাপন করে পাই
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \) = \(-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)
সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।
Sequences & Series (Convergence) Question 3:
শ্রেণী: \(\sum(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}\) হল:
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
লাইবনিজের পরীক্ষা
\(\sum(-1)^{n-1}\)bn আকারের একটি বিকল্প শ্রেণী বিবেচনা করুন।
যদি (i) bn ≥ 0, bn ক্রমহ্রাসমান হয়।
(ii) n → ∞ হলে bn → 0 হয়।
তাহলে বিকল্প শ্রেণী \(\sum(-1)^{n-1}\)bn অভিসারী হয়।
ব্যাখ্যা:
\(\sum(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}\)
(i) \(\frac{1}{n^p}\) ≥ 0, \(\frac{1}{n^p}\) ক্রমহ্রাসমান হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।
(ii) n → ∞ হলে \(\frac{1}{n^p}\) → 0 হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।
⇒ \(\sum(-1)^{n-1} \frac{1}{n^p}\) অভিসারী হবে যদি এবং কেবল যদি p>0 হয়।
Sequences & Series (Convergence) Question 4:
lim n →∞ \((\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}........\frac{n + 1}{n})^{1/n}\)এর সমান হল
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 4 Detailed Solution
ধারণা -
সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য -
ধরা যাক \(lim_{n → \infty }a_n = l\) এবং an > 0
তাহলে \(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)
ব্যাখ্যা -
আমাদের আছে \(a_n = \frac{n+1}{n}\)
এবং an → 1
সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য ব্যবহার করে -
\(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)
⇒ lim n →∞ \((\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}........\frac{n + 1}{n})^{1/n}\) 1 এর সমান।
Sequences & Series (Convergence) Question 5:
একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজ হল একটি সিরিজ যা -
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 5 Detailed Solution
ধারণা:
- শর্তসাপেক্ষে অভিসারী: যদি \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) শ্রেণীটি অভিসারী হয় এবং \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) অপসারী হয় তবে \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) শ্রেণীটিকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
- পরমভাবে অভিসারী: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) শ্রেণীটি যার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় পদ আছে (বিকল্প না হলেও চলে) তাকে পরমভাবে অভিসারী বলা হয় যদি সংশ্লিষ্ট \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) শ্রেণীটি ধনাত্মক পদগুলির সাথে অভিসারী হয়।
- যদি একটি সিরিজ অভিসারী হয় কিন্তু পরমভাবে অভিসারী না হয়, তবে তাকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
- একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী শ্রেণীর উদাহরণ হল পর্যায়ক্রমে হারমোনিক শ্রেণী।
সুতরাং, একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী শ্রেণী হল একটি শ্রেণী যা অভিসারী কিন্তু পরমভাবে নয়।
অতএব, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2)।
Top Sequences & Series (Convergence) MCQ Objective Questions
Sequences & Series (Convergence) Question 6:
একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজ হল একটি সিরিজ যা -
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 6 Detailed Solution
ধারণা:
- শর্তসাপেক্ষে অভিসারী: যদি \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটি অভিসারী হয় এবং \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) অপসারী হয় তবে \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটিকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
- পরমভাবে অভিসারী: \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) সিরিজটি যার ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় পদ আছে (বিকল্প না হলেও চলে) তাকে পরমভাবে অভিসারী বলা হয় যদি সংশ্লিষ্ট \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\) সিরিজটি ধনাত্মক পদগুলির সাথে অভিসারী হয়।
