Continuity & Differentiability MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Continuity & Differentiability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Continuity & Differentiability MCQ Objective Questions
Continuity & Differentiability Question 1:
নিম্নলিখিত অপেক্ষকগুলির মধ্যে কোনটি (0, 1) ব্যবধানে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity & Differentiability Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
একটি অপেক্ষক y = f(x) একটি মুক্ত ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।
ব্যাখ্যা:
(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (1) মিথ্যা
(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (3) মিথ্যা
(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (4) মিথ্যা
(2): f(x) = e−1/x2
(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান
তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন
বিকল্প (2) সঠিক
Continuity & Differentiability Question 2:
যদি f(x) = x|x| এবং g(x) = x | cos x | হয়, তাহলে x = 0 তে
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity & Differentiability Question 2 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
f(x) = x|x|
অবকলনযোগ্যতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে,
f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0
f অবকলনযোগ্য
g(x) = x | cos x |
|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)
এখন x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)
সুতরাং, LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\)
RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1
যেহেতু x = 0 তে বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই g(x) x = 0 তে অবকলনযোগ্য।
(3) সঠিক
Top Continuity & Differentiability MCQ Objective Questions
নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির মধ্যে কোনটি (0, 1) ব্যবধানে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity & Differentiability Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
একটি ফাংশন y = f(x) একটি খোলা ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।
ব্যাখ্যা:
(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (1) মিথ্যা
(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (3) মিথ্যা
(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (4) মিথ্যা
(2): f(x) = e−1/x2
(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান
তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন
বিকল্প (2) সঠিক
Continuity & Differentiability Question 4:
যদি f(x) = x|x| এবং g(x) = x | cos x | হয়, তাহলে x = 0 তে
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity & Differentiability Question 4 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
f(x) = x|x|
অবকলনযোগ্যতার সংজ্ঞা ব্যবহার করে,
f'(0) = \(\lim_{x\to0}\frac{f(x) -f(0)}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}\frac{x|x| -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}|x|\) = 0
f অবকলনযোগ্য
g(x) = x | cos x |
|cos x| = \(\begin{cases}cos x, x< 0\\ cos x, x\geq 0\end{cases}\)
এখন x | cos x | = \(\begin{cases}xcos x, x< 0\\ xcos x, x\geq 0\end{cases}\)
সুতরাং, LHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x) = 1\)
RHD = \(\lim_{x\to0}\frac{x\cos x -0}{x-0}\) = \(\lim_{x\to0}(\cos x)\) = 1
যেহেতু x = 0 তে LHD = RHD, তাই g(x) x = 0 তে অবকলনযোগ্য।
(3) সঠিক
Continuity & Differentiability Question 5:
নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির মধ্যে কোনটি (0, 1) ব্যবধানে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন?
Answer (Detailed Solution Below)
Continuity & Differentiability Question 5 Detailed Solution
ধারণা:
একটি ফাংশন y = f(x) একটি খোলা ব্যবধান (a, b) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি f(x) (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন হয় এবং শেষ বিন্দু a, b তে সীমা বিদ্যমান থাকে।
ব্যাখ্যা:
(1): f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\sin\frac1x\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = sin\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (1) মিথ্যা
(3): f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = ex cos\(\rm\frac{1}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (3) মিথ্যা
(4): f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\)
\(\lim_{x\to0}\)cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই কারণ \(\lim_{x\to0}\)cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) বিদ্যমান নেই তাই f(x) = cos x cos\(\rm\frac{\pi}{x}\) (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন নয়
বিকল্প (4) মিথ্যা
(2): f(x) = e−1/x2
(এখানে f(x) (0, 1) এ অবিচ্ছিন্ন এবং x = 0 এবং x = 1 এ সীমা বিদ্যমান
তাই f(x) = e−1/x2 (0, 1) এ অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন
বিকল্প (2) সঠিক