- যদি একটি সিরিজ অভিসারী হয় কিন্তু পরমভাবে অভিসারী না হয়, তবে তাকে শর্তসাপেক্ষে অভিসারী বলা হয়।
- একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজের উদাহরণ হল অল্টারনেটিং হারমোনিক সিরিজ।
সুতরাং, একটি শর্তসাপেক্ষে অভিসারী সিরিজ হল একটি সিরিজ যা অভিসারী কিন্তু পরমভাবে নয়।
অতএব, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2)।
Sequences & Series (Convergence) Question 7:
lim n →∞ \((\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}........\frac{n + 1}{n})^{1/n}\)এর সমান হল
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 7 Detailed Solution
ধারণা -
সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য -
ধরা যাক \(lim_{n → \infty }a_n = l\) এবং an > 0
তাহলে \(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)
ব্যাখ্যা -
আমাদের আছে \(a_n = \frac{n+1}{n}\)
এবং an → 1
সীমার উপর কোশির দ্বিতীয় উপপাদ্য ব্যবহার করে -
\(lim_{n → \infty } (a_1.a_2.a_3....a_n)^{1/n} = l\)
⇒ lim n →∞ \((\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{4}{3}........\frac{n + 1}{n})^{1/n}\) 1 এর সমান।
Sequences & Series (Convergence) Question 8:
সিরিজটি, \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\), (x > 0)
(A). x < 1 হলে অভিসারী হয়
(B). x > 1 হলে অপসারী হয়
(C). x ≥ 1 হলে অপসারী হয়
(D). x ≤ 1 হলে অভিসারী হয়
নীচে দেওয়া বিকল্পগুলি থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নিন:
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 8 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
সিরিজটি হল
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x+n}\) , যেখানে x > 0
অনুপাত পরীক্ষা (Ratio Test) বলে যে
যদি পরপর পদগুলির অনুপাতের পরম মানের সীমা 1 এর কম হয়, তাহলে সিরিজটি অভিসারী হয়।
যদি এটি 1 এর বেশি হয়, তাহলে সিরিজটি অপসারী হয়।
অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:
\(|\frac{ a_{n+1}}{ a_n } | = | \frac{x^{n+1} }{ (x + n + 1)) } \frac{(x + n)}{x^n} |\)
\(= | x \frac{(x + n) }{ (x + n + 1)} |\)
\(lim_{n→∞} | x \frac{ (x + n) }{ (x + n + 1)} | = lim_{n→∞} | x \frac{ (1 + x/n)}{ (1 + x/n + 1/n)} | \)
= | x (1 + 0) / (1 + 0 + 0) | = | x |
অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করে:
যদি |x| < 1 হয়, তাহলে সিরিজটি অভিসারী হয়।
⇒ (A) সঠিক
যদি |x| > 1 হয়, তাহলে সিরিজটি অপসারী হয়।
⇒ (B) সঠিক
অতএব, সঠিক উত্তর হল (A) এবং (B) শুধুমাত্র।
⇒ বিকল্প (1) সঠিক
যখন |x| = 1 হয় তখন অনুপাত পরীক্ষা অসিদ্ধ হয়।
(C) এবং (D) ভুল।
Sequences & Series (Convergence) Question 9:
যখন −1 ≤ x ≤ 1, যদি f(x) হল অভিসারী পাওয়ার সিরিজের যোগফল \(x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\cdots+\frac{x^{n}}{n^{2}}+\cdots\) তাহলে \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) এর সমান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Sequences & Series (Convergence) Question 9 Detailed Solution
ধারণা:
1. \(\ln(1+ t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4} \cdots \)
2. \( \ln(1- t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3 } -\frac{t^4}{4} \cdots \)
ব্যাখ্যা:
\(f(x) = x + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} + \dots + \frac{x^n}{n^2} + \dots \)
\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \)
আমরা জানি \(\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}, \quad {for } |x| \leq 1 \)
দেওয়া হয়েছে যে f(x) সিরিজটির সাথে মিলে যায় \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \) ,
এটি এভাবে লেখা যেতে পারে :
\(f(x) = -\int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)
সুতরাং, f(x) এর একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা রয়েছে যা \(\ln(1 - t) \) জড়িত
\( x = \frac{1}{2} \) প্রতিস্থাপন করে পাই
\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \) = \(-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln(1 - t)}{t} dt \)
সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প (2)।